協(xié)調(diào)與談判（PPT 82頁(yè)）--納什談判解

1、協(xié)調(diào)與談判主要內(nèi)容： 4.1 協(xié)調(diào)博弈 4.2 4.3 納什談判解 4.4 初始參考點(diǎn)和其它談判解 4.5 威脅1 4.1 協(xié)調(diào)博弈 4.1.1 多重納什均衡 4.1.2 協(xié)調(diào)博弈24.1.1 多重納什均衡 多重納什均衡 多重納什均衡的一些選擇標(biāo)準(zhǔn) 3多重納什均衡 當(dāng)一個(gè)博弈中存在有不止一個(gè)納什均衡時(shí)，稱為一個(gè)多重納什均衡博弈問(wèn)題。 在多重納什均衡的情況下，有兩個(gè)基本問(wèn)題： 一是在多個(gè)納什均衡中進(jìn)行選擇的標(biāo)準(zhǔn)， 二是如何保證局中人的策略選擇能保證所選策略能實(shí)現(xiàn)納什均衡，而這兩個(gè)問(wèn)題又是交織在一起的。4多重納什均衡的一些選擇標(biāo)準(zhǔn) 1. 帕累托占優(yōu)納什均衡。 2. 風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)納什均衡。 3. 聚點(diǎn)均

2、衡。5帕累托占優(yōu)納什均衡 定義4.1.1 在博弈 中，若 均為G的其納什均衡，若 滿足 則稱 為博弈G的帕累托占優(yōu)納什均衡。 例4.1.1 戰(zhàn)爭(zhēng)與和平博弈 設(shè)有兩個(gè)國(guó)家均有戰(zhàn)爭(zhēng)與和平兩策略，其博弈結(jié)果如右： 該博弈有三個(gè)納什均衡：（戰(zhàn)爭(zhēng)，戰(zhàn)爭(zhēng)）、（和平，和平）和一個(gè)混合策略納什均衡 。很顯然，（和平，和平）是一個(gè)帕累托占優(yōu)納什均衡。 6風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)納什均衡 例4.1.2 價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)博弈：設(shè)有兩個(gè)商家，均有“高價(jià)”和“低價(jià)”兩種策略，其收益情況見(jiàn)右表： 該博弈有三個(gè)納什均衡點(diǎn)：（高價(jià)，高價(jià)）、（低價(jià)，低價(jià)）和一個(gè)混合策略納什均衡點(diǎn) 。 經(jīng)過(guò)比較，（高價(jià)，高價(jià)）是一個(gè)帕累托占優(yōu)納什均衡。但是納什均衡（低

3、價(jià)，低價(jià)）對(duì)商家更有吸引力。因?yàn)椴捎门晾弁姓純?yōu)納什均衡（高價(jià)，高價(jià)）具有風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)局中人1采用“高價(jià)”策略時(shí)，若對(duì)方局中人2采用“低價(jià)”時(shí)，他得到的收益將減少到0；而局中人出“低價(jià)”策略，可保證最低收入為7。7 若將此例的情況再特殊一點(diǎn)，假設(shè)這兩個(gè)商家相鄰，且出售同一品牌的同一種產(chǎn)品，其收益情況見(jiàn)右表： 此時(shí)，博弈仍有三個(gè)納什均衡，其中（高價(jià)，高價(jià)）和（低價(jià)，低價(jià)）仍是兩個(gè)純策略納什均衡點(diǎn)，（高價(jià)，高價(jià)）是帕累托占優(yōu)納什均衡。但此時(shí)商家一定會(huì)出“低價(jià)”策略，而避免出“高價(jià)”策略的風(fēng)險(xiǎn)。在這個(gè)博弈中，我們稱（低價(jià)，低價(jià)）為該博弈的“風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)納什均衡”。風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)納什均衡難以給一個(gè)準(zhǔn)確的定義，它取決于

4、局中人的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，歷史情況，外來(lái)影響等多種因素，只能具體情況具體分析。風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)納什均衡在經(jīng)濟(jì)和管理中的應(yīng)用是非常普遍的現(xiàn)象8聚點(diǎn)均衡 在一些多重均衡的博弈中，人們對(duì)多個(gè)均衡點(diǎn)選取依賴于博弈之外的一些特定的環(huán)境狀態(tài)，包括共同的知識(shí)，共同的習(xí)慣，特殊的背景等。 在前面的第2章中，我們討論過(guò)夫妻愛(ài)好問(wèn)題。該博弈中有三個(gè)納什均衡，其中兩個(gè)純策略納什均衡分別是（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）。夫妻雙方選擇什么樣的納什均衡呢？這里不存在上述的帕累托占優(yōu)納什均衡，也不存在風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)納什均衡，其均衡選擇依賴于該博弈之外的特定環(huán)境。如果丈夫工作勞累，妻子溫柔體貼，他們會(huì)選擇（足球，足球）；如果該周末正好是妻子的生日

5、，他們會(huì)選擇（芭蕾，芭蕾）。 在多重均衡的博弈中，我們稱這種有一致意向選擇的均衡為“聚點(diǎn)均衡”，它取決于該博弈之外的特定環(huán)境。9 例4.1.3 約會(huì)博弈現(xiàn)有兩個(gè)人約定第二天就一項(xiàng)重要事宜進(jìn)行商討，但未給出具體時(shí)間。一旦約會(huì)成功，兩人都會(huì)有收益，約會(huì)不能見(jiàn)面會(huì)誤事，收益為負(fù)效應(yīng)。假設(shè)第一人在時(shí)刻到達(dá)，而第二個(gè)人在時(shí)刻到達(dá)。顯然當(dāng)時(shí)，是納什均衡點(diǎn)，這種納什均衡點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)。 進(jìn)行約會(huì)的對(duì)方會(huì)選擇哪一時(shí)刻，取決于博弈之外的特定環(huán)境。如果雙方都知道對(duì)方的工作習(xí)慣是上午9點(diǎn)開(kāi)始工作，他們會(huì)選擇會(huì)面時(shí)刻在上午9點(diǎn)。如果對(duì)方歷次見(jiàn)面都是中午12點(diǎn)吃工作餐，他們會(huì)選擇時(shí)刻在中午12點(diǎn)。 在多重均衡的博弈中，聚

