(完整版)4.2-偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.doc

1、 第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：(1)理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念；掌握偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)的求法的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；了解混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)的充分條件。教學(xué)重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)的求法教學(xué)難點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)存在性的討論教學(xué)方法：講練結(jié)合教學(xué)時數(shù)：2課時、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算在研究一元函數(shù)時，從研究函數(shù)的變化率引入了導(dǎo)數(shù)的概念，對于多元函數(shù)同樣需要討論它的變化率。由于多元函數(shù)不止一個自變量，研究起來要復(fù)雜得多。但是，我們可考慮多元函數(shù)關(guān)于其中一個自變量的變化率，例如：T理想氣體的體積：Vk,p因此，我們引入下面的偏導(dǎo)數(shù)概念。1、偏導(dǎo)數(shù)的定義定義2.1設(shè)函數(shù)zf(x,在點(diǎn)(x，/)的某一鄰域內(nèi)

2、有定義,當(dāng)y固定在y，而x在X)處有增量x時，相應(yīng)地函數(shù)有增量：f(0 xx,y)f(,xj如果limf(0 xx,y)o一4存在，則稱此極限為函數(shù)xoxx的偏導(dǎo)數(shù)，記為f(0X，0y)，zf(x,在點(diǎn)(x，y)處對(x)fx(x,(y)(x,oy)或fx(xy).f(oxlimxox,y)xddxf(X，o；yxx。o同理可定義函數(shù)zf(x,在點(diǎn)(x,y)處對y的偏導(dǎo)數(shù)，為limf(x,yy)fo(,x/)yoyf記為/，yy(d,oy)即f(x,oy)limyo，鄉(xiāng)（x,y）或f（ox,（）y）df(0dyo如果函數(shù)zf（x,在）區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)（x,處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是

3、耳y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)zf（x,對自變量啲偏導(dǎo)函數(shù)，簡稱偏導(dǎo)數(shù)zf記作一，一，4或fx（x,y）xxzf同理可以定義函數(shù)zf（x,對）自變量y的偏導(dǎo)數(shù)，記作，勺或fy（X，y）yy偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)女口uf（x,y在zx,y,處）fx(x,y,zimf(xx,y,z)f(x,y,z)xxoxfy(x,y,z)limf(x,yy,z)f(x，y,，z)yoyfz（x,2、計(jì)算：y,zimf(x,y,z)f(x,y,z)從偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，計(jì)算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)并不需要新的方法，若對某一個自變量求導(dǎo)，只需將其他自變量常數(shù)，用一元函數(shù)微分法即可。于是,一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則

4、都可以移植到多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算上來。例1：求x23xyy2在點(diǎn)（1,2處的偏導(dǎo)數(shù).解法一:2x3x(1,2)(1,2)解法二:2x2(2x6：(1,2)這里我們要知道,有時,2：f(x,y,z4exyz(1,2):fx(x,0,1)xx0證明:(32y)y7“先求偏導(dǎo)函數(shù)再代值求某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)”不一定簡便。如下例(xx,已知理想氣體的狀態(tài)方程RT亍2說明：y)arctan(1,0,1)pVRTRT有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)1、偏導(dǎo)數(shù)是一個整體記號，不能拆分x2、求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求;例如，zf(x,y)Jpy，求f(0,0)fy(0,解:(0,0)lim丄x0 x00-=0解:當(dāng)（f

5、y當(dāng)（ln(1x2yz),求fx1.(1,0,1)（R為常數(shù)），求證:._r二;pRRTpV=0).fy(0,0).1.xyf(x,y)x2y20 x,y)(0,0時,f(x(xy2)(x,y)()x,2(x2y2)2x,x,y)(0,y)(0,y(xy)yxyx,y）（0,0時，按定義可知0)，求f0)(X,的偏導(dǎo)數(shù)。xyy(y(X2y2)2(x2)2lim_00,x0fx(0,0)limf(x,0f(0,0)xx0fy(0,0)limf(0,yf(0,0)y0yy(y2x2)x(xy2)故fx(x,y)(xy2)2(x,y)(0,0)fy(x,y)(xy2)(x,y)(0,0).0(x,y

6、)(0,0)0(x,y)(0,0)3、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)，但多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)xy,儀y2例女口,函數(shù)f(x,y)x2y20，依定義知在（0,0）處，0fx（，）&（，）0.但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù)4、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)M(x,y,f(,xy)是曲面偏導(dǎo)數(shù)f（x,P）就是曲面被平面yy所截得的曲線在點(diǎn)M處的切線MTx對x軸的斜率；偏導(dǎo)數(shù)fy（x,y）就是曲面被平面xx0所截得的曲線在點(diǎn)Mq處的切線MTy對y軸z00000的斜率.二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)zf(x,在）區(qū)域D內(nèi)的兩個偏導(dǎo)數(shù)（,、f（x,y的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則fxxyy稱它們是函數(shù)z

7、f(x,的二階偏導(dǎo)數(shù)。記作zz2fxx(x,y),zz2(,)xxx2yyy2xyzz2y(X,y),xz2z(,)yxxyyyxfxyyx定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).例5設(shè)zXy23xy3xy1求z22z2、z、z2及3乙x2yxxyy2x3解:z3x2y23y3zy,2x3y9xy2z2x;6xy2,z326yxyx2x3zzz22x318xy;,26x2y9y21,26“9yiy2xyyx例6設(shè)ueaxcosby，求二階偏導(dǎo)數(shù).解:uaeaxcosby,_uxyu2axbesinby;x2u2axaecosby,y22axbecosby,2uabeaxsinby,2ua

8、beaxsinby.xyyx問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？x3y(x,y)(0,0)例7設(shè)f(x,y)x2y：，求fy(0,0)yxf(0,0)0(x,y)(0,0)解：當(dāng)(x,y)(0,0時，3x2y(xy2)2x3xy3x2y2x4yfx(x,y)(xy2)2x2y2(xy2)2x32x3y,fy(x,y廠(xy2)2當(dāng)(x,y)(0,0)時，按定義可知：lim00,fx(0,0)limf(x,0)f(0,0)xx0fy(0,0)limf(0,y)f(0,0)y0y.f(0,fxy(0,0)limyT二y0ylim_0_y0y(o)=0yx(0,0)fy(x,0)lim-fy(0,0)=10,顯然fxy(0,0)fyx(0,0).問題：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？Z定理2.1如果函數(shù)zf(x,的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)丄纟及2在區(qū)域D內(nèi)連yxxy續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.例8驗(yàn)證函數(shù)u(x,y)ln,xy2滿足拉普拉斯方程丄0.1證明:-ln(2xy2),2x2u2x2內(nèi)容小結(jié)：y2)x2xy2x2)(xy2)2,y2x2(xy2)2y2y2yx2y2(xy2)2,x2y2(x2y2)2=0證畢-偏導(dǎo)數(shù)的定義（偏增量比的極限）偏導(dǎo)數(shù)的