高中數(shù)學(xué)4.6函數(shù)的應(yīng)用二學(xué)案新人教B版必修第二冊(cè)

1、- -問(wèn)題導(dǎo)學(xué)4. 6函數(shù)的應(yīng)用（二）4 .7數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)：生長(zhǎng)規(guī)律的描述（略）考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)建模根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型求解問(wèn)題數(shù)學(xué)建模研犢導(dǎo)學(xué)青饃 .預(yù)習(xí)教材P42 P44的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：1. 一次、二次函數(shù)的表達(dá)形式分別是什么？2 .指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的表達(dá)形式是什么？新知初度幾類(lèi)常見(jiàn)的函數(shù)模型名稱(chēng)解析式條件一次函數(shù)模型y= kx+ bkwo反比例函數(shù)模型y = _+ b x xkwo二次函數(shù)模型般式：yax + bx+c頂點(diǎn)式：y-a1x+f + I 2a/4aa

2、w 0指數(shù)函數(shù)模型y = b ax + ca0且 aw 1, bw0對(duì)數(shù)函數(shù)模型y = mlog ax + na0 且 aw 1, m 0哥函數(shù)模型y = axn+ maw0, nw1、自我檢一測(cè)：0判斷正誤（正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“X”）（1）在一次函數(shù)模型中，系數(shù) k的取值會(huì)影響函數(shù)的性質(zhì).（）（2）在哥函數(shù)模型的解析式中，a的正負(fù)會(huì)影響函數(shù)的單調(diào)性.（）答案：（1） V （2） V某自行車(chē)存車(chē)處在某一天總共存放車(chē)輛4 000輛次，存車(chē)費(fèi)為電動(dòng)自行車(chē)0.3元/輛,普通自行車(chē)0.2元/輛.若該天普通自行車(chē)存車(chē)x輛次，存車(chē)費(fèi)總收入為 y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為()y=0.2x(0WxW4

3、000)y=0.5x(0 x4 000)y=- 0.1 x+1 200(0 wxw4 000)y= 0.1 x+ 1 200(0 x400)(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量 x的函數(shù)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少?【解】(1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本 Gx) = 20 000 + 100 x,利潤(rùn)f (x) =R(x) -G(x)|-2x2+300 x-20 000 (0 x400)(2)由 0WxW400 時(shí)，f (x) = 2( x300)2+25 000.所以當(dāng)x= 300時(shí)，f(x)取得最大值25 000元.當(dāng) x400 時(shí)，f(x)=60 000 100 x 是減

4、函數(shù)，f (x) v 60 000 -100X 400= 20 000 v 25 000.所以當(dāng)x= 300時(shí)，f(x)的最大值為25 000元.25 000 元.即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為規(guī)律方法理解所給函數(shù)模型中各量的意義，利用已知量求解析式，進(jìn)而求函數(shù)的問(wèn)題來(lái)解釋實(shí)際 問(wèn)題.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬(wàn)元，并且生產(chǎn)量每增加一個(gè)單，、，一，、- 八1，位產(chǎn)品，成本增加1萬(wàn)元，又知總收入 R是單位產(chǎn)量Q的函數(shù)：R(Q = 4Q-詆Q,則總禾I潤(rùn)L(Q的最大值是 萬(wàn)元，這時(shí)產(chǎn)品白生產(chǎn)數(shù)量為 單位.1 22.12斛析：總利潤(rùn)=總收入一成本，L(Q = 4Q-

5、200Q(200 + Q = - 200( Q- 300) +250.所以產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為 300單位時(shí)，總利潤(rùn)L(Q)的最大值是250萬(wàn)元.答案：250 300探究點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)模型解決問(wèn)題例團(tuán) 目前某縣有100萬(wàn)人，經(jīng)過(guò)x年后為y萬(wàn)人.如果年平均增長(zhǎng)率是1.2%,請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)計(jì)算10年后該縣的人口總數(shù)(精確到0.1萬(wàn)人)；(3)計(jì)算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬(wàn).(精確到1年)【解】(1)當(dāng) x=1 時(shí)，y= 100+100X 1.2 %= 100(1 + 1.2%);當(dāng) x=2 時(shí)，y= 100(1 +1.2%) +100(1 +1.2%)