6、點(diǎn)均衡只能具體問(wèn)題具體分析。104.1.2 協(xié)調(diào)博弈 多重均衡的博弈的兩個(gè)難題 協(xié)調(diào)博弈的分類 純粹協(xié)調(diào)博弈的特征 博弈論專家對(duì)實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)有一些共同的看法 11多重均衡的博弈的兩個(gè)難題第一個(gè)難題是，當(dāng)理性的局中人面臨著多種策略可以達(dá)到均衡時(shí)，如何使所有局中人在策略選擇上實(shí)現(xiàn)納什均衡的一致性，即使每個(gè)局中人的選擇結(jié)果而組成的策略組合是一個(gè)納什均衡。第二個(gè)難題是，在多重均衡中，存在有社會(huì)最優(yōu)的帕累托占優(yōu)納什均衡，如何使所有的局中人選擇策略，使得組成的策略組合是一個(gè)帕累托占優(yōu)納什均衡。這構(gòu)成了協(xié)調(diào)博弈討論的問(wèn)題。12協(xié)調(diào)博弈的分類對(duì)協(xié)調(diào)博弈可分為兩類：純粹協(xié)調(diào)博弈和非純粹協(xié)調(diào)博弈。 在一個(gè)純粹協(xié)調(diào)博弈

7、中，局中人對(duì)不同的均衡有相同的偏好。例如，例4.1.2 。在一個(gè)非純粹協(xié)調(diào)博弈中，局中人對(duì)不同的均衡有不同的偏好。例如夫妻愛(ài)好博弈。 13純粹協(xié)調(diào)博弈的特征純粹協(xié)調(diào)博弈有什么特征，我們先看一個(gè)例題。 例4.1.4 Cooper的協(xié)調(diào)博弈：設(shè)有兩個(gè)局中人A和B，兩人從事同一種生產(chǎn)。局中人努力的情況為 。假設(shè)人均消費(fèi)量為 每個(gè)人的得益為 該博弈的得益矩陣如圖 該博弈有兩個(gè)純策略納什均衡(1，1)和(2，2)，很明顯（1，1）是風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)均衡。而（2，2）是帕累托占優(yōu)納什均衡。帕累托占優(yōu)納什均衡是社會(huì)最優(yōu)的。這顯然是個(gè)純粹協(xié)調(diào)博弈問(wèn)題。14在該博弈中，若局中人A選擇了策略2，局中人B從第一個(gè)均衡（1，

8、1）轉(zhuǎn)向（2，2），B的收益將增加1個(gè)單位。局中人A和B位置交換結(jié)論也一樣。這表明，有一個(gè)局中人選擇了帕累托占優(yōu)納什均衡中的策略，能增加另一方選擇帕累托占優(yōu)納什均衡中策略的邊際收益。這種具有正反饋的特征稱之為策略的互補(bǔ)性。在實(shí)際的博弈中，局中人是否都會(huì)選擇策略2，或在多次同樣的博弈中局中人都會(huì)選擇策略2，以實(shí)現(xiàn)帕累托占優(yōu)納什均衡呢？答案是否定的。對(duì)純粹協(xié)調(diào)博弈，（下面簡(jiǎn)稱協(xié)調(diào)博弈）的研究大多是用實(shí)驗(yàn)博弈的方法進(jìn)行的。下面將Cooper等人對(duì)協(xié)調(diào)博弈的研究介紹如下。 15CG是Cooperation Game 的簡(jiǎn)稱，22是指2人雙矩陣非合作博弈。該博弈的得益矩陣如下：該博弈有兩純策略納什均衡1

9、，1和2，2，其中1，1是風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)均衡，2，2是帕累托占優(yōu)納什均衡，這與例4.1.4在本質(zhì)上是一樣的。庫(kù)珀（Cooper）對(duì)該博弈的實(shí)驗(yàn)是這樣進(jìn)行的：選擇了11個(gè)人，每人均與其余人進(jìn)行上述得益矩陣下的兩次博弈，其博弈順序不是公共的知識(shí)。若每次博弈完后，則按上面得益矩陣計(jì)分。當(dāng)實(shí)驗(yàn)全部結(jié)束后，參與人按所得的分?jǐn)?shù)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)。16實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，自然協(xié)調(diào)成功的情況不存在。在實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到最后11個(gè)階段的博弈中，出現(xiàn)了10次1，1的風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)均衡，有1次未出現(xiàn)均衡，而帕累托占優(yōu)納什均衡2，2未出現(xiàn)。庫(kù)珀對(duì)這種現(xiàn)象的解釋是：風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)在該博弈中的指導(dǎo)作用要好于帕累托占優(yōu)。 不少學(xué)者進(jìn)行了類似的2人協(xié)調(diào)博弈實(shí)驗(yàn)。取所

10、取得局中人的得益函數(shù)為 其中為局中人的策略，取值為自然數(shù)序列，可參考例4.1.4。這些實(shí)驗(yàn)都與庫(kù)珀對(duì)CG-22的博弈實(shí)驗(yàn)有類似結(jié)論。17例4.1.6 CG-33協(xié)調(diào)博弈：CG的意義同例4.5，33是指一個(gè)2人3策略的非合作博弈。 該博弈的得益矩陣為： 庫(kù)珀通過(guò)改變參數(shù)x和y的取值，實(shí)驗(yàn)局中人對(duì)這些參數(shù)的理解和對(duì)均衡的影響。其中三個(gè)最典型的實(shí)驗(yàn)為： 情形1：（x，y）=（1000，0） 情形2：（x，y）=（700，1000）在這兩種情況下，策略組合1，1和2，2都是純策略納什均衡，且1，1是風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)均衡，2，2是帕累托占優(yōu)納什均衡。18實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是：（1）博弈的結(jié)果基本上都是納什均衡；（2）在

