梁的彎曲應(yīng)力與強度計算（基礎(chǔ)教育）

1、 工 程 力 學8 梁的彎曲應(yīng)力與強度計算1向陽書屋u8 梁的彎曲應(yīng)力與強度計算8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 8.2 彎曲正應(yīng)力的強度條件 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強度條件 8.4 提高彎曲強度的措施 2向陽書屋u例如：AC和DB段。 橫截面上有彎矩又有剪力。稱為橫力彎曲(剪切彎曲)。 例如：CD段。 橫截面上有彎矩沒有剪力。稱為純彎曲。 8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 3向陽書屋u8.1.1 純彎曲時橫截面上的正應(yīng)力平面假設(shè)：梁的橫截面在彎曲變形后仍然保持平面，且與變形后的軸線垂直，只是繞截面的某一軸線轉(zhuǎn)過了一個角度。單向受力假設(shè)：各縱向纖維之間相互不擠壓。橫向線(mm、nn): 仍保持

2、為直線，發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動，仍與弧線垂直。實驗觀察變形縱向線(aa、bb)：變?yōu)榛【€，凹側(cè)縮短，凸側(cè)伸長。8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 4向陽書屋u中性軸：中性層與梁的橫截面的交線，垂直于梁的縱向?qū)ΨQ面。（橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動）中性軸垂直于縱向?qū)ΨQ面。設(shè)想梁由平行于軸線的眾多縱向纖維組成，由底部纖維的伸長連續(xù)地逐漸變?yōu)轫敳坷w維的縮短，中間必定有一層纖維的長度不變。中性層：中間既不伸長也不縮短的一層纖維。8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 5向陽書屋u變形幾何關(guān)系：式(a)表明線應(yīng)變與它到中性層的距離 y 成正比。(a) 設(shè)橫截面的對稱軸為y 軸，向下為正，中性軸為 z 軸（位置未定）。8.1 梁彎

3、曲時橫截面上的正應(yīng)力 6向陽書屋u物理關(guān)系：式(b)表明橫截面上任意一點的正應(yīng)力 與該點到中性軸的距離 y 成正比。(a)因為縱向纖維之間無正應(yīng)力，每一纖維都是單向拉伸或壓縮。當應(yīng)力小于比例極限時，由胡克定律知(b)在中性軸上：y0， 0。將 (a) 代入上式，得8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 7向陽書屋u常量，z 軸（中性軸）通過截面形心。梁的軸線在中性層內(nèi)，其長度不變。靜力學關(guān)系(c)(d)(e)將式 代入式(c)，得 8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 8向陽書屋uEIz 稱為梁的彎曲剛度。式中1/為梁彎曲后軸線的曲率。將式(b)代入式(d)，得 (b)(d)(e) y 軸為對稱軸，必然

4、有Iyz=0。(自然滿足)將式(b)代入式(e)，得 8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 9向陽書屋u 由上面兩式，得純彎曲時正應(yīng)力的計算公式：(b)將彎矩 M 和坐標 y 按規(guī)定的正負代入，所得到的正應(yīng)力若為正，即為拉應(yīng)力，若為負則為壓應(yīng)力。 一點的應(yīng)力是拉應(yīng)力或壓應(yīng)力，也可由彎曲變形直接判定。以中性層為界，梁在凸出的一側(cè)受拉，凹入的一側(cè)受壓。只要梁有一縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用于這個平面內(nèi)，上面的公式就可適用。8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 10向陽書屋u8.1.2 橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力在工程實際中，一般都是橫力彎曲，此時，梁的橫截面上不但有正應(yīng)力還有剪應(yīng)力。因此，梁在純彎曲時所作的平面

5、假設(shè)和各縱向纖維之間無擠壓的假設(shè)都不成立。雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但是應(yīng)用純彎曲時正應(yīng)力計算公式來計算橫力彎曲時的正應(yīng)力，所得結(jié)果誤差不大，足以滿足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其誤差越小。8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 11向陽書屋u例： 已知 l=1m，q=6kN/m，10號槽鋼。求最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。解：（1）作彎矩圖 （2）由型鋼表查得，10號槽鋼（3）求最大應(yīng)力 8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 12向陽書屋uWz 稱為彎曲截面模量。它與截面的幾何形狀有關(guān)，單位為m3。橫力彎曲時，彎矩隨截面位置變化。一般情況下，最大正應(yīng)力 發(fā)生在彎矩最大的截面上，且離中性