6、 X1.2 %= 100(1 + 1.2%)2;當(dāng) x=3 時(shí)，y= 100(1 + 1.2%) 2+100(1 + 1.2%)2X 1.2%一 一 3= 100(1 +1.2%);故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為 y= 100(1 +1.2%)x(xC Nj .(2)當(dāng) x= 10 時(shí)，y= 100X(1 + 1.2%)10= 100X1.012 10= 112.7.故 10 年后該縣約有 112.7 萬(wàn)人.x120(3)設(shè)x年后該縣的人口總數(shù)為120萬(wàn)，即100X (1 + 1.2%) =120,解得x = log 1.012赤16.故大約16年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬(wàn).建立函數(shù)模型應(yīng)把握的

7、三個(gè)關(guān)口(1)事理關(guān)：通過(guò)閱讀、理解，明白問(wèn)題講什么，熟悉實(shí)際背景，為解題打開(kāi)突破口.(2)文理關(guān)：將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系.(3)數(shù)理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，對(duì)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.50輛自行車(chē)某旅游區(qū)提倡低碳生活，在景區(qū)提供自行車(chē)出租.該景區(qū)有供游客租賃使用，管理這些自行車(chē)的費(fèi)用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車(chē)的日租金不超過(guò)6元，則自行車(chē)可以全部租出；若超過(guò) 6元，則每超過(guò)1元，租不出的自行車(chē)就增加3輛.為了便于結(jié)算，每輛自行車(chē)的日租金x（元）只取整數(shù)，并且要求出租自行車(chē)一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，

8、用y（元）表示出租自行車(chē)的日凈收入 （日凈收入=一日出租自行車(chē)的總收入一管理費(fèi)用）.（1）求函數(shù)y= f （x）的解析式及其定義域；（2）試問(wèn)當(dāng)每輛自行車(chē)的日租金定為多少元時(shí)，才能使日凈收入最多？解：（1）當(dāng) x0,解得 x2.3.因?yàn)?xC N*,所以 3 x6 時(shí)，y=50 -3(x-6) x- 115.令50 -3(x-6) x-1150,得 3x268x+115V0.又 xCN*,解得 2WxW20,所以 6x20, x N,50 x- 115, 3x6, xC N*,故 y = *2*3x +68x-115, 6x20, xC N,定義域?yàn)閤|3 WxW20, xC M.*(2)對(duì)于

9、 y = 50 x-115(3 x6, xC N),顯然當(dāng) x=6時(shí)，ymax= 185,對(duì)于 y=3x2+68x 115= -3x-34 ； +811(6x185,所以當(dāng)每輛自行車(chē)的日租金定為11元時(shí)，才能使日凈收入最多.探究點(diǎn)&T擬合函數(shù)模型解決問(wèn)題例國(guó) 某經(jīng)營(yíng)商經(jīng)營(yíng)了 A B兩種商品，逐月投資金額與所獲純利潤(rùn)列表如下:投資A種商品金額（萬(wàn)元）123456獲純利潤(rùn)（力兀）0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額（萬(wàn)元）123456獲純利潤(rùn)（力兀）0.250.490.7611.261.51該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備第七個(gè)月投入12萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，但不知投入A, B兩種商品各多少萬(wàn)元才