11、情形1中，多數(shù)結(jié)果是1，1風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)均衡；在情形2中，多數(shù) 結(jié)果是2，2帕累托占優(yōu)納什均衡。在該博弈中，策略組合3，3稱為次優(yōu)策略組合，但不是納什均衡。對(duì)策略3，情形1中局中人的最優(yōu)反應(yīng)是策略1，而在情形2中，局中人的最優(yōu)反應(yīng)是策略2。因此，庫(kù)珀對(duì)該博弈結(jié)果的解釋是：尋求次優(yōu)策略的最優(yōu)反映導(dǎo)致了均衡結(jié)果的選擇。 情形3：（x，y）=（700，650）。 這時(shí)，博弈的純策略納什均衡同情形1和情形2一樣，3，3仍然是次優(yōu)的策略組合。對(duì)策略3，局中人的最優(yōu)反應(yīng)是策略1。但實(shí)驗(yàn)結(jié)果表現(xiàn)為均衡2，2結(jié)果。因而庫(kù)珀得到“沒(méi)有出現(xiàn)完全和這些結(jié)果一致的解釋”。這里的“這些結(jié)果”是指上面提出的，尋求次優(yōu)策略的最優(yōu)

12、反映導(dǎo)致了均衡結(jié)果的選擇。19博弈論專家對(duì)實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)有一些共同的看法1. 博弈前的交流。 假定在博弈前，局中人可以向?qū)Ψ絺鬟f信息，但這一信息并不約束局中人在博弈中對(duì)策略的選擇。這類博弈通常稱為廉價(jià)商議（cheap talk）博弈。庫(kù)珀對(duì)例4.1.5的協(xié)調(diào)博弈進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并發(fā)現(xiàn)，如果局中人雙方都發(fā)出聲明，即雙向溝通的情況下，最后n個(gè)階段中，91%的結(jié)果都是2，2帕累托均衡。而且，最后n個(gè)階段中，所有聲明的策略都是2。在單向溝通的情況下，廉價(jià)商議的結(jié)果則不那么明顯。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，53%的結(jié)果實(shí)現(xiàn)了帕累托占優(yōu)納什均衡，并且87%的情況下局中人宣布策略是2，并發(fā)出聲明的局中人并不總是遵守這一承諾，而接受聲

13、明的局中人也不一定采取策略2。202. 外部建議 假設(shè)在博弈前，存在一個(gè)局中人之外的建議者，他對(duì)局中人的策略選擇給出建議。范?？耍╒an Huyck）等人對(duì)下面三個(gè)博弈進(jìn)行了外部建議的實(shí)驗(yàn)。 （a） （b） （c） 對(duì)表4.17（a），在局中人未收到外部建議之前，40%的博弈實(shí)驗(yàn)結(jié)果在三個(gè)純策略納什均衡上協(xié)調(diào)成功，當(dāng)對(duì)三個(gè)局中人給出外部建議時(shí)，協(xié)調(diào)成功的概率是95%。 21 對(duì)表4.1.7（b），在局中人未收到外部建議之前，98%的博弈實(shí)驗(yàn)結(jié)果是納什均衡（1，1）。而當(dāng)外部建議選取均衡3，3時(shí)，只有17%的局中人接受了建議。而當(dāng)外部建議選取2，2時(shí)，有75%的局中人接受了建議。這個(gè)結(jié)果表明，當(dāng)

14、建議不符合局中人利益時(shí)，局中人并不接受建議。 對(duì)表4.1.7（c），在局中人未收到外部建議之前，70%的博弈實(shí)驗(yàn)結(jié)果是納什均衡（2，2）。而當(dāng)外部建議者給出一個(gè)1，1均衡（或3，3均衡）建議時(shí)，實(shí)驗(yàn)博弈的結(jié)果與建議相符的只有16%。這個(gè)結(jié)果表明，若外部建議不是帕累托占優(yōu)納什均衡時(shí)，建議是無(wú)效的。22 3. 外部選擇： 假定在協(xié)調(diào)博弈之前增加一個(gè)對(duì)博弈之外的選擇，再進(jìn)行協(xié)調(diào)博弈，會(huì)增加協(xié)調(diào)成功的可能性。 庫(kù)珀對(duì)CG-22協(xié)調(diào)博弈（即例4.1.5）進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。在協(xié)調(diào)博弈之前，局中人有兩個(gè)選擇：是選擇不參加博弈，直接得到900單位收益，二是參加例4.1.5的CG-22協(xié)調(diào)博弈。實(shí)驗(yàn)結(jié)果是有40%的參

15、與人選擇了不參加博弈，直接得到900單位的收益，剩下的人參加協(xié)調(diào)博弈，77%的博弈結(jié)果是2，2帕累托占優(yōu)納什均衡，只有2%的博弈結(jié)果是1，1風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)均衡。范?？藢?duì)CG-22協(xié)調(diào)博弈進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。在協(xié)調(diào)博弈之前，對(duì)協(xié)調(diào)博弈的參與權(quán)進(jìn)行拍賣。拍賣的方式是英國(guó)時(shí)鐘式拍賣，即先給一個(gè)較低的參與權(quán)價(jià)格，經(jīng)過(guò)一個(gè)固定時(shí)間，價(jià)格增加一個(gè)固定量，隨著價(jià)格的增加，對(duì)參與權(quán)不滿意的參與人可以宣布退出。該實(shí)驗(yàn)最初有18位參與人，經(jīng)過(guò)參與權(quán)拍賣，最后留下9人參加博弈。再經(jīng)過(guò)兩兩成對(duì)的配對(duì)，對(duì)CG-22協(xié)調(diào)博弈進(jìn)行純策略博弈。實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是，幾乎所有的結(jié)果都是2，2帕累托占優(yōu)納什均衡。234.2 相關(guān)均衡 相關(guān)均衡 事前溝

