金融工程學課件：6-2 期權(quán)價值限分析

1、三、期權(quán)價格的上、下限（一）期權(quán)價格的上限 1. 看漲期權(quán)價格的上限對于美式和歐式看跌期權(quán)來說，標的資產(chǎn)價格就是看漲期權(quán)價格的上限：其中，c代表歐式看漲期權(quán)價格，C代表美式看漲期權(quán)價格，S代表標的資產(chǎn)價格。 第二節(jié) 期權(quán)價值限分析 2. 看跌期權(quán)價格的上限 美式看跌期權(quán)價格（P）的上限為X： 歐式看跌期權(quán)的上限為： 其中，r代表T時刻到期的無風險利率，t代表現(xiàn)在時刻。第二節(jié) 期權(quán)價值限分析（二）期權(quán)價格的下限 1. 歐式看漲期權(quán)價格的下限 （1）無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限我們考慮如下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金組合B：一單位標的資產(chǎn) 第二節(jié) 期權(quán)價值限分析1. 歐

2、式看漲期權(quán)價格的下限（2）在T時刻，組合A 的價值為：組合B的價值為ST。 由于 ，因此，在t時刻組合A的價值也應大于等于組合B，即:由于期權(quán)的價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格下限為： 第二節(jié) 期權(quán)價值限分析（2）有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為 ，其中D為期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值，并經(jīng)過類似的推導，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限為： 第二節(jié) 期權(quán)價值限分析2. 歐式看跌期權(quán)價格的下限（1）無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限 考慮以下兩種組合： 組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn) 組合D：金額為 的現(xiàn)金在T時刻，組合C的價值為：max

3、（ST，X），組合D的價值為X 。第二節(jié) 期權(quán)價值限分析（1）無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限由于組合C的價值在T時刻大于等于組合D，因此組合C的價值在t時刻也應大于等于組合D，即：由于期權(quán)價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格下限為： 第二節(jié) 期權(quán)價值限分析我們只要將上述組合D的現(xiàn)金改為 就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限為： 從以上分析可以看出，歐式期權(quán)的下限實際上就是其內(nèi)在價值。 （2）有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限第二節(jié) 期權(quán)價值限分析四、提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性 （一）提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性 1. 看漲期權(quán) 由于現(xiàn)金會產(chǎn)生收益，而提前執(zhí)行看漲期權(quán)得到的標的資

4、產(chǎn)無收益，再加上美式期權(quán)的時間價值總是為正的，因此我們可以直觀地判斷提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)是不明智的。 第二節(jié) 期權(quán)價值限分析考慮如下兩個組合：組合A：一份美式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金組合B：一單位標的資產(chǎn)在T時刻，組合A的現(xiàn)金變?yōu)閄，組合A的價值為max（ST，X）。而組合B的價值為ST，可見，組合A在T時刻的價值一定大于等于組合B。這意味著，如果不提前執(zhí)行，組合A的價值一定大于等于組合B。第二節(jié) 期權(quán)價值限分析若在 時刻提前執(zhí)行，則提前執(zhí)行看漲期權(quán)所得盈利等于S-X，其中S 表示時刻 標的資產(chǎn)的市價，而此時現(xiàn)金金額變?yōu)?，其中 表示 T- 時段的遠期利率。因此，若提前執(zhí)行的話，

5、在 時刻組合A的價值為： ，而組合B的價值為 。由于 ，因此 。這就是說,若提前執(zhí)行美式期權(quán)的話，組合A的價值將小于組合B。第二節(jié) 期權(quán)價值限分析比較兩種情況我們可以得出結(jié)論：提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)是不明智的。因此，同一種無收益標的資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)和歐式看漲期權(quán)的價值是相同的，即：C=c 根據(jù)上式，我們可以得到無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價格的下限： 第二節(jié) 期權(quán)價值限分析2.看跌期權(quán)我們考察如下兩種組合： 組合A：一份美式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn) 組合B：金額為 的現(xiàn)金若不提前執(zhí)行，則到T時刻，組合A的價值為max（X，ST），組合B的價值為X，因此組合A的價值大于等于組合B。第二節(jié)

6、期權(quán)價值限分析若在 時刻提前執(zhí)行，則組合A的價值為X，組合B的價值為 ，因此組合A的價值也高于組合B。比較這兩種結(jié)果我們可以得出結(jié)論：是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)，主要取決于期權(quán)的實值額（X-S）、無風險利率水平等因素。一般來說，只有當S相對于X來說較低，或者r較高時，提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的。美式期權(quán)的下限為：第二節(jié) 期權(quán)價值限分析（二）提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性 1.看漲期權(quán) 由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)可較早獲得標的資產(chǎn)，從而獲得現(xiàn)金收益，而現(xiàn)金收益可以派生利息，因此在一定條件下，提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)有可能是合理的。 我們假設在期權(quán)到期

