高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題11《數(shù)列求和方法之分組并項(xiàng)求和法》教師版

1、專題11 數(shù)列求和方法之分組并項(xiàng)求和法一、單選題 1已知數(shù)列滿足，且是等比數(shù)列，則（ ）A376B382C749D766【答案】C【分析】利用累加法求出通項(xiàng)，然后利用等比數(shù)列的求和公式，求解即可【詳解】由已知得，而是等比數(shù)列，故，化簡(jiǎn)得，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于利用累加法求出通項(xiàng)，難度屬于中檔題2若在邊長(zhǎng)為的正三角形的邊上有（，）等分點(diǎn)，沿向量的方向依次為，記，若給出四個(gè)數(shù)值：；則的值可能的共有（ ）A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)【答案】A【分析】由題意，存在實(shí)數(shù)，使得，則，計(jì)算數(shù)量積，得到，推出，結(jié)合題中條件，由賦值法，分別判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，存在實(shí)數(shù)，使得，則，所以

2、，所以，令，解得；令，解得；令，解得；令，解得；所以的值不可能取所給的四個(gè)數(shù)值.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：向量數(shù)量積的問(wèn)題，在求解時(shí)，可根據(jù)向量向量積的運(yùn)算法則，由轉(zhuǎn)化法求出數(shù)量積；也可利用建系的方法，建立平面直角坐標(biāo)系，得出所需向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解.3若數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則（ ）A45B65C69D【答案】B【分析】由題意可得，從而可得，進(jìn)而可得答案【詳解】因?yàn)?，所以，則 ，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查由數(shù)列的通項(xiàng)公式求一些項(xiàng)的和，利用了并項(xiàng)求和法，屬于基礎(chǔ)題二、解答題4設(shè)為等差數(shù)列，是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，.在，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，回答下列問(wèn)題：（1）寫出你選擇的條件并求數(shù)

3、列和的通項(xiàng)公式；（2）在（1）的條件下，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）條件選擇見(jiàn)解析，；（2）.【分析】（1）設(shè)的公差為，的公比為，根據(jù)所選的條件結(jié)合已知條件得出和的方程組，解出這兩個(gè)量的值，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用分組求和法可求得.【詳解】（1）選擇：設(shè)的公差為，的公比為.則根據(jù)題意有，解得，所以，；選擇：設(shè)的公差為，的公比為.則根據(jù)題意有，解得，所以，；（2）由（1）可知，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對(duì)于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于型數(shù)

4、列，利用分組求和法；（4）對(duì)于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法.5已知數(shù)列an中，已知a11，a2a，an1k(anan2)對(duì)任意nN*都成立，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.（1）若an是等差數(shù)列，求k的值；（2）若a1，k，求Sn.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)可得，從而求出.（2）根據(jù)題意可得，討論n是偶數(shù)或n是奇數(shù)，利用分組求和即可求解.【詳解】（1）若是等差數(shù)列，則對(duì)任意，即，所以，故（2）當(dāng)時(shí)，即.所以，故，所以，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了分組求和，解題的關(guān)鍵是求出，考查了計(jì)算求解能力.6在數(shù)列中，.（1）證明：數(shù)

5、列是等比數(shù)列；（2）求的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1），變形為，進(jìn)而證明結(jié)論；（2）由（1）可得：，再利用分組求和即可得出.【詳解】（1）證明：，.又因?yàn)椋瑪?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為5的等比數(shù)列，（2）由（1）可得：，的前項(xiàng)和【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法（1）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用倒序相加法（2）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用錯(cuò)位相減法來(lái)求；（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些像

6、可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列:或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和，形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.7已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足是和的等差中項(xiàng)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的公比，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用分組法求出數(shù)列的和.【詳解】（1）正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足是和的等差中項(xiàng)，設(shè)公比為，則，整理得：

7、，由于，即，即，因?yàn)椋越獾茫?所以.（2）由于，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)分組后利用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求和是解題關(guān)鍵.8在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，_，且，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用，成等比數(shù)列，可得，若選：由得：，即可解出和的值，即可求出的通項(xiàng)公式；若選：由可得，即可解出和的值，即可求出的通項(xiàng)公式；若選：由，可表示出，結(jié)合，成等比數(shù)列，即可解出和的值，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，分為奇數(shù)和偶數(shù)，利用并項(xiàng)求和即可求解.【詳解】是各項(xiàng)均為

