概率論第二章練習(xí)答案概要

1、6.若f（x）為連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布密度，則f （x）dx _1 #6.若f（x）為連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布密度，則f （x）dx _1 概率論第二章一、填空題：練習(xí)答案2x1 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=0其它1則用Y表示對(duì)X的3次獨(dú)立重復(fù)1的觀察中事件(XW )出現(xiàn)的次數(shù)，則 P (Y = 2)21P(x -)12xdx96402 1 2 3 1 p(Y 2)Cf(4)2(-)1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為:-ax+b 0 x1)3貝 U a = , b = (x1)3P1(x1)337,b24(x) dx 1-1聯(lián)立解得:31(axb) dx 1 (ax b) dx030,

2、x07.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量E的分布函數(shù)F(x)x2/4,0 x 1，則1,x2P (E =0.8) = 0; P(0.26):=0.99。100 x0(其他)X 100 ，某一個(gè)電子設(shè)備內(nèi)配有3個(gè)這樣的電子管,則電子管使用150小時(shí)都不需要更換的概率為8/27(x)=100 xx N00P ( 150 =1 F(150)=1 其它150100 dx100 x2100 150V 1008. 某型號(hào)電子管，其壽命（以小時(shí)記）為一隨機(jī)變量，概率密度（x）=.2 3 8P( 150和)3= 279.設(shè)隨機(jī)變量X服從B(n, p)分布，已知EX = 1.6, DX = 1.28，則參數(shù)n =P=EX =

3、np = 1.6DX = npq = 1.2810.設(shè)隨機(jī)變量布，若，解之得：n = 8 , p = 0.2x服從參數(shù)為（2, p）的二項(xiàng)分布，Y服從參數(shù)為（4, p）的二項(xiàng)分59則P （Y羽）65/81解:P(X1)P(X1)P(X0)23,pP(Y1)P(Y0)C0pOq44-1址816565 80.2%8111.隨機(jī)變量2）,且 p(2v Xv 4) =0.3,貝U P (X v 0) =02 4。(將X標(biāo)準(zhǔn)化后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表) E( X e 2X) EX Ee 2X 12x xe e dx02X、e ) =4/32 2 2P(2 X4)P (X4)P (X2)o()。()0.32 2

4、 即： 。() o(O)0.3,從而 o()0.3 0.50.80 2 2 2再代入 P (X 0)0)0()10()10.80.2設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則數(shù)學(xué)期望E(XZ= 3X 2的期望已知離散型隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為2的泊松分布，則隨機(jī)變量 TOC o 1-5 h z E (Z) = 3EX-2=3x2-2=4。設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為的泊松分布，且 P ( X= 1) = P ( X=2 )則E (X)=2. D (X) =2.22e e201! 2!15.若隨機(jī)變量E服從參數(shù)入=0.05的指數(shù)分布，則其概率密度函數(shù)為:0.05ex 0(x)0 x 0;E E = 20;

5、 D E =40016.設(shè)某動(dòng)物從出生活到10歲以上的概率為 0.7,活到15歲以上的概率為 0.2,則現(xiàn)齡為10歲的這種動(dòng)物活到15歲以上的概率為P(15/10)巴一迥 少 -0.286P( 10)0.770.01，則在17.某一電話站為300個(gè)用戶服務(wù)，在一小時(shí)內(nèi)每一用戶使用電話的概率為 一小時(shí)內(nèi)有4個(gè)用戶使用電話的概率為P4)=0.168031X b(300,0.01)解：P(X 4)30044296* 0.01 * 0.99,利用泊松定理作近似計(jì)算:一小時(shí)內(nèi)使用電話的用戶數(shù)服從np 300 0.013的泊松分布18通常在n比較大，p很小時(shí)，用泊松分布近似代替二項(xiàng)分布的公式，其期望為np

6、 ，方差為np219. X N( ,), P(X 5)0.045, P(X 3)0.618，則 =_ 1.8,、單項(xiàng)選擇:1 .設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：廠 3f(x)=L04x3, 0 xa)=P(xa)成立的常數(shù) a = ( A)(其中0a1)1D - 1- 4.2解：根據(jù)密度函數(shù)的非負(fù)可積性得到:P(x a)f (x)dx a14x3dxaP(x a)af (x)dxa4x3dx,聯(lián)立,oa4x3dx,o；4x3dx解之得1：a 422 .設(shè)F1 (X )與F2 (X )分別為隨機(jī)變量 X1與X2的分布函數(shù)，為使F (X )= aF1(x)bF2(x)是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給它