7、前，標的資產(chǎn)有n個除權(quán)日，t1，t2，tn為除權(quán)前的瞬時時刻，在這些時刻之后的收益分別為D1，D2，Dn，在這些時刻的標的資產(chǎn)價格分別為 S1，S2，Sn。 第二節(jié) 期權(quán)價值限分析由于在無收益的情況下，不應提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)，我們可以據(jù)此得到一個推論：在有收益情況下，只有在除權(quán)前的瞬時時刻提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)方有可能是最優(yōu)的。因此我們只需推導在每個除權(quán)日前提前執(zhí)行的可能性。我們先來考察在最后一個除權(quán)日（tn）提前執(zhí)行的條件。如果在tn時刻提前執(zhí)行期權(quán)，則期權(quán)多方獲得Sn-X的收益。若不提前執(zhí)行，則標的資產(chǎn)價格將由于除權(quán)降到Sn-Dn。 第二節(jié) 期權(quán)價值限分析根據(jù)式前式，在tn時刻期權(quán)的價值（

8、Cn）:因此，如果：即： ,則在tn提前執(zhí)行是不明智的。相反，如果 ,則在tn提前執(zhí)行有可能是合理的。實際上，只有當tn時刻標的資產(chǎn)價格足夠大時，提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)才是合理的。第二節(jié) 期權(quán)價值限分析同樣，對于任意在ti時刻不能提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)條件是：由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價值大于等于歐式看漲期權(quán)，其下限為： 第二節(jié) 期權(quán)價值限分析 2.看跌期權(quán)由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán)，因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。通過同樣的分析，我們可以得出美式看跌期權(quán)不能提前執(zhí)行的條件是：由于美式看跌

9、期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性，因此其下限為： 第二節(jié) 期權(quán)價值限分析五、期權(quán)價格曲線的形狀 （一）看漲期權(quán)價格曲線 我們先看無收益資產(chǎn)的情況?？礉q期權(quán)價格的上限為S，下限為max 。期權(quán)價格下限就是期權(quán)的內(nèi)在價值。當內(nèi)在價值等于零時，期權(quán)價格就等于時間價值。時間價值在S=Xe-r(T-t)時最大；當S趨于0和時，時間價值也趨于0，此時看漲期權(quán)價值分別趨于0和SX e-r(T-t)。特別地，當S=0時，C=c=0。第二節(jié) 期權(quán)價值限分析此外，r越高、期權(quán)期限越長、標的資產(chǎn)價格波動率越大，則期權(quán)價格曲線以0點為中心，越往右上方旋轉(zhuǎn)，但基本形狀不變，而且不會超過上限，如下圖所示： 第二節(jié) 期權(quán)價值限分析（

10、二）看跌期權(quán)價格曲線 1.歐式看跌期權(quán)價格曲線 我們先看無收益資產(chǎn)看跌期權(quán)的情形。歐式看跌期權(quán)的上限為 ，下限為 。 當 時，它就是歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價值，也是其價格下限，當 時，歐式看跌期權(quán)內(nèi)在價值為0，其期權(quán)價格等于時間價值。當S= 時，時間價值最大。當S趨于0和時，期權(quán)價格分別趨于 和0。特別地，當S=0時， 。 第二節(jié) 期權(quán)價值限分析r越低、期權(quán)期限越長、標的資產(chǎn)價格波動率越高，看跌期權(quán)價值以0為中心越往右上方旋轉(zhuǎn)，但不能超過上限，如下圖所示：看跌期權(quán)價格 X e-r(T-t) 上限 歐式看跌期權(quán)價格 下限、 內(nèi)在價值 時間價值 0 X e-r(T-t) S第二節(jié) 期權(quán)價值限分析2.美

11、式看跌期權(quán)價格曲線對于無收益標的資產(chǎn)來說，美式看跌期權(quán)上限為X，下限為XS。但當標的資產(chǎn)價格足夠低時，提前執(zhí)行是明智的，此時期權(quán)的價值為XS。因此當S較小時，看跌期權(quán)的曲線與其下限或者說內(nèi)在價值XS是重合的。當S=X時，期權(quán)時間價值最大。其它情況與歐式看跌期權(quán)類似，如下圖所示。第二節(jié) 期權(quán)價值限分析美式看跌期權(quán)價格曲線 x 上限 美式看跌期權(quán)價格 下限、 內(nèi)在價值 時間價值 0 x s第二節(jié) 期權(quán)價值限分析六、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系 （一）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系 1.無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán) 考慮如下兩個組合： 組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金 組合B：一份有效期

12、和協(xié)議價格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn)第二節(jié) 期權(quán)價值限分析在期權(quán)到期時，兩個組合的價值均為max(ST,X)。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時刻t必須具有相等的價值，即： （1）這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系（Parity）。如果式（1）不成立，則存在無風險套利機會。套利活動將最終促使式（1）成立。 第二節(jié) 期權(quán)價值限分析2.有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)在標的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為 ，我們就可推導有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價關(guān)系： 第二節(jié) 期權(quán)價值限分析(2)（二）美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系 1.無收益資產(chǎn)美式期權(quán) 由于Pp,從式（1）中我們可得：對于無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)來說，由于c=C，因此： 即 （3）第二節(jié) 期權(quán)價值限分析無收益資產(chǎn)美式期權(quán)考慮以下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為X的現(xiàn)金組合B：一份美式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn)第二節(jié) 期權(quán)價值限分析如果美式期權(quán)沒有提前執(zhí)行，則在T時刻組合B的價值為 max(ST, X) ，而此時組合 A 的為 。因此組合A的價值大于組合B。 如果美式期權(quán)在時刻提前執(zhí)行，則在時刻 ，組合B的價值為X，而此時組合