方差協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

1、WORD格式.可編輯(1)專業(yè)知識整理分享 2方差、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、萬差二、協(xié)方差三、相關(guān)系數(shù) TOC o 1-5 h z 四、矩一、萬差例1 例1比較甲乙兩人的射擊技術(shù)，已知兩人每次擊中環(huán)數(shù)分89678910】布為 匕：0.10.601 丿n :0.1=64.2, JEE2-(E 叮=64.2- 82=0.2.2 2同理，Var =E - E = 65.2-64 = 1.2 Var ,所以 取值較分散.這說明甲的射擊技術(shù)較好.例2試計算泊松分布P（ A的方差.:,k:, kE 2 k2 e k e_ 解k =0k! k (k -1)!O0 )j 、oO y j _八 j_ee_，j j!

2、j j!所以Var = ,22例3設(shè) 服從a, b 上的均勻分布U a, b，求Var .bx1 2丄dxJ a2J b -a 3ab b221221I2Var= 3（a +ab+b 片愕a + b=存a）2例4設(shè).服從正態(tài)分布N比二，求Var .解此時用公式，由于E，,Var =E（ -a）: 2；（xa）1dx_a）2/2；dx2 CTz2e/2dz2 -:丄2/2ze-be+丄2/2dz-joO2 -可見正態(tài)分布中參數(shù)二 .（X _ E ） dF（X） g -QU這就得式切貝雪夫不等式無論從證明方法上還是從結(jié)論上都有一定意義事實上，該式斷言落在_：, ；與E；,內(nèi)的概率小于等于Var；2

3、，或者說，就是它的方差，匚就是標準差.方差也有若干簡單而重要的性質(zhì)先介紹一個不等式切貝雪夫（Chebyshev）不等式若隨機變量的方差存在，則對任意給定的正數(shù) 5恒有P牡E：冷名）EVar/證設(shè)的分布函數(shù)為F x，則（x - E ：）2= Var / ；2P（卩-E| ）=仁恨dF（x）蘭仁護dF（x）落在區(qū)間（E-,E-+名）內(nèi)的概率大于i-Vart/孑，從而只用數(shù)學(xué)期望和方差 就可對上述概率進行估計例如，取 =3 Var，則P（| E：| 蘭）-Va（3jV00.89.2當然這個估計還是比較粗糙的（當N 0,匚 時，在第二章曾經(jīng)指出,P（| g E | 乞3、Var ）=P（| a| bm

4、 b2nB =E( E：仆E： j =bn1bn2bnn丿,(9) TOC o 1-5 h z 其中 bj =Cov（-i, -j）.由性質(zhì)1可知B是一個對稱陣，且對任何實數(shù)tj , j =1/ , n,二次型nnn bjktjtk tjtkE（ j E）（ k E ；） =E（ tj（ j E j）2 一0 j,kj,心J即隨機向量E的協(xié)方差陣B是非負定的性質(zhì)4設(shè)E=（-1,，）,C umr-Cmn /,則C的協(xié)方差陣為CBC，其中B是E的協(xié)方差陣因為EC J =EC、C二CE、C，所以CBC的第,j元素就是C的第i元素與第j元素的協(xié)方差三、相關(guān)系數(shù)協(xié)方差雖在某種意義上表示了兩個隨機變量間的

5、關(guān)系，但Cov ,的取值大 小與E的量綱有關(guān)為避免這一點，用E的標準化隨機變量（見例7）來討 論.定義3稱WORD格式.可編輯專業(yè)知識整理分享WORD格式.可編輯(13)專業(yè)知識整理分享_ E( E )( -E )=Cov( ,) Var Var(10)為 E ,的相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient).為了討論相關(guān)系數(shù)的意義，先看一個重要的不等式.柯西一許瓦茨(CauchySchwarz)不等式對任意隨機變量E 有(11)(12)E訓(xùn) EE2EH2等式成立當且僅當存在常數(shù)*使P(H 。) = 1.證對任意實數(shù)tu (t)二 E(t - )2 二 t2E 2 2tE E 2

6、是t的二次非負多項式，所以它的判別式(E _E 2E 2 乞0證得(11)式成立.(11)式中等式成立當且僅當多項式u有重根to，即 u(t。)=E(t)2=0.又由(3)2Var(t?？?戶 E(t?？?J故得Var to -=0,同時有E to -=0.所以由方差的性質(zhì)1就證得P to -=0 =1，此即(12)式.由此即可得相關(guān)系數(shù)的一個重要性質(zhì).性質(zhì)1對相關(guān)系數(shù)r有愆蘭1r =1當且僅當_E=( =1.Varr =-1當且僅當住:E -EVar Var(14)證由(11)式得珂=蘭= JVarrparH =1* *證得(13)式成立.證明第二個結(jié)論.由定義r = re=E.由柯西-許瓦