16、通 的兩個(gè)例子 相關(guān)均衡是一種機(jī)制設(shè)計(jì)的思想 24相關(guān)均衡 在靜態(tài)博弈的納什均衡中，我們發(fā)現(xiàn)，納什均衡沒(méi)有考慮均衡的效率。這導(dǎo)致了人們對(duì)納什均衡的異議。例如，在例4.1.6，CG-33協(xié)調(diào)博弈中，無(wú)論（x，y）取什么樣的數(shù)對(duì)， 1，1和2，2都是純策略納什均衡點(diǎn)，而博弈中效率最高的結(jié)果（600，600）是策略組合3，3的結(jié)果。那么是否有辦法來(lái)實(shí)現(xiàn)這種效率最高的策略組合3，3呢？ 協(xié)調(diào)博弈的分析使我們看到，在博弈之前進(jìn)行信息溝通有助于對(duì)博弈結(jié)果向理想方向轉(zhuǎn)變。相關(guān)均衡就是利用納什均衡的思想，通過(guò)事前溝通，以實(shí)現(xiàn)博弈結(jié)果向理想方向轉(zhuǎn)變。25事前溝通的兩個(gè)例子 我們?cè)倏疾煲幌路蚱迱?ài)好博弈，其博弈的收

17、益見(jiàn)表 該博弈有2個(gè)純策略納什均衡（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）。在靜態(tài)博弈中，局中人是不允許進(jìn)行事前串通的。因此在博弈前，盡管丈夫和妻子知道（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）是純策略納什均衡，但當(dāng)他們獨(dú)立同時(shí)進(jìn)行策略選擇后，其結(jié)果未必是納什均衡。 這時(shí)，我們可以在博弈前作這樣的約定：拋一硬幣，若正面向上，在博弈中，雙方都選擇足球策略；若反面向上，在博弈中，雙方都選擇芭蕾策略。根據(jù)博弈前雙方的約定，保證了博弈的結(jié)果是一個(gè)純策略納什均衡。26設(shè)有兩個(gè)商家出售同一種商品。為了促進(jìn)商品的銷售，可以進(jìn)行廣告宣傳，但做廣告需要成本。假設(shè)兩個(gè)商家都做廣告，肯定雙方都有收益；都不做廣告，則雙方都無(wú)收益；若有一個(gè)

18、商家做廣告，而另一家不做，則做廣告的商家獨(dú)自承擔(dān)成本，但另一個(gè)商家則坐享廣告帶來(lái)的好處。兩商家分別是1和2，策略集都是做廣告，不做廣告，收益情況見(jiàn)下表。 廣告博弈與“戰(zhàn)爭(zhēng)與和平博弈”以及一般的競(jìng)爭(zhēng)博弈有相同的結(jié)構(gòu)。在該博弈中，存在三個(gè)納什均衡做廣告，不做廣告，不做廣告，做廣告和 。前兩個(gè)是純策略納什均衡?；旌喜呗约{什均衡的結(jié)果是27兩個(gè)商家都是理性的局中人，他（她）經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，若實(shí)現(xiàn)了納什均衡，盡管兩個(gè)商家所得到的利益不一致，雙方都有一定的好處，否則可能出現(xiàn)均無(wú)收益的最壞結(jié)局。同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，若雙方都采用“做廣告”的策略，其總收益比納什均衡下的總收益還要好。于是兩商家采用了納什均衡思想進(jìn)行了事先

19、溝通，制定出進(jìn)行博弈的約定。 約定1 ：拋一枚硬幣，若正面向上，采用（做廣告，不做廣告）策略組合；若反面向上，采用（不做廣告，做廣告）策略組合。由于拋硬幣時(shí)出現(xiàn)正面和反面的概率都是一樣的，則每個(gè)商家得到的期望收益為： 約定2：選擇一個(gè)博弈的局外人，按下面三步確立每個(gè)商家的策略選擇：28第一步，局外人在A,B,C中隨機(jī)地任取一個(gè)字母，然后進(jìn)入下一步； 第二步，若局外人選取是A則通知商家1，不通知商家2；，若局外人選取是B，則通知商家2，不通知商家1；若局外人選取是C則兩個(gè)商家都不通知，然后進(jìn)入第三步； 第三步，若商家1得到通知，則選擇不做廣告，否則選擇做廣告，若商家2得到通知，則選擇不做廣告，否

20、則選擇做廣告。 分析這種約定的結(jié)果是：（1）局外人選取了A，則有策略組合不做廣告，做廣告，導(dǎo)致一個(gè)納什均衡的出現(xiàn)；（2）局外人選取了B，則有策略組合做廣告，不做廣告，導(dǎo)致一個(gè)納什均衡的出現(xiàn)；（3）局外人選取了C，則有策略組合做廣告，做廣告，導(dǎo)致一個(gè)次優(yōu)策略組合的出現(xiàn)； 29 由第一步的選取是等可能的，則選取A，B和C的概率分別是 ，因而商家的期望收益為： 。 在廣告博弈中的兩種博弈前約定，與“夫妻愛(ài)好博弈”的事前約定一樣，滿足下面兩個(gè)要求： 1. 約定是公平合理的，雙方都愿意接受； 2. 在約定的要求下，沒(méi)有人愿意單獨(dú)的違背約定，否則可能導(dǎo)致自己得益的損失。 上面兩個(gè)條件的約定實(shí)際上是博弈中局

21、中人策略選擇的理性規(guī)定，稱之為博弈的相關(guān)均衡。相關(guān)均衡能夠提高博弈的效率。 30 在例4.2.1中，出現(xiàn)了兩種約定，哪一種約定更好呢？這要取決于博弈的得益結(jié)構(gòu)情況。在例4.2.1中，第一種約定比第二種約定的結(jié)果要好些 。但如果將例4.2.1的得益結(jié)構(gòu)作如下變化： 易知，約定2要比約定1好。（提示： ）31相關(guān)均衡是一種機(jī)制設(shè)計(jì)的思想 博弈的相關(guān)均衡的確立是一種機(jī)制設(shè)計(jì)的思想，這種機(jī)制設(shè)計(jì)滿足納什均衡的思想，這種機(jī)制設(shè)計(jì)必須使博弈的局中人對(duì)博弈有足夠的理解和相互的信任，因?yàn)榧s定是沒(méi)有法律效力的。 適用于相關(guān)均衡的博弈分析必須是局中人的收益情況是對(duì)稱的，這才能保證約定的公平合理。324.3 納什談

