3.5.2簡單線性規(guī)劃 (3)

1、3.5二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題3.5.1二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域?qū)W習(xí)目標(biāo)1.理解二元一次不等式組的解、解集概念.2.會畫出二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域.知識點(diǎn)一二元一次不等式(組)的概念思考對于只含有一個未知數(shù)的不等式x6，它的一個解就是能滿足不等式的x的一個值，比如x0.那么對于含有兩個未知數(shù)的不等式xy0，,x40)的解集為數(shù)軸上的一個區(qū)間(如圖).那么，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，二元一次不等式xy6的解集表示什么圖形呢？答案 二元一次不等式xy6的解是一個有序數(shù)對(x，y)，它在平面直角坐標(biāo)系中對應(yīng)一個點(diǎn).顯然不等式xy6的解不止一個，且這些解不在直線xy6上.經(jīng)

2、探索，以二元一次不等式xy6的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線的左上方；反之，直線左上方點(diǎn)的坐標(biāo)也滿足不等式xy6.因此，在直角坐標(biāo)系中，不等式xy0(或0(或0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一區(qū)域.()2.點(diǎn)(1，2)不在不等式2xy10表示的平面區(qū)域內(nèi).()3.不等式AxByC0與AxByC0表示的平面區(qū)域是相同的.()4.二元一次不等式組中每個不等式都是二元一次不等式.()5.二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域都是封閉區(qū)域.()類型一二元一次不等式解的幾何意義例1已知點(diǎn)(3，1)和(4，6)在直線3x2ya0的兩側(cè)，則a的取值范圍是 .答案(7，24)解析點(diǎn)(3，1)和(4，6)必有一個是3x

3、2ya0的解，另一個點(diǎn)是3x2ya0的解.eq blcrc (avs4alco1(3321a0，,3426a0)或eq blcrc (avs4alco1(3321a0，,3426a0，)即(3321a)3(4)26a0，(a7)(a24)0，解得7a24.反思與感悟?qū)τ谥本€l：AxByC0兩側(cè)的點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，若Ax1By1C0，則Ax2By2C0，即同側(cè)同號，異側(cè)異號.跟蹤訓(xùn)練1經(jīng)過點(diǎn)P(0，1)作直線l，若直線l與連接A(1，2)，B(2，1)的線段總有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍.解由題意知直線l的斜率存在，設(shè)為k.則可設(shè)直線l的方程為kxy10，由題意知A，B兩

4、點(diǎn)在直線l上或在直線l的兩側(cè)，所以有(k1)(2k2)0，所以1k1.故直線l的斜率k的取值范圍是1，1.類型二二元一次不等式表示的平面區(qū)域例2畫出不等式x4y4表示的平面區(qū)域.解先作出邊界x4y4，因為這條線上的點(diǎn)都不滿足x4y4，所以畫成虛線.取原點(diǎn)(0，0)，代入x4y4，因為040440，所以原點(diǎn)(0，0)在x4y40表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以不等式x4y4表示的平面區(qū)域在直線x4y4的左下方.所以x4y0表示的平面區(qū)域在直線x2y60的()A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方答案B解析在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線x2y60，觀察圖象知原點(diǎn)在直線的右下方，將原點(diǎn)(0，0)代入x2y

5、6，得00660，所以原點(diǎn)(0，0)在不等式x2y60表示的平面區(qū)域內(nèi)，故選B.類型三二元一次不等式(組) 表示的平面區(qū)域eq x(命題角度1畫平面區(qū)域)例3用平面區(qū)域表示不等式組eq blcrc (avs4alco1(y3x12，,x2y)的解集.解不等式y(tǒng)3x12，即3xy120，表示的平面區(qū)域在直線3xy120的左下方；不等式x2y，即x2y0，表示的是直線x2y0左上方的區(qū)域.取兩區(qū)域重疊的部分，如圖中的陰影部分就表示原不等式組的解集.引申探究|x|2y|表示什么區(qū)域？解|x|2y|等價于x2(2y)2，即(x2y)(x2y)0，即eq blcrc (avs4alco1(x2y0，,x