7、茲2*2 * * * 2不等式的證明可知，r卜 Cov( )=0;等價于u(t)=t E -2tE E 有重根2li*tit*Q*to =2E /(2e) = E 因此由(12)式得r =1當且僅當?(=)=1；啓一1當且僅當?( * - *)=1.注 性質(zhì)1表明相關(guān)系數(shù) = 時，E與口以概率1存在著線性關(guān)系.另一 個極端是耳=0,此時我們稱E與耳不相關(guān)(un corrected).性質(zhì)2對隨機變量E和耳,下列事實等價：與不相關(guān); E -E E ;Var二 Var Var證 顯然(1)與等價又由協(xié)方差的性質(zhì)1得(1)與等價再由式, 得與等價性質(zhì)3若與獨立，則與不相關(guān).顯然，由與耳獨立知成立，從

8、而與不相關(guān)但其逆不真例8設(shè)隨機變量B服從均勻分布U 0, 2引,cosT,q=sinj顯然 即+-1,故與口不獨立.但E = EcosJ coS/d，02 1E .Esin”。si不d，02打1EECOSE=o SE 無八0故Cov , =E -E E =0，即三與不相關(guān).注 性質(zhì)2不能推廣到n -3個隨機變量情形.事實上從n -3個隨機變量nn兩兩不相關(guān)只能推得Var（2即弋 V不能推得E冷= E打EJ.反之，從這兩個等式也不能推得1廠，n兩兩不相關(guān).具體例子不列出了 .對于性質(zhì)3,在正態(tài)分布情形，獨立與不相關(guān)是一致的，這將在下面進行討論2 2設(shè)仁)服從二元正態(tài)分布N a,b；6f2,r，試

9、求Cov ,和.bo boCov ,= ； (x-a)(y-b)p(x,y)dxdy2 二 c；1 -r2：（x-a）（y-b）exp 2（1）.x_ay_b-ra1 a2 丿(y-b)2dxdyIJCT2=z rt則GJ 二 - (x,y)二 r(z,t)于是； 1； 2Cov ,2 二、；1 _ r2: 2一；(zt rt) ej2/2(1 j2)_t2 /2e dzdt+/2-QOt-oO：t2 e4.2 /2e dt 2 -1 r_t2 /2dt2，1-rK/2(1%=0+r2故得r Cov( , ) rr rJVarVarH這就是說二元正態(tài)分布中參數(shù)r就是三,的相關(guān)系數(shù)所以對二元正態(tài)

10、分布，&不相關(guān)等價于r = 0.但在第二章已證E與 相互獨立等價于r = 0.這樣我們 有性質(zhì)4對二元正態(tài)分布，兩個分量不相關(guān)與相互獨立是等價的.四、矩矩(moment)是最廣泛的一種數(shù)字特征，常用的矩有兩種，一種是原點矩，對正整數(shù)k,mk = E k稱為E的k階原點矩.數(shù)學(xué)期望就是一階原點矩.另一種是中心矩，對正整數(shù)k，稱Ck =EC -E )k為E的k階中心矩.方差是二階中心矩.除此以外，三階與四階中心矩也是常用.3/2的，它們分別表示隨機變量的性狀.往往用他們的相對值.稱Q/6為偏態(tài)系 數(shù)，當它大于0時為正偏態(tài)，小于0時則為負偏態(tài)稱c4/c2 -3為峰態(tài)系數(shù), 當它大于0時表明該分布密度比正態(tài)分布更為尖峭例10設(shè)E為服從正態(tài)分布N (芒2)的隨機變量，此時E，= 0，且mndx=0n = 2k+1,j苗x(n1和，n = 2k.4特別m4二C4.故不論c為多少，正態(tài)分布的偏態(tài)系數(shù)與峰態(tài)系數(shù)都為0.我們可以用原點矩來表示中心矩:kCk八r =0反過來，我們也可以用中心矩來表示原點矩:kmkr =0我們也定義階絕對矩Mk =E| 丁，其中是實數(shù).對于例10中的隨機變量kkr2k+, n = 2k +1(n -1)；,n =2k利用上述結(jié)果，可以求出其他某些分布的矩如瑞利分布，具有密度R,(x)豪,x 0因此,E n =JxLeFdxn -2k 1, n = 2k.特別,E12，