22、判解 納什談判解的實(shí)質(zhì) 二人談判問(wèn)題 談判過(guò)程 納什公理體系 納什談判解的定義 納什談判解的三個(gè)定理 三個(gè)定理的說(shuō)明 例題4.3.1 例題4.3.233納什談判解的實(shí)質(zhì) 納什談判解又稱為納什討價(jià)還價(jià)解。 在非合作博弈中，出現(xiàn)了納什均衡對(duì)效率考慮的失缺。納什本人也意識(shí)到這點(diǎn)，因而在他提出n人非合作博弈納什均衡的概念之后，提出了納什談判解（1950）。納什談判解的實(shí)質(zhì)是對(duì)博弈中所有局中人可能得到的最大收益集合的邊界上進(jìn)行一種收益的分配。因而也是一種從非合作博弈向合作博弈的演變。這里的合作博弈具有非線性的可轉(zhuǎn)移支付。如何使局中人能得到的收益達(dá)到公平合理，納什給出了納什公理體系，并推導(dǎo)出納什解的結(jié)果。

23、本節(jié)對(duì)此進(jìn)行介紹。34二人談判問(wèn)題設(shè)有一個(gè)二人有限策略的完全信息靜態(tài)博弈，即雙矩陣博弈。局中人1取混合策略 ，局中人2取混合策略集 ，局中人1和2的支付矩陣分別是A和B，即 。當(dāng)局中人1取策略 局中人2取策略 時(shí)，局中人1和2的得益 分別為: 記兩人所得為 ，并考慮到可用抽彩方式?jīng)Q定兩人的收益，且抽彩結(jié)果是線性的，則兩個(gè)局中人的得益 是 中一個(gè)有界閉凸子集，記 并稱為結(jié)果集或可達(dá)集。即任何 表示兩個(gè)局中人可以共同行動(dòng)，分別獲得收益 。一般地講，在可達(dá)集 的帕累托邊界上，一個(gè)局中人得到的多一些，另一個(gè)局中人得到的就少一些。那么一個(gè)局中人能同意讓對(duì)方得到多少呢？給對(duì)方少一些所得，對(duì)方是否會(huì)接受呢？

24、這構(gòu)成了兩個(gè)局中人的談判問(wèn)題。35談判過(guò)程 當(dāng)局中人在談判中考慮自己能得多少，對(duì)方可以得多少，首先要考慮局中人不合作行動(dòng)時(shí)可以得到多少，也就要考慮一個(gè)進(jìn)行談判的初始參考點(diǎn)，不妨設(shè)為 。由于談判是完全信息靜態(tài)博弈下進(jìn)行的，這里初始點(diǎn) 應(yīng)是一個(gè)共同知識(shí)，一個(gè)合理的假設(shè)點(diǎn)。例如： （4.3.1） （4.3.2） 顯然由（4.3.1）和（4.3.2）式確立的 是可以達(dá)到博弈結(jié)果集的，即 。 局中人注意到 往往是 的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，他們想以 為談判的初始點(diǎn)，在 中尋找比 更高的收益，并且是雙方都能接受的，記為 ，并稱 為納什談判解。則談判過(guò)程可以抽象地記為： （4.3.3）36納什公理體系公理1 （個(gè)體合理性

25、） ；公理2 （可行性） ；公理3 （帕累托最優(yōu)性） 若 ，且 ，則 公理4 （無(wú)關(guān)方案的獨(dú)立性） 若 ，則公理5 （線性變換的無(wú)關(guān)性） 若 ，且 ，則 。公理6（對(duì)稱性）如果對(duì)任意 ，都有 ，若 ，則37對(duì)于函數(shù) 到底如何規(guī)定的問(wèn)題，納什提出以上的公理體系，并在這些合理的公理下，確立了函數(shù) 的形式。 以上6條公理中，前三條公理的意義很明確，對(duì)談判問(wèn)題顯然應(yīng)滿足的。第4條公理指當(dāng)結(jié)果集擴(kuò)大后的談判結(jié)果仍在原結(jié)果集中，則原結(jié)果集上談判結(jié)果也就是擴(kuò)大后的談判結(jié)果。這顯然是合理的。第5條公理使得每個(gè)局中人的收益可用效用函數(shù)來(lái)度量，滿足效用函數(shù)的線性變換不變性條件。第6條公理指談判的雙方若有相同的獲得

26、結(jié)果能力，并且談判的初始點(diǎn)一樣，當(dāng)然應(yīng)該是談判的結(jié)果一樣。因此，這6條公理組成的公理體系都是談判雙方可以接受的。Roth（1977年）證明了滿足公理1和公理4，則必有公理3成立。對(duì)此，讀者可以自己去證明。38納什談判解的定義 定義4.3.1 滿足上述納什公理體系下的稱為納什談判解（Nash bargaining solution）。 在上述公理體系基礎(chǔ)上，納什證明了下列結(jié)論，證明了納什談判解的存在性、唯一性及具體求解方法。39納什談判解的三個(gè)定理定理4.3.1 若 是有界的閉凸集， 為談判初始點(diǎn)。若有 滿足 ，則下面的規(guī)劃有唯一的最優(yōu)解： （4.3.4）定理4.3.2 若 是定理4.3.1條件

27、下的最優(yōu)解，令函數(shù)（4.3.5） 則 有 。定理4.3.3 設(shè)2人談判問(wèn)題的結(jié)果集 為凸集， 是初始參考點(diǎn)，則存在唯一滿足公理1到公理6的函數(shù) 。證明過(guò)程：定理4.3.1 定理4.3.2 定理4.3.3 40定理4.3.1的證明最優(yōu)解的存在性。由于 顯然是有界的閉集，因此連續(xù)函數(shù)在此集合上必有最優(yōu)值和最優(yōu)解。最優(yōu)解的唯一性。反證法。設(shè)有 和 都是最優(yōu)解且 ，不妨假定 設(shè) 由于 是凸集， 。于是 顯然， 。這與 和 都是最大值點(diǎn)矛盾。故 的最大值點(diǎn)是惟一的。 41定理4.3.2的證明 采用反證法。 設(shè)存在有 ，使得 。令。（4.3.6） 因?yàn)?是凸集，因此 。此時(shí) 。（4.3.7） 由假設(shè)，有

