2020_2021學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)專題強(qiáng)化練7雙曲線的綜合運(yùn)用含解析選擇性必修第一冊(cè)

1、PAGE PAGE 6專題強(qiáng)化練7雙曲線的綜合運(yùn)用一、選擇題1.()已知雙曲線E:x24-y2b2=1(b0)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F.若B為雙曲線E的虛軸的一個(gè)端點(diǎn),且ABBF=0,則F的坐標(biāo)為()A.(5-1,0)B.(3+1,0)C.(5+1,0)D.(4,0)2.()已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為2,若經(jīng)過(guò)F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為()A.x24-y24=1B.x28-y28=1C.x24-y28=1D.x28-y24=13.(2020吉林長(zhǎng)春實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期中,)如圖所示,雙曲線x2a2-y2b2=1(a

2、0,b0)的左,右焦點(diǎn)分別是F1,F2,過(guò)F1作傾斜角為30的直線交雙曲線右支于點(diǎn)M,連接MF2,若MF2垂直于x軸,則雙曲線的離心率為(深度解析)A.6B.3C.2D.54.()已知定點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點(diǎn),點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡方程是()A.x2+y23=1B.x2-y23=1C.x23+y2=1D.x23-y2=15.(多選)()已知F1、F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0且ab)的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).下面四個(gè)命題正確的是(

3、)A.PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線x=a上B.PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線x=b上C.PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線OP上D.PF1F2的內(nèi)切圓必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,0)二、填空題6.(2018天津和平期末,)已知橢圓x26+y22=1與雙曲線x23-y2=1的公共焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P是兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn),則cosF1PF2的值為.7.()設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)交于P,Q兩個(gè)不同的點(diǎn),F為C的一個(gè)焦點(diǎn),若tanPFQ=43,|QF|=5|PF|,則雙曲線C的離心率為.三、解答題8.()已知雙曲線E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-2,0),F2(2,0),并

4、且E經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,3).(1)求雙曲線E的方程;(2)過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線l與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),求直線l的方程.易錯(cuò)9.()已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的實(shí)軸長(zhǎng)為43,焦點(diǎn)到漸近線的距離為3.(1)求雙曲線的方程;(2)已知直線y=33x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D,使OM+ON=tOD,求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).答案全解全析一、選擇題1.C依題意得,A(-2,0),F(c,0),其中c2=4+b2,設(shè)B(0,b),則AB=(2,b),BF=(c,-b),ABBF=2c-b2=0,因此,c2-2c-4=0,解得c=1+5或c=1-5(舍

5、去).F(5+1,0),故選C.2.B設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)F(-c,0),由離心率e=ca=2,得c=2a,則雙曲線為等軸雙曲線,即a=b,雙曲線的漸近線方程為y=bax=x,經(jīng)過(guò)F(-c,0)和P(0,4)兩點(diǎn)的直線的斜率k=4-00+c=4c,則4c=1,解得c=4,則a=b=22,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28-y28=1.故選B.3.B解法一:在RtF1F2M中,|F1F2|=2c,MF1F2=30,|MF1|=2ccos30=433c,|MF2|=233c.因此,2a=|MF1|-|MF2|=233c,e=ca=3,故選B.解法二:依題意得Mc,b2a,tan30=kF1M=b2a-0c-(-

6、c)=b22ac=33.因此,2ac=3b2=3c2-3a2,3e2-2e-3=0,解得e=3或e=-33(舍去).故選B.解題模板解決雙曲線的幾何性質(zhì)問(wèn)題,可用代數(shù)法,也可用幾何法.綜合運(yùn)用幾何性質(zhì)解題可簡(jiǎn)化運(yùn)算,平時(shí)要多加積累.4.B如圖,當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí),連接ON,PF1,則|ON|=12|F2M|=1,所以|F2M|=2.結(jié)合PN為線段MF1的垂直平分線,可得|PF1|=|PM|=|PF2|-|F2M|=|PF2|-2,所以|PF2|-|PF1|=2|F1F2|=4.同理,當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí),|PF1|-|PF2|=20,b0),則c=2,4a2-9b2=1,c2=a2+b2,解得a

7、2=1,b2=3,所以雙曲線E的方程為x2-y23=1.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),顯然不合題意,所以可設(shè)直線l的方程為y=kx+1,聯(lián)立y=kx+1,x2-y23=1,得(3-k2)x2-2kx-4=0(*),當(dāng)3-k2=0,即k=3或k=-3時(shí),方程(*)只有一解,直線l與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí),直線l的方程為y=3x+1;當(dāng)3-k20,即k3時(shí),要使直線l與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),則=(-2k)2-4(3-k2)(-4)=0,解得k=2,此時(shí),直線l的方程為y=2x+1.綜上所述,直線l的方程為y=3x+1或y=2x+1.解法二:(1)由已知可設(shè)雙曲線E的方程為x2a2-

8、y2b2=1(a0,b0),根據(jù)雙曲線定義得|PF1|-|PF2|=2a,即2-(-2)2+32-(2-2)2+32=2a,所以a=1,因?yàn)閏=2,所以b2=c2-a2=3,所以雙曲線E的方程為x2-y23=1.(2)同解法一.易錯(cuò)警示直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),有兩種情況,一是切線,二是平行于漸近線,解題時(shí)防止遺漏導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.9.解析(1)由題意知a=23,所以一條漸近線為y=b23x,即bx-23y=0,所以|bc|b2+12=3,所以b2=3.所以雙曲線的方程為x212-y23=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),則x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.將直線方程代入