10、合算.請(qǐng)你幫助制定一個(gè)資金投入方案，使得該經(jīng)營(yíng)者能獲得最大利潤(rùn)，并按你的方案求出該經(jīng)營(yíng)者第七個(gè)月可獲得的最大純利潤(rùn)（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）.【解】以投資額為橫坐標(biāo)，純利潤(rùn)為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出A B兩種商品的散點(diǎn)圖分別如圖所示.B種商品觀察散點(diǎn)圖可以看出，A種商品所獲純利潤(rùn)y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)乂種商Inr模型進(jìn)行模擬.取點(diǎn)(4, 2)為最高點(diǎn)，則y=a(x4)2+2, 2再把點(diǎn)(1 , 0.65)代入，得 0.65 =a(1 -4) +2, 解得 a=- 0.15 ,所以 y=- 0.15( x 4)2+2.B種商品所獲純利潤(rùn) y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用一次

11、函數(shù)模型進(jìn)行模擬.設(shè)丫=1+。取點(diǎn)(1 , 0.25)和點(diǎn)(4, 1),代入得0.25 =k+b,解得1 = 4k+ b,k=0.25 ,所以 y= 0.25 x. b=0,2y= 0.15( x-4)故前六個(gè)月所獲純利潤(rùn)y關(guān)于月投資A種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是+ 2,前六個(gè)月所獲純利潤(rùn)y關(guān)于月投資B種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y=0.25x.設(shè)第七個(gè)月投入A,xa+ xb= 12,W= yA+ yB= 0.15B兩種商品的資金分別為xa, xb(萬(wàn)元)，總利潤(rùn)為,.、2(xa 4) + 2 + 0.25 xb.所以 W= 0.15 xa好+ 0.151 000 得，x號(hào),3故每天至少需要賣(mài)

12、出 234張門(mén)票.鞏固提升A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) . * 1.某種產(chǎn)品今年的產(chǎn)量是 a,如果保持5%勺年增長(zhǎng)率，那么經(jīng)過(guò) x年(xCN),該產(chǎn)品的產(chǎn)量y滿足()A. y=a(1 +5%x)B. y= a+5%C. y=a(1+5%)x1D. y= a(1 + 5%)x解析：選 D.經(jīng)過(guò)1年，y=a(1+5%),經(jīng)過(guò)2年，y=a(1+5%)2,，經(jīng)過(guò) x年，y= a(1 + 5%)x.2.我們處在一個(gè)有聲世界里，不同場(chǎng)合，人們對(duì)聲音的音量會(huì)有不同要求.音量大小的 單位是分貝(dB),對(duì)于一個(gè)強(qiáng)度為I的聲波，其音量的大小 刀可由如下公式計(jì)算：刀=10-lg ；(其中I。是人耳能聽(tīng)到的聲音的最低聲波強(qiáng)度)，設(shè)Y

13、 1 = 70 dB的聲音強(qiáng)度為I1, Y 2= 60 dBI 0 的聲音強(qiáng)度為I2,則I1是12的()A.7倍B. 10 倍7c. 106倍 TOC o 1-5 h z 解析：選 B.依題意可知，Y 1= 10 - lg Y 2= 10 - lg 所以 Y1 Y2=10|g I 0I 0I 010 - lg F，則 1 = lg I1 lg I 2,所以二=10.故選 B. I 0I 23.設(shè)在海拔x m處的大氣壓強(qiáng)是y Pa, y與x之間的函數(shù)關(guān)系為 y=cekx,其中c, k為 常量.已知海平面處的大氣壓強(qiáng)為1.01 x 105 Pa,在1 000 m高空處的大氣壓強(qiáng)為0.90X10 5

14、Pa,則在600 m高空處的大氣壓強(qiáng)約為(參考數(shù)據(jù)：0.89 0.6 =0.93)()A. 9.4 x 104 PaB. 9.4 x 106 PaC. 9X103 PaD. 9X 105 Pa解析：選 A.依題意得：1.01 X10 5=ce=c, 0.90 X 105 = ce1 0k,因此 e1 00=吉10.89 ,因此當(dāng) x=600 時(shí),y = 1.01 X10 5e600k=1.01 x 105(e 1 000k)0.6 = 1.01 x 1 05x 0.89，9.4 x 104,故 選A.4.如圖所示，點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形的邊上運(yùn)動(dòng)， M是CD的中點(diǎn).當(dāng)數(shù)y = f(x)的圖像大