28、（4.3.8） 在（4.3.7）式中當(dāng) ，最后一項(xiàng)可以忽略。并由（4.3.8）式有 。 （4.3.9） 但是這與 是 的最大值點(diǎn)矛盾。故 有 42定理4.3.3的證明 令 是定理3.4.1所得的最優(yōu)解。下面證明滿足公理1到公理6。 顯然， 滿足公理1和2。又因?yàn)槿绻?且 ，那么 。因此，它滿足公理3。它同時(shí)滿足公理4，這是因?yàn)槿绻?在 上的最大值點(diǎn)，它一定也是 上的最大值點(diǎn)。令 ， 。此時(shí) （4.3.10） 因此，當(dāng) 是 的最大值點(diǎn)時(shí)， 亦是 的最大值點(diǎn)。所以 滿足公理5。最后，它也滿足公理6。因?yàn)?，如?是對(duì)稱的，并且 ，我們易知 而 是 唯一的最大值點(diǎn)，因此 ，也就是說(shuō) 。43 下面驗(yàn)

29、證滿足 納什公理體系的解的唯一性。若 如上定理4.3.1所得的最優(yōu)解，考慮如下集合 （4.3.11） 因?yàn)闉槎ɡ?.3.1的最優(yōu)解，由定理4.3.2， 。 考慮從 到 的一個(gè)線性變換： （4.3.12） 由于 ，即 也即： 由定理4.3.1假設(shè)可知， ，從而 于是， 44 此時(shí)，由（4.3.12）式有 。又因?yàn)?是對(duì)稱的，根據(jù)公理6可知，討價(jià)還價(jià)解一定在 線上。根據(jù)公理3 ，它即為點(diǎn) 根據(jù)上述線性變換的反變換，由公理5可知， 一定是 的解。因?yàn)?，根據(jù)公理4， 也是的解。而這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解是唯一的，所以 是 唯一最優(yōu)解。 當(dāng)定理4.3.1的條件不成立時(shí)，有兩種情況：在第一種情況里，取 。此時(shí)從

30、公理1至公理3可以看出不存在其它的解，且滿足從公理1到公理6也只有這樣的唯一解 。 在第二種情況里，取 。此時(shí)從公理1至公理3可以看出不存在其它的解，且滿足從公理1到公理6也只有這樣的唯一解 。 45三個(gè)定理的說(shuō)明 定理4.3.3表明，滿足納什公理體系的談判解 是存在的，并且由定理4.3.1可知，它即是 函數(shù)在 中求最大值時(shí)的最優(yōu)解。滿足納什公理體系（公理1公理6）的納什談判解也簡(jiǎn)稱為談判解，有的教材也稱為納什解。 下面我們對(duì)定理4.3.2進(jìn)行一些分析。根據(jù)該定理，對(duì) 有 。若取等號(hào)，即有： （4.3.13） 上式右端是一個(gè)常數(shù)，因此上式是 上的一條直線，對(duì)于任意 中的點(diǎn) 都在該直線的左下方。

31、46 當(dāng)結(jié)果集 的邊界是光滑的，該直線是 的切線，且切點(diǎn)在點(diǎn) 。再?gòu)模?.3.13）式看，該直線的斜率為： 而連接 和 直線斜率為 ，正好是上式的相反數(shù)，這對(duì)我們求解納什談判解是很有作用的。 同時(shí)， 反映了在談判過(guò)程中，兩個(gè)局中人可以接受的效用轉(zhuǎn)換率。 當(dāng)兩個(gè)局中人在談判中的效用轉(zhuǎn)換率為1：1時(shí)，（ ）問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單。例如，兩人談判 問(wèn)題的結(jié)果集在直線 的左下方。47若初始參考點(diǎn)為 ，則納什談判解為 根據(jù)公理3，我們知道討價(jià)還價(jià)問(wèn)題 的解 一定在的子集 上。因?yàn)?是凸的，因此 是這些 的點(diǎn)：不存在一個(gè) ，使得 并且 。我們稱 為 帕累托最優(yōu)邊界 圖4.3.3 圖4.3.448 定理4.3.2給

32、出了初始參考點(diǎn)和納什談判解點(diǎn)之間特殊的關(guān)系。初始參考點(diǎn)與納什談判解的連線的斜率與過(guò)該談判點(diǎn)的 的支撐線的斜率互為相反數(shù)。如果 的帕累托最優(yōu)邊界是光滑的，那么這條支撐線其實(shí)就是過(guò)談判點(diǎn) 的切線。如圖4.3.3所示，若T是初始參考點(diǎn)，P是納什談判解，則TP的斜率與過(guò)P點(diǎn) 的切線的斜率互為相反數(shù)。在TP上任意一點(diǎn)U作為初始談判點(diǎn)，其納什談判解仍是P點(diǎn)。 對(duì)于雙矩陣博弈來(lái)說(shuō)， 是一個(gè)封閉的有限的多邊形，其帕累托最優(yōu)邊界 為折線ABCD，如圖4.3.4所示。若 的斜率等于BC斜率的相反數(shù)，則對(duì) 上任一點(diǎn)U，作為初始談判點(diǎn)，那么它們的納什談判解都是 。對(duì)于像過(guò)C點(diǎn)在 上，左右“切線”的斜率不相等的點(diǎn)，則若

33、初始談判點(diǎn)在 （斜率等于過(guò)C點(diǎn)在 上左“切線”的斜率的相反數(shù)）上， （斜率等于過(guò)C點(diǎn)在 上右“切線”的斜率的相反數(shù)）上或在它們與 所圍的區(qū)域之內(nèi)，對(duì)應(yīng)的納什談判解仍是C點(diǎn)。讀者可以自己對(duì)此進(jìn)行分析。49例題4.3.1 例4.3.1 設(shè)有一雇員為公司老板打工，若雇員打工后可為公司一年盈利10萬(wàn)元，而雇員不打工，則無(wú)盈利，那么對(duì)這10萬(wàn)元盈利應(yīng)如何分配？ 假設(shè)雇員本人總共有資產(chǎn)價(jià)值10萬(wàn)元，若能分到盈利 ，他所增加的效用為 ，令 ， 為大于0的一個(gè)常數(shù)。很容易驗(yàn)證： ，表明雇員是窮人，具有風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的特點(diǎn)。公司老板是富有的，如他能分到盈利 ，他所增加的效用為 。50 公司老板和雇員對(duì)盈利10萬(wàn)元分配

