復(fù)習(xí)課件奇偶性

1、學(xué)點一學(xué)點二學(xué)點三學(xué)點四學(xué)點五名師伴你行SANPINBOOK1.偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi) 一個x，都有 ，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).2.奇函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi) 一個x,都有 ,那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).3.奇偶性： 那么，就說函數(shù)f(x)具有奇偶性.4.奇函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱,反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是 ；偶函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是 .返回目錄f(-x)=f(x)f(-x)= -f(x)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)原點任意任意奇函數(shù)y軸偶函數(shù)名師伴你行SANPI

2、NBOOK5.若奇函數(shù)f(x)在a,b上是增函數(shù)，且有最大值M，則f(x)在-b,-a上是 函數(shù)，且有 .6.若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義，則f(0)= .7.若y=f(x)是偶函數(shù)，則f(x)與f(|x|)的大小關(guān)系是 . 8.若f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則其定義域關(guān)于 對稱.返回目錄增最小值-M0f(x)=f(|x|)原點名師伴你行SANPINBOOK返回目錄學(xué)點一 奇偶性的判定判斷下列函數(shù)的奇偶性:（1）f(x)=(x-1) ;（2）f(x)= .【分析】先觀察定義域是否關(guān)于原點對稱，再看f(-x)與f(x)之間的關(guān)系.若f(x)本身能化簡，應(yīng)先化簡，再進(jìn)行判斷，可避免失誤.名師伴你

3、行SANPINBOOK【解析】（1）先確定函數(shù)的定義域，由 0得-1x0，關(guān)于原點不對稱，函數(shù)f(x)= 為非奇非偶函數(shù).（4）由 1-x20 x2-10 x=1.函數(shù)的定義域為-1,1, 于是f(x)=0,x-1,1.滿足f(-x)=f(x)=0,f(-x)=-f(x)=0.f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄學(xué)點二 由奇偶性求函數(shù)解析式設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)= x2 +x+1,求函數(shù)解析式.【分析】由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，找x0和x0時解析式間的聯(lián)系.【解析】當(dāng)x0，由已知得f(-x)=x2-x+1,f(x)為R上 的奇函數(shù)

4、，f(-x)=-f(x)=x2-x+1,f(x)=-x2+x-1,又f(0)=-f(0),f(0)=0. x2+x+1，x0， 0，x=0， -x2+x-1，x0時，f(x)=x|x-2|，求當(dāng)x0時，f(x)的表達(dá)式.設(shè)x0，且滿足表達(dá)式f(x)=x|x-2|,f(-x)= -x|-x-2|=-x|x+2|.又f(x)是奇函數(shù)，f(-x)= -f(x),-f(x)= -x|x+2|,f(x)=x|x+2|.故當(dāng)x0時，f(x)的表達(dá)式為f(x)=x|x+2|.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄學(xué)點三 奇偶性的證明函數(shù)f(x),xR,若對于任意實數(shù)a,b，都有f(a+b)=f(a)+f(b

5、)，求證：f(x)為奇函數(shù).【分析】因為對于a,bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，所以可以令a,b為某些特殊值，得出f(-x)=-f(x).【證明】令a=0，則f(b)=f(0)+f(b),f(0)=0.又令a=-x,b=x，代入f(a+b)=f(a)+f(b)得 f(-x+x)=f(-x)+f(x), 即0=f(-x)+f(x), f(-x)= -f(x), f(x)為奇函數(shù).【評析】證明函數(shù)的奇偶性，即證明f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立.這需要對給定函數(shù)方程中的x,y賦值，使其變成含f(x),f(-x)的式子，然后判定.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄設(shè)函

6、數(shù)f(x)定義在 上.證明：f(x)+f(-x)是偶函數(shù)，f(x)-f(-x)是奇函數(shù).證明:由于對任意的x ，必有-x .可見f(-x)的定義域也是 .若設(shè)F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x).則F(x)與G(x)的定義域也是 ，顯然是關(guān)于原點對稱的區(qū)間,而且F(-x)=f(-x)+f-(-x)=f(x)+f(-x)=F(x),G(-x)=f(-x)-f-(-x)=f(-x)-f(x)=-f(x)-f(-x)=-G(x).所以F（x）為偶函數(shù)，而G（x）為奇函數(shù).名師伴你行SANPINBOOK學(xué)點四 奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(-,0)(0,+)

7、上的奇函數(shù)，且f(x)在(0,+)上是減函數(shù)，且f(x)0，試判斷函數(shù)F(x)= 在(-,0)上的單調(diào)性，并給出證明.【分析】F（x）的單調(diào)性的判定與f(x1),f(x2)的大小有關(guān)，而f(x)在(0,+)上為減函數(shù)，可由此建立關(guān)系.返回目錄名師伴你行SANPINBOOK返回目錄【解析】F(x)在(-,0)上是增函數(shù)，以下進(jìn)行證明：設(shè)x1,x2(-,0)，x10，且-x1,-x2(0,+),且-x1-x2,(-x2)-(-x1)=x1-x20又f(x)在(-,0)(0,+)上是奇函數(shù)，f(-x1)= -f(x1),f(-x2)= -f(x2),由式得-f(x2)+f(x1)0,F(x2)-F(