7、的各組值中應(yīng)取(3222A.a= ,b B .a=,b=55331313C.a=b=D .a=,b=2222F(+)=a F1 (+ )-BF2 什)=1 a b 1a -,b 2適合53.已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F(x) = A + B arctgx ，則：( B)4.設(shè)離散型隨機(jī)變量X僅取兩個(gè)可能值X1和X2,而且X1 X2, X取值X1的概率為11、A=B=B、A=-22B=丄C、A=1B= _21 1D、A=B=2解:要熟悉arctgx的圖像F()A Barctg (),1AB2 ;F()A Barctg (),0AB2 ;聯(lián)立求解即可。x12p0.60.4B.0.6,又已知 E (X

8、 )= 1.4, D (X)= 0.24，貝U X的分布律為 ()x01p0.60.4A.xnn +1p0.60.4C.xabp0.60.4D.1.4=EX=0.6X 1+0.4X2DX=EX 2-(EX) 22 2 20.24(xi * 0.6 X2 * 0.4) 1.4聯(lián)系、解得Xi = 1, Xa=25現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，其中8張為2元,2張為5元，今某人從中隨機(jī)地?zé)o放回取3張，則此人得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望為（）A 6 元B 12 元C. 7.8 元D 9 元故期望值為:7.86.隨機(jī)變量X的概率分布是：X123411Pab64111 2A、a=_ ,b=B、a= ,b=6412 12a b1

9、(丄丄） 故選D64127.下列可作為密度函數(shù)的是(B1x 0A、(x)71 x2x 0L 0(x ea)x aB、(x)L 0其它則：（D)1511C、 a= ,b=D、a=.,b=-121243)sin x0 x 0,其它設(shè)表示得獎(jiǎng)金額，則其分布律為:6（3張2元的）9（ 2張2元，1張5元的）12 （1張2元，2張5元的）P3C832 1C8C231 2C8C23C10C10C10其它當(dāng)EX= 時(shí)取到最大值，因?yàn)椴皇钦麛?shù)，而 K必須為整數(shù)，因此需要對(duì)取整 （X）0(x)dx1(x)0(x) dx 18.設(shè)X的概率密度為(x)，其分布函數(shù)F ( x),則(D）成立。A、P(x)F(x)B、

10、0(x)1C、P(x)(x)D、P(x)F(x)x0 x19.如果x (x)，而(x)2 x1x2 ,則 P ( x1.5 )L 0其它C)1.51.51.5A、(20 x)dxB、0 x(2 x)dxC、0.875D、(2x) dx11 .57xdx(2 x)dx0.87501810.若隨機(jī)變量X的可能取值充滿區(qū)間5那么Sinx可以作為一個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。(B )A .0,B .0.5,C.0, 1.5D.,1.5依據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì):進(jìn)行判斷得出:B為正確答案(依據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì):進(jìn)行判斷得出：B為正確答案11.某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為5% ,每天從生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽 5個(gè)檢驗(yàn)，記X為出現(xiàn)

11、次品的個(gè)數(shù)，則E（X）為.A. 0.75B . 0.2375C. 0.487D . 0.25此題 X 服從二項(xiàng)分布 b(5,0.05),EX= np=5*0.05=0.2512.設(shè)X服從二項(xiàng)分布，若(A . K =( n+ 1) PC. K=nPn + 1) P不是整數(shù)，則 K取何值時(shí)，P (X = K)最大?( D )B. K =( n + 1) P-iD. K = (n + 1) P 解：根據(jù)二項(xiàng)分布的正態(tài)近似知，當(dāng)X接近于EX=np時(shí)取到最大值，由于（n + 1) P不是整數(shù)，因此需要尋找最接近 np的整數(shù)。13.設(shè)X服從泊松分布，若不是整數(shù)，則K取何值時(shí)，P ( X = K)最大?(B