34、進(jìn)行談判，談判的初始參考點(diǎn)為 ，即公司老板不雇工，對(duì)老板和雇員的增加效用均為0，且 。則有 （4.3.15） 則結(jié)果集 為下圖所示，其中 的右上曲線（即帕累托最優(yōu)邊界 ）為 。51 利用定理4.3.1，計(jì)算 在 上的極大值，可以得到 滿足下式 經(jīng)計(jì)算， 萬(wàn)元。即公司老板分配得 萬(wàn)元，而雇員分得 萬(wàn)元。 該例表明，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避急于需要錢(qián)的雇員和富裕的老板，由于效用函數(shù)不一樣，因而分配的結(jié)果也不一樣。具有風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的雇員在談判中并無(wú)優(yōu)勢(shì)。52例題4.3.2 例4.3.2 考慮下面的雙矩陣博弈若兩個(gè)局中人能通過(guò)契約進(jìn)行合作，那么對(duì)合作的收益應(yīng)如何分配，即納什談判解是什么？ 對(duì)該問(wèn)題，先求納什均衡，并以納

35、什均衡結(jié)果作為談判初始參考點(diǎn)。 根據(jù)第二章所介紹的雙矩陣22博弈納什均衡的求解法，可得到唯一的納什均衡為 。 對(duì)應(yīng)得納什均衡結(jié)果為 由本節(jié)對(duì)納什談判問(wèn)題的討論，若允許對(duì)結(jié)果分配進(jìn)行抽彩，則可達(dá)集 為 中（6，1），（1，3），（2，4）和（4，1）四個(gè)結(jié)果點(diǎn)圍成的凸集 ，見(jiàn)下圖。53 很明顯，可達(dá)集的帕累托邊界為（2，4）和（6，1）兩點(diǎn)連成的線段。很容易求得該直線方程為： 下面求納什談判解 方法1 根據(jù)定理4.3.1求解： 由于納什談判解具有 中的帕累托最優(yōu)性，因此納什談判解 一定在（4.3.16）表示的直線上。由（4.3.16）可以得：代入（4.3.17）式 不難得出 ，代回到 ，得到 。

36、 54 于是納什談判解為： 方法2 根據(jù)定理3.4.2，可達(dá)集 在點(diǎn) 切線的斜率與連接 和 兩點(diǎn)的直線的斜率互為相反數(shù)。 可達(dá)集 在 點(diǎn)的切線即為（4.3.16）表示的直線，斜率為 。 連接和兩點(diǎn)直線斜率為： 則 （4.3.18）55 將上式化簡(jiǎn)，有： 再由納什談判解具有帕累托最優(yōu)性，即 在直線（4.3.16）上，則納什談判解是下面方程組的解： （4.3.19） 求解可得納什談判解為： （4.3.20）564.4 初始參考點(diǎn)和其它談判解4.4.1 初始參考點(diǎn)4.4.2 其它談判解574.4.1 初始參考點(diǎn) 幾個(gè)初始參考點(diǎn)的介紹 例4.4.1 利用不同初始參考點(diǎn)求解納什談判解 58幾個(gè)初始參考點(diǎn)

37、的介紹 在納什談判解的尋求中，我們已看到，初始參考點(diǎn)對(duì)納什談判解起著十分重要的作用。在上一節(jié)中，我們應(yīng)用了兩個(gè)方法求談判問(wèn)題的初始參考點(diǎn)： 1. 保守收益點(diǎn)。即用（4.3.1）式和（4.3.2）式求 ； 2. 納什均衡結(jié)果。即在例4.3.2中，先取納什均衡，然后采用納什均衡結(jié)果去求 。 在例4.3.1中，采取的是保守收益點(diǎn)方法確定 。 在本節(jié)中，我們?cè)俳榻B其它幾種求初始參考點(diǎn)方法。59 設(shè)結(jié)果集或可達(dá)集 是一個(gè)有界凸集。 是一個(gè)事先給出的初始參考點(diǎn)，結(jié)合下圖先給出一些記號(hào)： 圖4.4.1 （4.4.1） （4.4.2） （4.4.3） （4.4.4） （4.4.5） （4.4.6）60 定義4

38、.4.1 設(shè) 是平面 上的凸集， 稱為 的理想點(diǎn)。 定義4.4.2 設(shè) 是平面 上的凸集， 稱為 的最小期望點(diǎn)。 定義4.4.3 設(shè) 是平面 上的凸集，點(diǎn) 稱為 的最小妥協(xié)點(diǎn)。 定義4.4.4 設(shè) 是平面 上的凸集，由 ， 和 所圍成矩形稱為含 的最小矩形。其對(duì)角線交點(diǎn)稱最小矩陣的中心。 61有了上述定義后，對(duì)納什談判解初始參考點(diǎn)除了前面介紹的1和2之外還可以有下列的選取法：3. 采用 的最小期望點(diǎn)作為新的初始參考點(diǎn)；4. 采用 的最小妥協(xié)點(diǎn)作為新的初始參考點(diǎn)；5. 包含 的最小矩形的中心作為新的初始參考點(diǎn)。 除此之外，也有其它初始參考點(diǎn)的選取法，這里不作一一列舉。62例4.4.1 例4.4.