6、軸最遠處。即 引用記號 則 8.2 彎曲正應(yīng)力的強度條件 13向陽書屋u對于寬為 b ，高為 h 的矩形截面對于直徑為 D 的圓形截面對于內(nèi)外徑分別為 d 、D 的空心圓截面8.2 彎曲正應(yīng)力的強度條件 14向陽書屋u如果梁的最大工作應(yīng)力，不超過材料的許用彎曲應(yīng)力，梁就是安全的。因此，梁彎曲時的正應(yīng)力強度條件為對于抗拉和抗壓強度相等的材料 (如炭鋼)，只要絕對值最大的正應(yīng)力不超過許用彎曲應(yīng)力即可。對于抗拉和抗壓不等的材料 (如鑄鐵)，則最大的拉應(yīng)力和最大的壓應(yīng)力分別不超過各自的許用彎曲應(yīng)力。8.2 彎曲正應(yīng)力的強度條件 15向陽書屋u例：20a工字鋼梁。若 ，試求許可荷載 F 。FAFB解：（

7、1）計算支反力 （2）作彎矩圖 （3）確定許可荷載 8.2 彎曲正應(yīng)力的強度條件 16向陽書屋u例：一矩形截面木梁，已知 F =10 kN，a =1.2 m。木材的許用應(yīng)力 =10MPa。設(shè)梁橫截面的高寬比為h/b=2，試選梁的截面尺寸。解：1.計算支反力 2.作彎矩圖 3.選擇截面尺寸 A,B截面最危險，該截面 FAFB8.2 彎曲正應(yīng)力的強度條件 17向陽書屋u強度條件 所以 最后選用 125250mm2 的截面。 8.2 彎曲正應(yīng)力的強度條件 18向陽書屋u例：T字形截面鑄鐵梁如圖。鑄鐵許用拉應(yīng)力 =30MPa, 許用壓應(yīng)力 =160 MPa。已知中性軸位置 y1 = 52 mm，截面對

8、形心軸 z 的慣性矩為 Iz=763 cm4。試校核梁的強度。解： 1.計算支反力 2.繪彎矩圖 FBFA8.2 彎曲正應(yīng)力的強度條件 19向陽書屋u3.強度校核 B截面： C截面： 故該梁滿足強度條件。 8.2 彎曲正應(yīng)力的強度條件 20向陽書屋u8.3.1 梁的彎曲剪應(yīng)力 1. 矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力關(guān)于橫截面上剪應(yīng)力的分布規(guī)律，作以下兩個假設(shè)： (1) 橫截面上各點的剪應(yīng)力的方向都平行于剪力FS；(2) 剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。在截面高度 h 大于寬度 b 的情況下，以上述假設(shè)為基礎(chǔ)得到的解，與精確解相比有足夠的準確度。8.3 梁的剪應(yīng)力及其強度條件 21向陽書屋u剪應(yīng)力計算公式為矩形

9、截面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。 y =0，即中性軸上各點處： 即橫截面上、下邊緣各點處： 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強度條件 22向陽書屋u2. 工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力 腹板上的剪應(yīng)力 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強度條件 23向陽書屋u和計算結(jié)果表明： 腹板內(nèi)的剪應(yīng)力近似計算公式 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強度條件 24向陽書屋u3. 圓形截面梁的彎曲剪應(yīng)力(2) ab 弦上各點剪應(yīng)力的垂直分量 y 為常量。橫截面上彎曲剪應(yīng)力分布的假設(shè) b為 ab 弦的長度； Sz*為 ab 弦以上的面積對中性軸 z 的靜矩。(1) ab 弦上各點的剪應(yīng)力都匯交于 D點；8.3 梁的剪應(yīng)力及其強度條件

10、25向陽書屋u在y =0處，即中性軸上各點處： 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強度條件 26向陽書屋u4. 薄壁圓環(huán)形截面梁的彎曲剪應(yīng)力 因為薄壁圓環(huán)的壁厚 t 遠小于平均半徑 R ，故可以認為剪應(yīng)力 沿壁厚均勻分布，方向與圓周相切。最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上，其值為 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強度條件 27向陽書屋u一般情況，在剪力為最大值的截面的中性軸上，出現(xiàn)最大剪應(yīng)力 彎曲剪應(yīng)力的強度條件 細長梁的控制因素通常是彎曲正應(yīng)力。 滿足彎曲正應(yīng)力強度條件的梁，一般都能滿足剪應(yīng)力的強度條件。8.3.2 梁的剪應(yīng)力強度條件8.3 梁的剪應(yīng)力及其強度條件 28向陽書屋u必須進行剪應(yīng)力的強度校核的情況： (1)