8、正數(shù)的等差數(shù)列，成等比數(shù)列.所以，即，整理可得，若選：，則，即，由可得代入可得：，解得或（舍）所以，所以，若選：，即，代入得：，即 解得：或不符合題意；若選：，則，代入可得解得：或不符合題意；綜上所述：，（2），當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題得關(guān)鍵點(diǎn)是分別由條件結(jié)合，成等比數(shù)列計(jì)算出和的值，由是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以，第二問(wèn)中正負(fù)交錯(cuò)的數(shù)列求和，需要用奇偶并項(xiàng)求和，注意分為奇數(shù)和偶數(shù)討論.9已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【分析】（1）由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合已知即可求公差，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公

9、式即可.（2）由（1）結(jié)論，有，首先分組，再結(jié)合等差等比前n項(xiàng)和公式求【詳解】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和， ，解得，（2）， 10已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且滿足，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由和，成等比數(shù)列，求得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）和，可得，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，數(shù)列中，因?yàn)椋傻?，又由，成等比?shù)列，可得，即，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）和，可得，則，即.11已知是等比數(shù)列，數(shù)列滿足，且是等差數(shù)列（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)

10、公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首項(xiàng)求出，然后求出，然后可得；（2）分別算出數(shù)列、的前項(xiàng)和即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得， 解得 所以 設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得所以 從而 （2）由（1）知數(shù)列的前項(xiàng)和為；數(shù)列的前項(xiàng)和為 所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為 12設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列中，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，可化為，結(jié)合等比數(shù)列的定義,即可得到結(jié)論；（2）由題知數(shù)列是等差數(shù)列，則，再利用分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）證明

11、：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 由得：， ，即，故數(shù)列是以2為公比，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，得.（2）由題得：，故是以2為公差，2為首項(xiàng)的等差數(shù)列，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列求通項(xiàng)公式與求和問(wèn)題，求數(shù)列和常用的方法：（1）等差等比數(shù)列：分組求和法；（2）倒序相加法；（3）（數(shù)列為等差數(shù)列）：裂項(xiàng)相消法；（4）等差等比數(shù)列：錯(cuò)位相減法.13已知是公差不為零的等差數(shù)列，且，成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)求出公差，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由分組求和法，結(jié)合等差、等比的求和公式求解即

12、可.【詳解】解：（1）由題設(shè)知公差，由，成等比數(shù)列得解得或（舍去）故的通項(xiàng)公式為（2）由（1）知，由分組求和法得14已知數(shù)列滿足奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，而偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，且，數(shù)列的前n項(xiàng)和為（）求；（）當(dāng)時(shí)，若，試求的最大值【答案】（），或，； （）【分析】（）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，代入已知條件求出，得通項(xiàng)公式；（）用分組求和法求出，得，然后用作差法確定數(shù)列的單調(diào)性，得最大值【詳解】（）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，則，因?yàn)?，所以，解得，若，則，若，則，所以，（）因?yàn)?，所以，由，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的最大項(xiàng)為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查分組

13、求和法，數(shù)列的增減性求通項(xiàng)公式的方法是等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量法，即求出公比和公差后直接寫出通項(xiàng)公式，只是注意兩解，要寫成統(tǒng)一形式數(shù)列求和用的分組求和法，數(shù)列求和還有其他一些特殊方法：錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，倒序求和法等他們都是對(duì)應(yīng)的著特殊數(shù)列的求和數(shù)列的單調(diào)性一般用作差法確定，即確定的正負(fù)，得數(shù)列的增減性，從而得最大項(xiàng)或最小項(xiàng)對(duì)于以冪的形式給出的通項(xiàng)公式不等增數(shù)列還可能用作商法確定增減性15在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并解答問(wèn)題.已知等比數(shù)列的公比是，且有 ().(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按照第一個(gè)解答計(jì)分)（1）求證：；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】（1）證明