12、 )A .B . C. 1D .+ 1解:根據(jù)二項(xiàng)分布的泊松近似，以及泊松分布的正態(tài)近似知:14. X N(0,1) , Y=2X 1,則 Y (C)A、N (0, 1)B、N (1 , 4)C、N (-1 , 4)D、N (-1 , 3)DY D (2X 1) 4DX 4, EYE (2X1) 2EX 1115.已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則其標(biāo)準(zhǔn)差為：(CA. 2B . 1/4C. 1/2D飛隨機(jī)變量的參數(shù)為2，即方差為1/4，標(biāo)準(zhǔn)差則為1/216.當(dāng)滿足下列()條件時(shí)，二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布更準(zhǔn)確。(D)A. n,np(二項(xiàng)分布的泊松近似)B . n,p 0C. p 0,

13、 npD. n0(2)0.97725，貝U P X 5 和17設(shè) X N(10,25),已知 0(1)0.8413 ,P X 20的概率分別為 C A. 0.0228,0.1587B. 0.3413,0.4772C. 0.1587,0.0228P (X 5)。(5 10)。( 1)5P (X 20) 1 P (X 20) 110(1) 1 0.84130.15870嚴(yán) 10) 1(2)0.02285D. 0.8413,0.97725A 2B 5f(x)dx 1f(x)=B X1 v X 20其它試求:(1)常數(shù) A、B。(2)分布函數(shù)F (x)13(3) P ( - v X -)解:(1)由X

14、為連續(xù)型隨機(jī)變量，im”imf (x)f(1),即:(B X)f(1)x1x 1B 1 A三、計(jì)算題：1.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是連續(xù)型函數(shù)，其密度函數(shù)為:AX0v X 1同時(shí):、式聯(lián)系解得：A=1 , B=2(2) F(x)3)20 xx0112x211xx22X3)F(3)F(2)2XT1 - 2X0 1-232X.71/V1 - 212X.73 -/V1 一 23 - 222.設(shè)已知X (x) = /2x00 x 1其它，求： P ( X 0.5)則當(dāng)x0時(shí),F(x)0；x1 2當(dāng)0 x 1,F(x)tdt-x ;021x11 2x1 2當(dāng)1x 2,F(x)xdx(2 t)dt(2t -

15、t2)2x -x2 10122120.51解： P (X 5)2xdx 04F (x)x(t)x 2dt2tdtx200, x0F (x)x2,0 x 11, x1 Y Fy(v)p(Y y)y 1y 1p(3X 1 y) p(X) Fx()33y1 1Y(y) FyW)x(-3 ) 32 1 (. y -(1y 4)Y(y)990（其他）XX (x)3.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為:1(0 x 1)0(其他)x2 x4其他解：（1）2axdx0EXax2dx：(cx2bx)dx8a 56c 6b333已知 EX = 2, P (1X 9280解得:20| :26取最小 =211上式：x f (x

16、)20010 x 30其他6.某高級(jí)鏡片制造廠試制成功新鏡頭，準(zhǔn)備出口試銷(xiāo)，廠方的檢測(cè)設(shè)備與國(guó)外的檢測(cè)設(shè)備仍有一定的差距，為此，廠方面臨一個(gè)決策問(wèn)題：直接進(jìn)口， 租用設(shè)備， 與外商合資。不同的經(jīng)營(yíng)方式所需的固定成本和每件的可變成本如表：自制進(jìn)口租賃合資固定成本（萬(wàn)元）1204064200每件可變成本（元）601008040已知產(chǎn)品出口價(jià)為200元/件，如果暢銷(xiāo)可銷(xiāo)3.5萬(wàn)件，中等可銷(xiāo)2.5萬(wàn)件，滯銷(xiāo)只售 0.8萬(wàn)件，按以往經(jīng)驗(yàn)，暢銷(xiāo)的可能性為0.2，中等的為0.7,滯銷(xiāo)的為0.1，請(qǐng)為該廠作出最優(yōu)決策。825000 (y 3500)2 y=3500時(shí)，利益最大5.設(shè)某種商品每周的需求量 X服從

17、區(qū)間10 , 30上均勻分布，而經(jīng)銷(xiāo)商店進(jìn)貨量為 10 , 30中的某一整數(shù)，商店每銷(xiāo)售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價(jià)處理，每處理一單位商品虧損100元，若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)一單位商品僅獲利300元，為使商店所獲利潤(rùn)期望值不少于 解：設(shè)進(jìn)貨量為a,則利潤(rùn)為：Ma 5009 (X a)300500 x (a x)100解：設(shè)B銷(xiāo)量，Al自制，A2 進(jìn)口，A3租賃，A4 合資銷(xiāo)量暢銷(xiāo)3.5萬(wàn)件中等銷(xiāo)售2.5萬(wàn)件滯銷(xiāo)0.8萬(wàn)件概率0.20.70.1最優(yōu)決策的含義是：利潤(rùn)最大化 總成本=固定成本+銷(xiāo)售量*可變成本E(B) 2.53萬(wàn) 件E(A)2.53200(1202.5