15、致是(P經(jīng)過(guò)的路程x與APM勺面積y之間的函點(diǎn)P沿路線AB-GM運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)11解析：選A.由題意得，當(dāng)0vxwi時(shí)，SAPg- x 1 x x=2x；當(dāng)1vxW2時(shí),1JSaAPg S 梯形ABCMH S abp- S PCM= 2 X 1 +112 |X 1 X 1 X (x 1)1 12X2X(2 x)=-4x+l ；當(dāng) Zvxv)時(shí)，SaAPg；X gx 1 1 =x+).22224結(jié)合選項(xiàng)可知，A選項(xiàng)符合題意.(2019 唐山一中期中)擬定從甲地到乙地通話m分鐘的話費(fèi)(單位：元)由函數(shù)f(n), 0Vme 4,=”給出，其中m是不小于m的最小整數(shù)，例如2 =2, 1.21x ( 0.5

16、 m + 1) , m 4=2,那么從甲地到乙地通話5.2分鐘的話費(fèi)為()A. 3.71 元B. 4.24 元C. 4.7 元D. 7.95 元解析：選B.由m是大于或等于 m的最小整數(shù)可得5.2 =6.所以f(5.2) =1.06 X (0.5 X6+ 1)=1.06 X4= 4.24.故從甲地到乙地通話5.2分鐘的話費(fèi)為 4.24元.故選B.為綠化生活環(huán)境，某市開(kāi)展植樹(shù)活動(dòng).今年全年植樹(shù)6.4萬(wàn)棵，若植樹(shù)的棵數(shù)每年的增長(zhǎng)率均為a,則經(jīng)過(guò)x年后植樹(shù)的棵樹(shù)y與x之間的解析式是 ,若計(jì)劃3年后全年 植樹(shù)12.5萬(wàn)棵，則a=.解析：經(jīng)過(guò)x年后植樹(shù)的棵數(shù) y與x之間的解析式是 y= 6.4(1 +a

17、)x,由題意可知6.4(1 +a)3 = 12.5, 3 1255所以(1 +團(tuán)3=封，所以1 + a = 4,故 a= 7= 25%. 4答案：y= 6.4(1 +a)x 25%. 一個(gè)駕駛員喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%勺速度減少.為了保障交通安全，規(guī)定駕駛員血液中的酒精含量不得超過(guò)0.09 mg/mL,那么這個(gè)駕駛員至少要經(jīng)過(guò) 小時(shí)才能開(kāi)車(chē).(精確到1小時(shí)， 參考數(shù)據(jù)：lg 2 =0.30, lg 3 =0.48)解析：設(shè)經(jīng)過(guò)n小時(shí)后才能開(kāi)車(chē)，此時(shí)酒精含量為 0.3(1 - 0.25) n.根據(jù)題意，有 0.3(1

18、-0.25) 至0.09 ,即(1 - 0.25) n0.3 ,在不等式兩邊取常用對(duì)數(shù)，則有 nlg |=n(lg 32lg 2)131wlg 0.3 =lg 3 1,將已知數(shù)據(jù)代入，得n(0.48 -0.6) y=43,故至少經(jīng)過(guò)5小時(shí)才能開(kāi)車(chē).答案：5.放射性物質(zhì)衰變過(guò)程中其剩余質(zhì)量隨時(shí)間按指數(shù)函數(shù)關(guān)系變化.常把它的剩余質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的一半所經(jīng)歷的時(shí)間稱(chēng)為它的半衰期，記為T(mén)1現(xiàn)測(cè)得某種放射性元素的剩余質(zhì)量A隨2時(shí)間t變化的6次數(shù)據(jù)如下:t (單位時(shí)間)0246810A(t)3202261601158057從以上記錄可知這種元素的半衰期約為 個(gè)單位時(shí)間，剩余質(zhì)量隨時(shí)間變化的衰變公式為A(t)