14、見(jiàn)解析；（2）.【分析】不管選哪一個(gè)條件，方法都一樣：（1）由基本量法求出，得通項(xiàng)公式；（2）用分組求和法求【詳解】若選擇，（1）設(shè)數(shù)列公比為，則，又，解得，；（2）由（1）得若選擇，（1）設(shè)數(shù)列公比為，則，故解得，；（2）由（1）得若選擇，（1）設(shè)數(shù)列公比為，又，故解得，（2）由（1）得【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查分組求和法數(shù)列求和的常用方法：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列， （1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；（2）錯(cuò)位相減法：數(shù)列的前項(xiàng)和應(yīng)用錯(cuò)位相減法；（3）裂項(xiàng)相消法；數(shù)列（為常數(shù)，）的前項(xiàng)和用裂項(xiàng)相消法；（4）分組（并項(xiàng)）求和法：數(shù)列用分組求

15、和法，如果數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)正負(fù)相間等特征時(shí)可能用用并項(xiàng)求和法；（5）倒序相加法：滿足（為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和16設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用當(dāng)時(shí)，可推出數(shù)列為等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；（2）化簡(jiǎn)，分為奇數(shù)，偶數(shù)，求和即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，兩式相減得，所以，當(dāng)時(shí)，則所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 故（2）由（1）可得所以故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，綜上17已知等差數(shù)列中，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是等比數(shù)列的前3項(xiàng)，求的值及數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2），.【分

16、析】（1）利用，且列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的關(guān)系式，求出公差與首項(xiàng)，即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）利用（1）的結(jié)論，可得，利用分組法求，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列的和【詳解】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為.由知，且，故.再由，得，故.所以：（2）若，是等比數(shù)列的前3項(xiàng)則，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到：，代入上式解得：而等數(shù)列中，c，所以：等比數(shù)列的公比為.于是：則故【點(diǎn)睛】利用“分組求和法”求數(shù)列前項(xiàng)和常見(jiàn)類型有兩種：一是通項(xiàng)為兩個(gè)公比不相等的等比數(shù)列的和或差，可以分別用等比數(shù)列求和后再相加減；二是通項(xiàng)為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的和或差，可以分別用等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和后再相加減.1

17、8已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)，由題中條件，即可求出通項(xiàng)；（2）先由（1）得到，再由分組求和的方法，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；也滿足上式；（2）由（1）可得：，.19已知數(shù)列中，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的正整數(shù)n都有.（1）求a的值；（2）試確定數(shù)列是不是等差數(shù)列；若是，求出其通項(xiàng)公式，若不是，說(shuō)明理由；（3）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（4）記是否存在正整數(shù)M，使得不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）數(shù)列是等差數(shù)

18、列，通項(xiàng)公式為；（3）；（4）.【分析】（1）令，即得結(jié)果；（2）將代入，作差整理得，再結(jié)合作差整理，即得，即證數(shù)列是等差數(shù)列，再計(jì)算通項(xiàng)公式即可；（3）先利用（2）求，再化簡(jiǎn)得到通項(xiàng)公式，最后累加相消即得；（4）先化簡(jiǎn)，利用單調(diào)性判斷其取值范圍，再解決恒成立問(wèn)題得到M范圍，即可得到最小值.【詳解】解：（1）對(duì)任意的正整數(shù)n都有，令則，即故；（2），故，則，作差得，化簡(jiǎn)整理得，則，作差得，化簡(jiǎn)整理得，故數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，故通項(xiàng)公式為；（3）由（2）知數(shù)列的前n項(xiàng)和，故，故；（4），易見(jiàn)是遞減數(shù)列，故即.依題意不等式恒成立，即有，故正整數(shù)M的最小值為3.【點(diǎn)睛】證明等差數(shù)列的方法：

19、1.定義法；2.等差通項(xiàng)法；3.觀察法，利用公式特征觀察判斷，只用于小題中.數(shù)列求和的常用方法：1.公式法；2.裂項(xiàng)相消法；3.倒序相加法4.錯(cuò)位相減法；5.并項(xiàng)求和法.20已知數(shù)列的首項(xiàng)，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，若，求最大正整數(shù).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）99.【分析】（1）對(duì)遞推關(guān)系兩邊取倒數(shù)，再進(jìn)行構(gòu)造，即可得答案；（2）求出，再利用分組求和法，即等比數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和，再解不等式，即可得答案；【詳解】（1）證明：，又，()，數(shù)列為等比數(shù)列；(2)由（1），可得，若，則，最大正整數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】形如的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，常可以用構(gòu)造法進(jìn)行求解；數(shù)列不等式的解，