8、x1)=名師伴你行SANPINBOOK又f(x)在(0,+)上總小于0，f(x1)=-f(-x1)0,f(x2)=-f(-x2)0,f(x1)f(x2)0,又f(x1)-f(x2)0,F(x2)-F(x1)0，且x2-x10,故F(x)= 在(-,0)上是增函數(shù).返回目錄【評析】解決綜合性問題，關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì).名師伴你行SANPINBOOK已知函數(shù)f(x)在(-1,1)上有定義，f（ ） = -1，當(dāng)且僅當(dāng)0 x1時，f(x)0，且對任意x,y(-1,1)都有 f(x) + f(y) =f（ ），試證明：（1）f(x)為奇函數(shù)；（2）f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.返回目錄名師伴你

9、行SANPINBOOK證明:（1）由f(x)+f(y)=f（ ）,令x=y=0，得f(0)=0.令y=-x，得f(x)+f(-x)=f（ ）=f(0)=0,f(x)=-f(-x)，f(x)為奇函數(shù).（2）先證f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，令0 x1x20,則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f（ ） ,返回目錄名師伴你行SANPINBOOK0 x1x20,1-x1x20, 0,又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)0,0 x2-x11-x1x2,0 1,由題意知 0，即f(x2)-f(x1)0,f(x)在(0,1)上為減函數(shù).又f(x)為奇函數(shù)，且f(0

10、)=0,f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.返回目錄名師伴你行SANPINBOOK學(xué)點五 奇偶性在求變量范圍中的應(yīng)用設(shè)f(x)在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間(-,0)上遞增，且有f(2a2+a+1)0,2a2-2a+3=2（a - ）2+ 0,且f(2a2+a+1)2a2-2a+3,即3a-20,解之得a .a的取值范圍是a .【評析】該例在求解過程中用到了前面提到的減函數(shù)定義的逆命題.名師伴你行SANPINBOOK（1）定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)為減函數(shù)，且f(1-a)+f(1-a2)0，求實數(shù)a的取值范圍；（2）定義在-2,2上的偶函數(shù)g(x)，當(dāng)x0時，g(x)為減函數(shù)，若g(1-m)g

11、(m)成立，求m的取值范圍.返回目錄（1）f(1-a)+f(1-a2)0,f(1-a)-f(1-a2),f(x)為奇函數(shù),f(1-a)a2-1 -11-a1 -1a2-11,解得0a1.（2）因為函數(shù)g(x)在-2,2上是偶函數(shù)，則由g(1-m)g(m)，可得g(|1-m|)g(|m|),又當(dāng)x0時，g(x)為減函數(shù)，得到 |1-m|2 |m|2 解之得-1m|m|,.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄1.在函數(shù)的奇偶性中應(yīng)注意什么問題？（1）對于函數(shù)奇偶性的理解函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的差異:函數(shù)的奇偶性是相對于函數(shù)的整個定義域來說的，這一點與函數(shù)的單調(diào)性不同.從這個意義上來講，函數(shù)的單調(diào)性

12、是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，而奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)，只有對函數(shù)定義域內(nèi)的每一個值x，都有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)）,才能說f(x)是奇（或偶）函數(shù).奇（或偶）函數(shù)的定義域必須是關(guān)于原點對稱的，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則此函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).名師伴你行SANPINBOOK（2）函數(shù)按奇偶性分類 有的函數(shù)是奇函數(shù)； 有的函數(shù)是偶函數(shù)； 如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任一個x，f(-x)=f(x)與f(-x)= - f(x)同時成立，那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的表達(dá)式是唯一的：f(x)=0,xA，定義域A是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集； 有

13、的函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).（3）用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟 考查定義域是否關(guān)于原點對稱； 判斷f(-x)=f(x)之一是否成立.返回目錄名師伴你行SANPINBOOK2.奇偶函數(shù)的圖象有什么幾何性質(zhì)？（1）如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形，反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù).如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則它的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù).（2）若奇函數(shù)y=f(x)在x=0時有定義，則由奇函數(shù)定義知f(-0)=-f(0)，即f(0)=-f(0),所以f(0)=0.（3）奇函數(shù)在對稱于原點的兩個區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)則相反.返回目錄名師伴你行SANPINBOOK返回目錄1.如果已知函數(shù)具有奇偶性，只要畫出它在y軸一側(cè)的圖象，則另一側(cè)的圖象可對稱畫出.2.奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.3.判斷函數(shù)的奇偶性時，我們可以根