11、梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷；以致梁的彎矩較小，而剪力很大。 (2) 焊接或鉚接的工字梁，如果腹板較薄而截面高度很大，以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應(yīng)比值，這時，對腹板應(yīng)進行剪應(yīng)力強度校核。(3) 經(jīng)焊接、鉚接或膠合而成的組合梁，一般需對焊縫、鉚釘或膠合面進行剪應(yīng)力強度校核。8.3 梁的剪應(yīng)力及其強度條件 29向陽書屋u例：已知：F=58kN，a=0.15m，l=1m，試選擇工字鋼的型號。 FAFB（1）計算支反力 解： （2）作剪力圖和彎矩圖 （3）選擇工字鋼型號 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強度條件 30向陽書屋u查型鋼表，選用10號工字鋼，其 （4）校核剪應(yīng)力強度 必須重新選擇更

12、大的截面?，F(xiàn)以12.6號工字鋼進行試算。 因此，要同時滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件，應(yīng)選12.6號工字鋼。8.3 梁的剪應(yīng)力及其強度條件 31向陽書屋u例：梁由3根木條膠合而成。 ， ， 試求許可荷載F。FAFB（1）計算支反力 解： （2）作剪力圖和彎矩圖 （3）確定許可荷載F 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強度條件 32向陽書屋u由彎曲正應(yīng)力強度條件 由彎曲剪應(yīng)力強度條件由膠合面上剪應(yīng)力強度條件8.3 梁的剪應(yīng)力及其強度條件 33向陽書屋u綜上所述，膠合梁的許可荷載為8.3 梁的剪應(yīng)力及其強度條件 34向陽書屋u按強度條件設(shè)計梁時，主要是根據(jù)梁的彎曲正應(yīng)力強度條件由上式可見，要提高梁的彎曲強度，即降

13、低最大正應(yīng)力，可以從兩個方面來考慮，一是合理安排梁的受力情況，以降低最大彎矩 Mmax 的數(shù)值；二是采用合理的截面形狀，以提高彎曲截面系數(shù)W 的數(shù)值。8.4 提高彎曲強度的措施 35向陽書屋u8.4.1 合理安排梁的受力情況 合理安排作用在梁上的荷載，可以降低梁的最大彎矩。 8.4 提高彎曲強度的措施 36向陽書屋u合理布置梁的支座，同樣也可以降低梁的最大彎矩。 僅為原簡支梁最大彎矩值的20%。 8.4 提高彎曲強度的措施 37向陽書屋u在工程實際中，圖示的門式起重機的大梁，圖示的圓柱形容器，其支撐點都略向中間移動，就考慮了降低由荷載和自重所產(chǎn)生的最大彎矩。8.4 提高彎曲強度的措施 38向陽

14、書屋u8.4.2 采用合理的截面形狀當彎矩值一定時，橫截面上的最大正應(yīng)力與彎曲截面系數(shù)成反比，即彎曲截面系數(shù)W，越大越好。另一方面，橫截面面積越小，梁使用的材料越少，自重越輕，即橫截面面積A，越小越好。因此，合理的橫截面形狀應(yīng)該是截面面積 A 較小，而彎曲截面系數(shù) W 較大。我們可以用比值 來衡量截面形狀的合理性。所以，在截面面積一定時，環(huán)形截面比圓形截面合理，矩形截面比圓形截面合理，矩形截面豎放比平放合理，工字形截面比矩形截面合理。8.4 提高彎曲強度的措施 39向陽書屋u對抗拉和抗壓強度相等的材料制成的梁，宜采用中性軸為其對稱軸的截面，例如，工字形、矩形、圓形和環(huán)形截面等。 另外，截面是否合理，還應(yīng)考慮材料的特性。8.4 提高彎曲強度的措施 40向陽書屋u對抗拉和抗壓強度不相等的材料制成的梁，宜采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面。 對這類截面，應(yīng)使最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時接近材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力。8.4 提高彎曲強度的措施 41向陽書屋u8.4.3 合理設(shè)計梁的外形在一般情況下，梁的彎矩沿軸線是變化的。因此，在按最大彎矩所設(shè)計的等