20、要充分利用為整數(shù)進(jìn)行代入求解.21已知數(shù)列滿足數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】（1），；（2）【分析】（1）由已知條件得，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；且，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）由（1）得，利用分組求和即可【詳解】（1）因?yàn)椋詾槭醉?xiàng)是1，公差為2的等差數(shù)列，所以又當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)， 由得，即，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故（2）由（1）得，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法：1.定義法：利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義；2.利用 與 的關(guān)系： ；3.累加法： ；4.累乘法：；5.構(gòu)造法：；6.取倒數(shù)或

21、者取對(duì)數(shù)22已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由,可得數(shù)列是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式即可；（2）由（1）得到，按為偶數(shù)和為奇數(shù)分類，利用等差數(shù)列的求和公式和并向求和法得出數(shù)列的前項(xiàng)和【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，兩式作差得，即，因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，故.（2），當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，前項(xiàng)和；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，前項(xiàng)和，則【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，數(shù)列求和的方法總結(jié)如下：1.公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計(jì)算即可；2.裂項(xiàng)相消法，通過(guò)把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩

22、項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求出數(shù)列的和；3.錯(cuò)位相減法，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)公式由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時(shí)使用此方法；4.倒序相加法，如果一個(gè)數(shù)列滿足首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和相等，可以使用此方法求和23如圖，在直角坐標(biāo)系中有邊長(zhǎng)為2的正方形，取其對(duì)角線的一半，構(gòu)成新的正方形，再取新正方形對(duì)角線的一半，構(gòu)成正方形如此形成一個(gè)邊長(zhǎng)不斷縮小的正方形系列.設(shè)這一系列正方形中心的縱坐標(biāo)為，其中為最大正方形中心的縱坐標(biāo).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，求的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意可知，再由第2n-1個(gè)正方形到直線的距離為和第2

23、n個(gè)正方形到直線的距離為，得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，利用分組求和法得出的前n項(xiàng)和.【詳解】（1）由題意可知，第2n-1個(gè)正方形到直線的距離為，即；第2n個(gè)正方形到直線的距離為，即，.（2）由（1）知，則，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和，數(shù)列求和的方法總結(jié)如下：1.公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計(jì)算即可；2.裂項(xiàng)相消法，通過(guò)把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求出數(shù)列的和；3.錯(cuò)位相減法，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)公式由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時(shí)使用此方法；4.倒序相加法，如果一個(gè)數(shù)列滿足首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和

24、相等，可以使用此方法求和24已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）令可求得的值，令，由可得出，兩式作差可得出，且有，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用累加法可求得，可得，進(jìn)而可求得數(shù)列的前項(xiàng)的和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由可得出，兩式作差得，即，則，且，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比也為，；（2）由題意得，所以，且，則，所以，所以，所以，所以，易得也適合上式，所以的前項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題考查利用與之間的關(guān)系求通項(xiàng)，同時(shí)也考查了并項(xiàng)求和法，考查

25、計(jì)算能力，屬于中等題.25已知有限數(shù)列an，從數(shù)列an 中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、第im項(xiàng)（i1i2im），順次排列構(gòu)成數(shù)列ak，其中bkak，1km，則稱新數(shù)列bk為an 的長(zhǎng)度為m的子列規(guī)定：數(shù)列an 的任意一項(xiàng)都是an 的長(zhǎng)度為1的子列若數(shù)列an 的每一子列的所有項(xiàng)的和都不相同，則稱數(shù)列an 為完全數(shù)列設(shè)數(shù)列an滿足ann，1n25，nN*（）判斷下面數(shù)列an 的兩個(gè)子列是否為完全數(shù)列，并說(shuō)明由；數(shù)列（1）：3，5，7，9，11；數(shù)列 （2）：2，4，8，16（）數(shù)列an 的子列ak長(zhǎng)度為m，且bk為完全數(shù)列，證明：m的最大值為6；（）數(shù)列an 的子列ak長(zhǎng)度m5，且bk為完全數(shù)列，求的