6、2y0)或eq blcrc (avs4alco1(x2y0，,x2y0，)其表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.反思與感悟在畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域時，應(yīng)先畫出每個不等式表示的區(qū)域，再取它們的公共部分即可.其步驟：畫線；定側(cè)；求“交”；表示.但要注意是否包含邊界.跟蹤訓(xùn)練3畫出下列不等式組所表示的平面區(qū)域.(1)eq blcrc (avs4alco1(x2y3，,xy3，,x0，,y0.)(2)eq blcrc (avs4alco1(xy2，,2xy1，,xy2.)解(1)x2y3，即x2y30，表示直線x2y30上及左上方的區(qū)域；xy3，即xy30，表示直線xy30上及左下方的區(qū)域；x0

7、表示y軸及其右邊區(qū)域；y0表示x軸及其上方區(qū)域.綜上可知，不等式組(1)表示的區(qū)域如圖陰影部分(含邊界)所示.(2)xy2，即xy20，表示直線xy20左上方的區(qū)域；2xy1，即2xy10，表示直線2xy10上及右上方的區(qū)域；xy2表示直線xy2左下方的區(qū)域.綜上可知，不等式組(2)表示的區(qū)域如圖陰影部分所示.eq x(命題角度2求區(qū)域面積)例4在平面直角坐標(biāo)系中，求不等式組eq blcrc (avs4alco1(xy20，,xy20，,x2)表示的平面區(qū)域的面積.解在平面直角坐標(biāo)系中，作出xy20，xy20和x2三條直線，利用特殊點(diǎn)(0，0)可知可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，所以面積為S

8、eq f(1,2)424.反思與感悟求平面區(qū)域的面積的方法求平面區(qū)域的面積，先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積.若圖形為規(guī)則的，則直接利用面積公式求解；若圖形為不規(guī)則圖形，可采取分割的方法，將平面區(qū)域分為幾個規(guī)則圖形求解.跟蹤訓(xùn)練4不等式組eq blcrc (avs4alco1(x0，,x3y4，,3xy4)所表示的平面區(qū)域的面積等于()A.eq f(3,2) B.eq f(2,3) C.eq f(4,3) D.eq f(3,4)答案C解析作出平面區(qū)域如圖所示為ABC，由eq blcrc (avs4alco1(x3y40，,3xy40，)可得A(1，1)，又B(0，4)，C

9、eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(4,3)，SABCeq f(1,2)|BC|xA|eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(4f(4,3)1eq f(4,3)，故選C.1.不在不等式3x2y6表示的平面區(qū)域內(nèi)的一個點(diǎn)是()A.(0，0) B.(1，1)C.(0，2) D.(2，0)答案D解析將四個點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入不等式中，其中點(diǎn)(2，0)代入后不等式不成立，故此點(diǎn)不在不等式3x2y0，,x2，,3x2y60，,x0) D.eq blcrc (avs4alco1(y2，,3x2y60，,x2.又陰影部分在直線x0左邊，且包含直線x0，故可得不等式x0.由圖象可

10、知，第三條邊界線過點(diǎn)(2，0)，點(diǎn)(0，3)，故可得直線3x2y60，因為此直線為虛線且原點(diǎn)O(0，0)在陰影部分，故可得不等式3x2y60.觀察選項可知選C.3.下面給出的四個點(diǎn)中，位于eq blcrc (avs4alco1(xy10)表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是()A.(0，2) B.(2，0) C.(0，2) D.(2，0)答案C解析依次將A，B，C，D四個選項代入即可知只有C符合條件.4.畫出下列二元一次不等式表示的平面區(qū)域.(1)x2y40；(2)y2x.解(1)畫出直線x2y40，020440，x2y40表示的區(qū)域為含(0，0)的一側(cè)，因此所求為如圖所示的陰影部分區(qū)域，包括邊界.(2)畫

11、出直線y2x0，02120(即y2x)表示的區(qū)域為不含(1，0)的一側(cè)，因此所求為如圖所示的陰影部分區(qū)域，不包括邊界.1.對于任意的二元一次不等式AxByC0(或0時，(1)AxByC0表示直線AxByC0上方的區(qū)域；(2)AxByC1，,y0)表示的平面區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)的個數(shù)是()A.2 B.4 C.6 D.8答案C解析畫出可行域后，可按x0，x1，x2，x3分類代入檢驗，符合要求的點(diǎn)有(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，共6個.3.直線2xy100與不等式組eq blcrc (avs4alco1(x0，,y0，,xy2，,4x3y20)表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有

