高等動力學課件：lecture16-3D

1、 Lecture 163D剛體動力學內容回顧Lagrange情形三個首次積分章動角控制方程內容回顧三個根互不相等的情況（圖b）21內容回顧存在三重根的條件存在兩種情況：u1=u2=u3=1,如圖(b)所示，這時只對應一種狀態(tài)，即剛體只能繞豎直軸轉動。Case1 : u2=u3時,當u2=u3,必有u2=u3=1f(u)代數表達式中也可能存在兩個重根的情況。Case 2: u1=u20dotdot地球的進動與章動現象LLL=023.5春分點秋分點夏至冬至地球由于形狀的非完全球形，與太陽和月亮的萬有引力將會引起附件力矩，進而產生進動現象。Legendre多項式Legendre函數是指如下微分方程的

2、解勒讓德方程的解在|x| 1 時可寫成標準級數收斂的冪級數形式，當n = 0, 1, 2,. 時，隨n 值變化方程的解相應變化，構成一組由正交多項式組成的多項式序列，這組多項式稱為勒讓德多項式Legendre 多項式具有如下級數的形式并且有多項式展開偏心力矩的表示：假設：地球的形狀是一個標準的橢圓形狀。太陽或月球認為是一個質點M問題：如何求出偏心力矩？如何分析地球在該偏心力矩作用下的運動？橢球體與一固定質點的萬有引力勢函數M,Crrimirii如圖所示的質點mi與M質點之間的萬有引力勢可表示為偏心力矩的表示：對上式采用Legendre多項式展開后，表示為取Legendre 多項式的前三項近似對

3、第0項，即對第1次多項式M,Crrimirii對第二次多項式其中trJ是橢球體的慣量張量的跡，Jr是繞r軸的轉動慣量勢能函數表示因此，二階近似的勢能函數是假設地球繞質心的慣量橢球的主慣量為J1, J2, J3. 且J1=J2, , , 分別為r相對地球慣量橢球的方向余弦。勢能函數表示xyzOrarccosOxy為地球運動的軌道平面，r為地球質心到太陽質心的連線的方向。O是地球的自轉軸。O為地球的質心。三個方向余弦存在如下的關系則由二階項引起的勢能為假設地球繞太陽運動的軌道近似為圓軌道（r不變），為得到地球的平均進動角速度，二次項引起的勢能在地球繞太陽一周的平均勢能為地球的進動與章動現象地球的運

4、動等效為受到偏心萬有引力作用下的剛體的定點運動情況。在平均意義上，地球做規(guī)則進動。則有地球的能量為考慮地球自轉的角速度dot遠遠大于進動角速度，并且進動角速度通過平均化近似為常數，將能量對時間微分進一步簡化為地球的進動與章動現象以上方程與Lagrange情形下出現重根的情況相同。令將考慮橢球性質的萬有引力勢的二階近似函數代入根據Keppler第三定律，并設r為地球橢圓軌道的半長軸，橢圓軌道的圓頻率為則進動角速度與橢圓軌道運動的角速度的比為地球自轉軸的角度為在太陽萬有引力作用下，進動完成一周所需要的時間大約為81,000年。同樣的分析，由于月球對地球的萬有引力作用也會引起進動，兩者共同作用將導致

5、進動完成一周所需要的時間大約為26,000年。當然，在進動的同時，會有天章動現象。剛體一般運動的動力學方程兩個坐標系: OxyzO,i,j,k慣性參考系，C,e1,e2,e3過質心的固連系 質心運動定理 對質心動量矩定理 與歐拉角的關系利用以上關系，可以得到利用Euler角和質心位置表示的剛體一般運動的6個二階微分方程。在給定12個初始條件后，可以利用積分得到微分方程的解。均勻球體在重力場中的運動質心的運動：只受重力的作用。質心為一拋物線軌跡。姿態(tài)動力學分析：相對質心的動量矩守恒（Euler情形）。對球體來說，J1=J2=J3角速度矢量在空間中將是一固定矢量。與給定的初始條件相關。由于球體的對

6、稱性，在任一方向的角速度均保持為常量。炮彈的穩(wěn)定性軸對稱炮彈在運動過程中，其對稱軸將與質心運動方向發(fā)生一個偏轉角。假設空氣阻力的合力R作用在對稱軸的A點上，并且方向與質心運動方向相同。問炮彈的自轉角速度3應為多大，才能保證炮彈的彈頭總是指向前方。炮彈的穩(wěn)定性炮彈質心的運動：受空氣阻尼力，并在重力場作用下質點的運動（見例4.12）,假設R是與速度平方的阻尼力，則軌跡方程為炮彈的穩(wěn)定性對質心的動量矩定理:（Lagrange情形）軸對稱剛體，可利用萊沙爾坐標系建立動力學方程炮彈的發(fā)射過程類似一個定軸轉動的剛體的釋放過程。初始章動角為零。要使章動角在外部阻力作用下，攝動為小量。應滿足如下的條件。在慢進

7、動的情況下，可忽略p的高階項要產生以上慢進動的條件為即要求自轉的角速度必須足夠高圓盤在粗糙面上的純滾動Comments:只考慮圓盤純滾動的情況，顯然，由于接觸點處的摩擦作用可能會改變圓盤接觸的性質。其運動情況將會復雜的多。Euler將這一問題歸結為力學中的12個難題之一。圓盤在粗糙面上的純滾動圓盤的基本參數：半徑 a; 質量m, 對質心處的轉動慣量分別為：J1=J2, J3運動約束情況：接觸點A處無相對滑動。坐標系統(tǒng):慣性坐標系統(tǒng)： I, j, k質心平動坐標系統(tǒng)：C, x, y, z圓盤固連坐標系統(tǒng)：C , , 萊沙爾坐標系統(tǒng): C n, s, 受力情況：重力mg, 接觸點的約束力法向支撐力

8、Fz切向摩擦力Fn, Fm假設條件：接觸點無相對滑動。不考慮滾動摩阻圓盤在粗糙面上的純滾動各個坐標系之間的變換關系為將運動約束方程映射到O. n, m, k中矢量CA在盤面上，且指向接觸點運動約束方程則定義圓盤在粗糙面上的純滾動接觸點處的運動約束方程在O,n,m,k中的表示為以上是定義在速度水平上的約束方程，且不可積，稱為非完整約束方程。質心運動定理 ：并寫為坐標系O, n, m, k中的分量形式圓盤在粗糙面上的純滾動在萊沙爾坐標系中應用質心動量矩定理萊沙爾參考系的角速度外力矢量在萊沙爾坐標系下的分量形式質心動量矩方程在萊沙爾坐標系中的分量形式為圓盤在粗糙面上的純滾動消去約束反力則則質心動量矩方程的第三式變?yōu)閳A盤在粗糙面上的純滾動根據約束方程則則質心動量矩方程的第一式變?yōu)閳A盤穩(wěn)態(tài)規(guī)則進動定傾角的運動：=0圓盤的動力學方程為由于則圓盤穩(wěn)態(tài)規(guī)則進動三個常數之間的關系為能夠成立的條件是根據運動約束方程，質心的運動規(guī)律為以上表明：質心的軌跡做勻速圓周運動，軌跡的半徑為當0=/2時，則根據三常數條件3=0, 圓盤直立自轉不滾p=0,圓盤在一個豎直平面內做純滾動。攝動分析圓盤沿直線純滾動的標稱運動條件受到攝動后假設純滾動條件仍然保持，略去高于2階的小量。圓盤