26、最大值【答案】（）數(shù)列（1）不是an的完全數(shù)列；數(shù)列（2）是an的完全數(shù)列；理由見(jiàn)解析（）證明見(jiàn)解析；（）【分析】（）直接利用信息的應(yīng)用和定義的應(yīng)用整理出結(jié)果（）根據(jù)定義的應(yīng)用求出子列的長(zhǎng)度假設(shè)長(zhǎng)度為m7，不妨設(shè)m7，得出矛盾，再說(shuō)明長(zhǎng)度為6時(shí)滿足條件.（）利用信息的應(yīng)用和關(guān)系式的恒等變換的應(yīng)用求出最大值【詳解】（）數(shù)列 （1）不是an的完全數(shù)列；數(shù)列 （2）是an的完全數(shù)列理由如下：數(shù)列 （1）：3，5，7，9，11中，因?yàn)?+95+712，所以數(shù)列（1）不是an的完全數(shù)列；數(shù)列 （2）：2，4，8，16中，所有項(xiàng)的和都不相等，數(shù)列（2）是an的完全數(shù)列（）假設(shè)數(shù)列bk長(zhǎng)度為m7，不妨設(shè)m7

27、，各項(xiàng)為b1b2b3b7考慮數(shù)列bk的長(zhǎng)度為2，3，7的所有子列，一共有2717120個(gè)記數(shù)列bk的長(zhǎng)度為2，3，7的所有子列中，各個(gè)子列的所有項(xiàng)之和的最小值為a，最大值為A所以ab1+b2，Ab1+b2+25+24+23+22+21b1+b2+115所以其中必有兩個(gè)子列的所有項(xiàng)之和相同所以假設(shè)不成立再考慮長(zhǎng)度為6的子列：12，18，21，23，24，25，滿足題意所以子列bk的最大長(zhǎng)度為6（）數(shù)列an 的子列bk長(zhǎng)度m5，且bk為完全數(shù)列，且各項(xiàng)為b1b2b3b5所以，由題意得，這5項(xiàng)中任意i（1i5）項(xiàng)之和不小于2i1即對(duì)于任意的1i5，有，即對(duì)于任意的1i5，設(shè)（i1，2，3，4，5），

28、則數(shù)列ci的前j項(xiàng)和Dj0（j1，2，3，4，5）下面證明：因?yàn)椋ǎǎ?所以，當(dāng)且僅當(dāng)（i1，2，3，4，5）時(shí)，等號(hào)成立所以求的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義，考查反證法的應(yīng)用，考查關(guān)系式的恒等變換的應(yīng)用，屬于難題.三、填空題26數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則_.【答案】.【分析】由于，可得數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)為，前項(xiàng)的所有偶數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，從而可求得其結(jié)果【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)為，前項(xiàng)的所有偶數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，所以.故答案為：101027已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為_(kāi).【答案】【分析】由已知構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項(xiàng)得解.【詳解】，故數(shù)列是以2為公比，以為第二項(xiàng)的等比數(shù)列，故，故，故答

29、案為：【點(diǎn)睛】(的常數(shù))遞推關(guān)系求通項(xiàng)，構(gòu)造等比數(shù)列是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.28在數(shù)列中，若，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則_.【答案】【分析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為公差為2的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得偶數(shù)項(xiàng)的特征，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求和即可.【詳解】，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為公差為2的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，故答案為：2550.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為公差是2的等差數(shù)列；（2）得到數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)滿足.29已知等差數(shù)列中，則數(shù)列的前n項(xiàng)和=_.【答案】【分析】利用兩角差的正切公式可得到，從而可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再代入求和化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果?！驹斀狻?，又等差數(shù)列中，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵是會(huì)逆利用兩角差的正切公式，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，在求和的過(guò)程中巧用相消法得到數(shù)列的和，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.30已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi).設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和_.【答案】 【分析】根據(jù)寫式子，兩式子相減整理得，再驗(yàn)證時(shí)是否成立，即可寫出通項(xiàng)公式.由已知可得，運(yùn)用分