12、()A.0個 B.1個 C.2個 D.無數(shù)個答案B解析畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界).直線過(5，0)點(diǎn)，故只有1個公共點(diǎn)(5，0).4.如圖所示，表示滿足不等式(xy)(x2y2)0的點(diǎn)(x，y)所在的平面區(qū)域為()答案B解析不等式(xy)(x2y2)0等價于不等式組eq blcrc (avs4alco1(xy0，,x2y20)或不等式組eq blcrc (avs4alco1(xy0，,x2y20所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m的取值范圍是()A.m1 B.m1 C.m1答案D解析由2m350，得m1.二、填空題7.原點(diǎn)與點(diǎn)(1，1)有且僅有一個點(diǎn)在不等式2xya0表示的平面區(qū)域內(nèi)，則a的取值

13、范圍為 .答案(1，0解析根據(jù)題意，分以下兩種情況：原點(diǎn)(0，0)在該區(qū)域內(nèi)，點(diǎn)(1，1)不在該區(qū)域內(nèi).則eq blcrc (avs4alco1(a0，,a10，)無解；原點(diǎn)(0，0)不在該區(qū)域內(nèi)，點(diǎn)(1，1)在該區(qū)域內(nèi)，則eq blcrc (avs4alco1(a0，,a10，)1a0.綜上所述，10，,x1)10.若點(diǎn)P(m，3)到直線4x3y10的距離為4，且點(diǎn)P在不等式2xy30表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的值為 .答案3解析由點(diǎn)P(m，3)到直線4x3y10的距離deq f(|4m91|,5)4，得m7或m3.又點(diǎn)P在不等式2xy30表示的平面區(qū)域內(nèi)，當(dāng)m3時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3)，

14、則2(3)330，不符合題意，舍去.綜上，m3.三、解答題11.畫出不等式組eq blcrc (avs4alco1(xy50，,xy0，,x3)表示的平面區(qū)域.解先畫出直線xy50(畫成實(shí)線)，取原點(diǎn)O(0，0)，代入xy5，因為00550，所以原點(diǎn)在xy50表示的平面區(qū)域內(nèi)，即xy50表示直線xy50上及其右下方的點(diǎn)的集合，同理可得xy0表示直線xy0上及其右上方的點(diǎn)的集合，x3表示直線x3上及其左方的點(diǎn)的集合.所以原不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分(含邊界).12.在ABC中，A(3，1)，B(1，1)，C(1，3)，寫出ABC區(qū)域(包括邊界)所表示的二元一次不等式組.解如圖所示

15、，可求得直線AB，BC，CA的方程分別為x2y10，xy20，2xy50.ABC區(qū)域在直線AB上及其右上方，x2y10；ABC區(qū)域在直線BC上及其右下方，xy20；ABC區(qū)域在直線AC上及其左下方，2xy50.ABC區(qū)域可表示為eq blcrc (avs4alco1(x2y10，,xy20，,2xy50.)13.利用平面區(qū)域求不等式組eq blcrc (avs4alco1(x3，,y2，,6x7y50)的整數(shù)解.解由線性約束條件畫出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示.把x3代入6x7y50，得yeq f(32,7)，又y2，整點(diǎn)有(3，2)，(3，3)，(3，4)；把x4代入6x7y50，得ye

16、q f(26,7)，整點(diǎn)有(4，2)，(4，3).把x5代入6x7y50，得yeq f(20,7)，整點(diǎn)有(5，2)；把x6代入6x7y50，得y2，整點(diǎn)有(6，2)；把x7代入6x7y50，得yeq f(8,7)，與y2矛盾.整數(shù)解共7個，為(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(5，2)，(6，2).四、探究與拓展14.不等式組eq blcrc (avs4alco1(x0，,y0，,xyr(2)10，,xkyk0)表示的是一個軸對稱四邊形圍成的區(qū)域，則k為()A.1 B.1C.1 D.2答案C解析在不等式組eq blcrc (avs4alco1(x0，,y0，,xyr(2)10)所表示的平面區(qū)域中，三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，0)，(eq r(2)1，0)，(0，eq r(2)1)，又xkyk0表示的是過點(diǎn)(0，1)的直線，則當(dāng)k0時，k1滿足條件(如圖1)；當(dāng)k0時，k1滿足條件(如圖2).故當(dāng)k1或1時不等式組eq blcrc (avs4alco1(x0，,y0，,xyr(2)10，,xkyk0)表示的是一個軸對稱四邊形圍成的區(qū)域，故選C.圖1 圖215.記不等式組