(整理)實(shí)驗(yàn)五用matlab求解常微分方程.

1、精品文檔實(shí)驗(yàn)五用matlab求解常微分方程1微分方程的概念未知的函數(shù)以及它的某些階的導(dǎo)數(shù)連同自變量都由一已知方程聯(lián)系在一起的方程稱為微分方程。如果未知函數(shù)是一元函數(shù)，稱為常微分方程。常微分方程的一般形式為F(t,y,y,y,y(n)二0如果未知函數(shù)是多元函數(shù)，成為偏微分方程。聯(lián)系一些未知函數(shù)的一組微分方程組稱為微分方程組。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階解數(shù)稱為微分方程的階。若方程中未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，稱為線性常微分方程，一般表示為y(n)+a(t)y(n-i)HFa(t)y+a(t)y二b(t)1n-1n若上式中的系數(shù)ai(t)二h2n均與t無關(guān)，稱之為常系數(shù)。2常微分方程

2、的解析解瞠二y+1有些微分方程可直接通過積分求解.例如,一解常系數(shù)常微分方程dt可化為dy=dt,兩邊積分可得通解為y=cet-1.其中c為任意常數(shù).有些常微分方程可用一些技巧,如分離變量法,積分因子法,常數(shù)變異法,降階法等可化為可積分的方程而求得解析解.線性常微分方程的解滿足疊加原理,從而他們的求解可歸結(jié)為求一個(gè)特解和相應(yīng)齊次微分方程的通解.一階變系數(shù)線性微分方程總可用這一思路求得顯式解。高階線性常系數(shù)微分方程可用特征根法求得相應(yīng)齊次微分方程的基本解，再用常數(shù)變異法求特解。一階常微分方程與高階微分方程可以互化，已給一個(gè)n階方程y(n)=f(t,y,y,y(n-1)y1=y,y2y,yn=y(

3、n-1)，可將上式化為階方程組y1=yy2y廣yn-1ny=f(t,y,y，y)n12n反過來，在許多情況下，一階微分方程組也可化為高階方程。所以一階微分方程組與高階常微分方程的理論與方法在許多方面是相通的，一階常系數(shù)線性微分方程組也可用特征根法求解。3微分方程的數(shù)值解法除常系數(shù)線性微分方程可用特征根法求解，少數(shù)特殊方程可用初等積分法求解外，大部分微分方程無限世界，應(yīng)用中主要依靠數(shù)值解法?？紤]一階常微分方程初值問題y(t)=f(t,y(t),ttt0y(t)=y00其中y二(yi,兒，兒兒f二(f1,打，fm)，y0二(yi0，%，5所謂數(shù)值解法，就是尋求y在一系列離散節(jié)點(diǎn)10t1clear;

4、s=dsolve(Dy=a*y+b)結(jié)果為s=-b/a+exp(a*t)*C1方程(2)求解的MATLAB代碼為：clear;s=dsolve(D2y=sin(2*x)-y,y(0)=0,Dy(0)=1,x)simplify(s)%以最簡形式顯示s結(jié)果為s=(-1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x)*sin(x)+(-1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x)*cos(x)+5/3*sin(x)ans=-2/3*sin(x)*cos(x)+5/3*sin(x)方程(3)求解的MATLAB代碼為：clear;s=dsolve(Df=f+g,Dg=g_f,f(0)=1,g(0)=1)s

5、implify(s.f)%s是一個(gè)結(jié)構(gòu)simplify(s.g)結(jié)果為ans=exp(t)*cos(t)+exp(t)*sin(t)ans=-exp(t)*sin(t)+exp(t)*cos(t)例2求解微分方程y二-y+1+1,y(0)二1,先求解析解，再求數(shù)值解，并進(jìn)行比較。由clear;s=dsolve(Dy=_y+t+1,y(0)=1,t)simplify(s)可得解析解為y二t+e_。下面再求其數(shù)值解，先編寫M文件fun8.m%M函數(shù)fun8.mfunctionf=fun8(t,y)f=_y+t+1;再用命令clear;close;t=0:0.1:1;y=t+exp(_t);plot

6、(t,y);%化解析解的圖形holdon;%保留已經(jīng)畫好的圖形，如果下面再畫圖，兩個(gè)圖形和并在一起t,y=ode45(fun8,0,1,1);plot(t,y,ro);%畫數(shù)值解圖形，用紅色小圈畫xlabel(t),ylabel(y)結(jié)果見圖7.1圖16.6.1解析解與數(shù)值解由圖16.6.1可見，解析解和數(shù)值解吻合得很好。例3求方程mlO二mgsin6,6(0)6(0)二0的數(shù)值解不妨取心hg二9.8,6(0)二15.則上面方程可化為6二9.8sin6,6(0)二15,6(0)二0先看看有沒有解析解運(yùn)行MATLAB代碼clear;s=dsolve(D2y=9.8*sin(y),y(0)=15,

7、Dy(0)=0,t)simplify(s)知原方程沒有解析解下面求數(shù)值解令yi=6y2=6可將原方程化為如下方程組一y二y12clear;close;t,y=ode45(fun9,0,10,15,0);plot(t,y(:,1);%畫隨時(shí)間變化圖，y(：2)則表示的值xlabel(t),ylabel(y1)結(jié)果見圖7.2圖7.2數(shù)值解由圖7.2可見，隨時(shí)間t周期變化。習(xí)題1求下列微分方程的解析解/+2/-3=一？;/=2尹sin工+a2y=sinx(a0)yy-/2-1=0ydx+l-xy2)dy=Q,=1F+F+Pko%P仁=0幾廠|F+P=，+co科卩仁=h/仁ym+2ytt+yt=0y仁=2仁=0,卩”匸產(chǎn)-12求方程(1+x2)y二