19、=.解析：從題表中數(shù)據(jù)易知半衰期為4個(gè)單位時(shí)間，由初始質(zhì)量為A = 320,則經(jīng)過(guò)時(shí)間t的剩余質(zhì)量為 A(t) =Ad - 2 it7= 320 - 2 4 ( t 0).2答案：4 320 2 4( t 0).汽車(chē)駕駛員發(fā)現(xiàn)前方有障礙物時(shí)會(huì)緊急剎車(chē)，這一過(guò)程中，由于人的反應(yīng)需要時(shí)間，汽車(chē)在慣性的作用下有一個(gè)剎車(chē)距離，設(shè)停車(chē)安全距離為 S,駕駛員反應(yīng)時(shí)間內(nèi)汽車(chē)行駛距離為Si,剎車(chē)距離為 S2,則S= S1 + S2.而Si與反應(yīng)時(shí)間t有關(guān)，S=10ln（ t + 1）, S2與車(chē)速v有 關(guān)，&= bv2.某人剎車(chē)反應(yīng)時(shí)間為（水一1）秒，當(dāng)車(chē)速為60 km/h時(shí)，緊急剎車(chē)后滑行的距離 為20米，

20、若在限速100 km/h的高速公路上，則該汽車(chē)的安全距離為多少米？（精確到米）解：因?yàn)閯x車(chē)反應(yīng)時(shí)間為 （g1）秒，所以 S=10ln（m一1 + 1） = 10ln/ = 5,當(dāng)車(chē)速為60 km/h時(shí)，緊急剎車(chē)后滑行的距離為20米，則& = b（60） 2=20,11 2解得b=湎，即&=醐.一 1）若 v=100,則 &=癡* 1002=56, S = 5,所以該汽車(chē)的安全距離S= Si+ &= 5+ 56= 61（米）.家用冰箱制冷使用的氟化物，釋放后破壞了大氣上層的臭氧層.臭氧含量Q呈指數(shù)函數(shù)型變化，滿足關(guān)系式Q= Qe 卷，其中Q是臭氧的初始量.（1）隨著時(shí)間的增加，臭氧的含量是增加還

21、是減少？（2）多少年以后將會(huì)有一半的臭氧消失？（精確到年，參考數(shù)據(jù)：In 2 = 0.693, In 3 =1.099）解：（1）因?yàn)?Q0, - 4001，所以Q= Qe 上;為減函數(shù)， 400所以隨著時(shí)間的增加，臭氧的含量減少.（2）設(shè)x年以后將會(huì)有一半的臭氧消失，則C C X 1 - rrX 1Q= Q400=尹，即 e-400=2,什 X 1 .取對(duì)數(shù)可得400= In 2,解得 x=4001n 2 =277.2.所以278年以后將會(huì)有一半的臭氧消失.B 能力提升. 一種放射性元素，每年的衰減率是8%那么a千克的這種物質(zhì)的半衰期（剩余量為原來(lái)的一半）t等于（）0.5A. Ig T g

22、0.920.92 B Ig_0TCjg2.5.lg 0.92D lg 0.92.lg 0.5.一、.t a 一t 1 . 一t解析：選C.由題意知a(1 8%) = 2,即(1 8%)=/，等式兩邊取對(duì)數(shù)得lg 0.92 =lg 0.5,lg 0.92即tlg 0.92 =lg 0.5 ,所以t=205一,故C選項(xiàng)是正確的. (2019 宜昌一中期中)把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是0 i ,空氣的溫度是 0 0 , t min后物體的溫度 0 C可由公式9 = 60+(61-60) - e-0.24t求得， 且把溫度是100 C的物體放在10 C的空氣中冷卻t min后，物體的溫度是 40 C,那么t的 值約等于.(參考數(shù)據(jù)：ln 3取1.099, ln 2取0.