39、1 設(shè)有一凸集，由曲線 和 圍成。記（1） 為初始參考點(diǎn)， 為納什談判解；（2） 為最小期望點(diǎn)， 為以 為初始參考點(diǎn)所得的納什談判解；（3） 為最小妥協(xié)點(diǎn)， 為以 為初始參考點(diǎn)所得的納什談判解；（4） 為含 的最小矩陣的中心， 為以 為初始參考點(diǎn)所得的納什談判解。 經(jīng)計(jì)算有： 。 則得到不同的納什談判解：分別如右圖所示。634.4.2 其它談判解 R-K-S談判解 R-K-S談判解的公理體系 定理4.4.4 談判解的唯一性定理 例題求解64R-K-S談判解 R-K-S談判解（Raiffa-Kalai-Smorodinsky bargaining solution ）,它由Raiffa（1957

40、）提出，而由Kalai和Smorodinsky對(duì)該模型進(jìn)行公理化。 設(shè)兩人談判問(wèn)題的可達(dá)集H為凸集， 為初始參考點(diǎn)， 是H的理想點(diǎn)。作一條連接 和 的直線，該直線與可達(dá)集H的邊界相交交點(diǎn) 稱為R-K-S談判解，具體見(jiàn)下圖。 設(shè)2人談判解的可達(dá)集H是一個(gè)凸集， 為談判的初始參考點(diǎn)，兩個(gè)局中人可接受的R-K-S談判解結(jié)果為 ，令 。 65R-K-S談判解的公理體系 公理1（個(gè)體合理性） ；公理2（可行性） ；公理3（帕累托最優(yōu)性）若有 ，且 ，則一定有： ；公理5（線性變換的無(wú)關(guān)性）設(shè)D是由線性變換從H得到，即， 如果 ，則一定有：公理6（對(duì)稱性）若 ，必有 ，則當(dāng) ，則有： 。公理7（單調(diào)性）若

41、 ，則 66 這6個(gè)公理中，前5個(gè)公理與納什公理體系是一致的（注意缺少公理4）。最后一個(gè)公理（單調(diào)性）說(shuō)明可達(dá)域越大，則談判的結(jié)果對(duì)雙方都會(huì)更好，這顯然也是合理的。 定義4.4.5 滿足上述Kalai和Smorodinsky提出公理體系下的 ，稱為R-K-S談判解。67定理4.4.4 談判解的唯一性定理 設(shè)二人談判問(wèn)題的結(jié)果集H為凸集， 為談判的初始參考點(diǎn)，則存在唯一滿足上述公理體系的R-K-S談判解 。 該定理的證明略去。 在R-K-S談判解中，兩個(gè)人的收益效用轉(zhuǎn)換稱為可自由配置（free disposal） 。68例題求解 我們對(duì)例4.4.1進(jìn)行R-K-S談判解的計(jì)算。在此，我們?nèi)匀?。

42、若局中人1是公司老板，其收益為 ，增加的效用 。局中人2為雇員，其收益為 ，在原有10萬(wàn)元的基礎(chǔ)上，其增加的效用為 （其中 取1）。他們對(duì)10萬(wàn)元盈利進(jìn)行分配。同前面分析一樣，二人可達(dá)集H如上圖所示，其H的右上曲線函數(shù)為： 。69 該談判問(wèn)題的理想點(diǎn) 。R-K-S談判解可以對(duì)下面方程組求解得到： 其中后一個(gè)是連接初始參考點(diǎn)（0，0）和理想點(diǎn) 的直線方程。經(jīng)求解可得 。即兩人談判的可分配數(shù)為： （萬(wàn)元）， （萬(wàn)元） 這個(gè)結(jié)果與前面納什談判解的結(jié)果差異不大，其經(jīng)濟(jì)解釋是相同的。70 對(duì)于例4.4.2，我們也可進(jìn)行R-K-S談判解計(jì)算。 該博弈的結(jié)果集H為 中（6，1），（1，3），（2，4）和（4

43、，1）4個(gè)結(jié)果所圍成的凸集，初始參考點(diǎn)，我們?nèi)匀榧{什均衡結(jié)果點(diǎn)： 。 圖4.4.5凸集H的中帕累托邊界直線為： 而連接初始參考點(diǎn) 和理想點(diǎn) 的直線為： ，因此R-K-S談判解為下列方程組的解：經(jīng)求解： 714.5 威脅 例4.5.1 對(duì)納什談判解的質(zhì)疑 有效威脅的兩個(gè)條件 納什建議進(jìn)行討價(jià)還價(jià)的三個(gè)步驟 含威脅的納什討價(jià)還價(jià)解求解思路 定理4.5.1 均衡威脅策略的存在性定理 定理4.5.2 納什仲裁值 的唯一性定理 例4.5.2均衡威脅策略和納什仲裁值求解例題72例4.5.1 對(duì)納什談判解的質(zhì)疑 一個(gè)工廠的工人有兩種選擇，要么工作，要么不工作。如果工作，他將得到能夠維持他生存的薪水，同時(shí)老

44、板能夠得到10美元。用（0，10）來(lái)表示此時(shí)工人與老板各自得到的效用。如果他不工作，他將會(huì)挨餓，同時(shí)老板沒(méi)有利潤(rùn)，用（-500，0）來(lái)表示此時(shí)工人與老板各自得到的效用。當(dāng)然，如果老板愿意的話，他會(huì)分一點(diǎn)利潤(rùn)給工人。假定效用是線性轉(zhuǎn)移的， 是 平面第一象限中包括了所有 的點(diǎn)。明顯地， ，納什談判解為 。然而，納什談判解忽視了第二個(gè)參與人即老板比他的對(duì)手（工人）處于更有利的地位。事實(shí)上，工人不能阻止老板獲得10美元的利潤(rùn)，雖然他可能采用不工作來(lái)作為威脅，但是以不工作來(lái)作為威脅并不可信，因此他只有繼續(xù)工作以領(lǐng)取能維持他生存的薪水。 毫無(wú)疑問(wèn)，上例的提出確實(shí)表明了納什談判解的不足。因此如何對(duì)具有威脅的考慮，來(lái)修正納什的解法是我們?cè)诒竟?jié)需要考慮的問(wèn)題。 73有效威脅的兩個(gè)條件 一般說(shuō)來(lái)，必須滿足以下兩個(gè)條件，威脅才算是有效的： 第一、它必須是可信的； 第二、它能夠改善威