18、360)234.2Eg)2.53200(402.53100)213E(A3)2.53200(642.5380)239.6Eg2.53200(2002.5340)204.8A為最優(yōu)方案，即租用設(shè)備。7.某書(shū)店希望訂購(gòu)最新出版的好書(shū)，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，新書(shū)銷(xiāo)售量規(guī)律如下:需求量（本）50100150200概率20%40%30%10%假定每本新書(shū)的訂購(gòu)價(jià)為 4元，銷(xiāo)售價(jià)為6元，剩書(shū)的處理價(jià)為2元，試確定該書(shū)店訂購(gòu) 新書(shū)的數(shù)量。解：分析：當(dāng)訂貨量大于需求量時(shí)， 則多出的每本處理后虧損 2元；當(dāng)訂貨量小于需求量的 時(shí)候，則賣(mài)出去一本就可以獲利 2元。針對(duì)不同的需求量和訂貨量的收益表如下：訂量y需求5010

19、0150200收益概率0.20.40.30.1y150100100100100y21000200200200y3150-100100300300y4200-2000200400 TOC o 1-5 h z Ey1 100 0.2 100 0.4 100 0.3 100 0.1100Ey2 0 0.2200 0.4200 0.3 200 0.1160Ey3 100 0.2 100 0.4300 0.3 300 0.1140Ey4 200 0.20 0.4 200 0.3 400 0.160故訂100本較合理。若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率是2ax bx c（0 x 1）（X）0（其他）已知 EX =

20、0.5, DX = 0.15，求系數(shù) a, b, c。解:(x)dx 1x (x)dx 0.5I x2 (x)dx D (E )0.4解方程組得：a 12 b 12 c 3五件商品中有兩件次品，從中任取三件。設(shè)E為取到的次品數(shù)，求E的分布律、 數(shù)學(xué)期望和方差。解：E的分布律為E0 1 2P1/10 6/10 3/10EE = 1.2; DE = 0.36某次抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)(百分制)近似服從正態(tài)分布，平均成 績(jī)72分，96分的以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0至84分之間的概率。解：XN (72,2)96 7224P(X 96)10()10()0.0232.3

21、%s即:。(迢)0.977,122X N(72,12 )84726072P(60 X 84) o() o()0(1)0( 1)0.68212 12假設(shè)一電路有3個(gè)不同種電氣元件，其工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無(wú)故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為 0的指數(shù)分布，當(dāng)三包元件都無(wú)故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作，試求電路正常工作的時(shí)間的概率分布。解：設(shè)Xi表示第i個(gè)電氣之元件無(wú)故障工作的時(shí)間，i=1,2,3,則X1X2X3獨(dú)立且同分布,分布函數(shù)為： F(x)設(shè)G (t)是T的分布函數(shù)。當(dāng) t0 時(shí)，G (t) =0當(dāng)t0時(shí)，G (t) P T t1P Tt1P X1t , X 2t, X 3t1P X1

22、t P X2 t P X31P(Xt)311 F(t)33t)11(1 e(et)3G(t)1 e 3 t,(t0)0,(t0)T服從參數(shù)為3的指數(shù)分布12.設(shè)從一批材料中任取一件測(cè)出這種材料的強(qiáng)度XN( 200, 18 2)，該材料的強(qiáng)度不低于 180的概率； 若某項(xiàng)工程要求所用的材料強(qiáng)度要以證不低于 150，問(wèn)這批材料是否合乎要求？解: P(X 180)P(X 150)0.9973 大于0.99，故這批材料合要求。13.生產(chǎn)某種產(chǎn)品的廢品率為0.1，抽取20件產(chǎn)品，初步檢查已發(fā)現(xiàn)有這20件產(chǎn)品中，廢品不少于 3件的概率為多大？求：取出的99%的概率保0.86652件廢品，則解:=“ 20件產(chǎn)品中廢品數(shù)目”,l b(20,0.1)“初步檢查已發(fā)現(xiàn)有2件廢品”“廢品數(shù)不少于3件”p=0.1q=0.9n=20.20k 20 k0.1 0.