函數(shù)和基本初等函數(shù)專題

1、 14/14 年 級： 輔導科目：數(shù)學 課時數(shù)：3課 題函數(shù)與基本初等函數(shù)教學目的教學內(nèi)容 函數(shù)的奇偶性（一）高考目標考綱解讀1結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的奇偶性考向預測1函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，為高考中的必考知識點2常與函數(shù)的概念、圖像、單調(diào)性、對稱性等綜合考查（二）課前自主預習知識梳理1函數(shù)的奇偶性圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)f(x)滿足圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)f(x)滿足當函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時，稱函數(shù)具有（三）基礎(chǔ)自測1下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()Ayx3，xRBysinx，xRCyx，xR

2、Dyeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x，xR答案A解析ysinx在R上不單調(diào)，yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x不是奇函數(shù)，yx為增函數(shù)，故B、C、D均錯2(教材改編題)下面四個結(jié)論中，正確命題的個數(shù)是()偶函數(shù)的圖像一定與y軸相交；函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是f(0)0；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)0(xR)A1 B2 C3 D4答案A解析錯誤，如函數(shù)f(x)eq f(1,x2)是偶函數(shù)，但其圖像與y軸沒有交點；錯誤，因為奇函數(shù)的定義域可能不包含x0；正確；錯誤，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以為f(x)

3、0，x(a，a)3(2011某寶山模擬)已知函數(shù)f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，且其定義域為a1,2a，則()Aaeq f(1,3)，b0 Ba1，b0 Ca1，b0 Da3，b0答案A解析由f(x)ax2bx3ab為偶函數(shù)，得b0.又定義域為a1,2a，(a1)2a0，aeq f(1,3).4 (2009某理)若f(x)eq f(1,2x1)a是奇函數(shù)，則a_. 答案eq f(1,2)解析考查函數(shù)的奇偶性f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)，即eq f(1,211)aeq f(1,21)a，aeq f(1,2).（四）典型例題1.命題方向：奇偶性的判定例1判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)(

4、x1)eq r(f(1x,1x)； (2)f(x)eq f(lg(1x2),|x2|2)；(3)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2xx0)； (4)f(x)eq r(3x2)eq r(x23)；(5)f(x)x2|xa|2.解析(1)由eq f(1x,1x)0，得定義域為1,1)，關(guān)于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù)(2)由eq blcrc (avs4alco1(1x20,|x2|20)得定義域為(1,0)(0,1)，這時f(x)eq f(lg(1x2),(x2)2)eq f(lg(1x2),x)，f(x)eq f(lg1x2,x)eq f(lg1x2,x)f(x)f(x

5、)為奇函數(shù)(3)當x0，則f(x)(x)2(x)x2xf(x)當x0時，x0則f(x)(x)2(x)x2xf(x)對任意x(，0)(0，)都有f(x)f(x)，故f(x)為偶函數(shù)另解：1畫函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2xx0)的圖像圖像關(guān)于y軸對稱，故f(x)為偶函數(shù)2f(x)還可寫成f(x)x2|x|，故為偶函數(shù)(4)由eq blcrc (avs4alco1(3x20,x230)得xeq r(3)或xeq r(3)函數(shù)f(x)的定義域為eq r(3)，eq r(3)又對任意的xeq r(3)，eq r(3)，f(x)0. f(x)f(x)f(x)(5)函數(shù)f(x)的

6、定義域為R當a0時f(x)f(x) f(x)是偶函數(shù)當a0時f(a)a22，f(a)a22|a|2f(a)f(a)且f(a)f(a)2(a2|a|2)2(|a|eq f(1,2)2eq f(7,2)0f(x)是非奇非偶函數(shù)點評第一，求函數(shù)定義域，看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)第二，若定義域關(guān)于原點對稱，函數(shù)表達式能化簡的，則對函數(shù)進行適當?shù)幕?，以便于判斷，化簡時要保持定義域不改變；第三，利用定義進行等價變形判斷第四，分段函數(shù)應分段討論，要注意據(jù)x的X圍取相應的函數(shù)表達式或利用圖像判斷跟蹤練習1判斷函數(shù)f(x)eq f(r(16x2),|x5|5)的奇偶性解析

7、由題意知eq blcrc (avs4alco1(16x20,|x5|50)解得4x0或0 x4，函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱f(x)eq f(r(16x2),|x5|5)eq f(r(16x2),x)，f(x)eq f(r(16(x)2),x)eq f(r(16x2),x)f(x)f(x)是奇函數(shù).2.命題方向：奇偶性的應用例2已知定義域為R的函數(shù)f(x)eq f(2xb,2x1a)是奇函數(shù)(1)求a、b的值；(2)若對任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值X圍解析(1)f(x)是奇函數(shù)，f(0)0，即eq f(1b,2a)0，b1.f(x)eq f(2x1,2x1a)

8、.又由f(1)f(1)知eq f(21,4a)eq f(f(1,2)1,1a)，a2.(2)解法1：由(1)知f(x)eq f(2x1,2x12)eq f(1,2)eq f(1,2x1).易知f(x)在(，)上為減函數(shù)又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t22t)f(2t2k)0等價于f(t22t)2t2k.即對一切tR有3t22tk0.從而判別式412k0，解得keq f(1,3).解法2：由(1)知f(x)eq f(2x1,2x12)，又由題設(shè)條件得eq f(2t22t1,2t22t12)eq f(22t2k1,22t2k12)0，即(22t2k12)(2t22t1)(2t22t12)(2

9、2t2k1)1，因底數(shù)21，故3t22tk0.上式對一切tR均成立，從而判別式412k0，解得k0且a1)是定義在(，)上的奇函數(shù)(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的值域；(3)當x(0,1時，tf(x)2x2恒成立，某數(shù)t的取值X圍解析(1)f(x)是定義在(，)上的奇函數(shù)，即f(x)f(x)恒成立，f(0)0.即1eq f(4,2a0a)0，解得a2.(2)yeq f(2x1,2x1)，2xeq f(1y,1y)，由2x0知eq f(1y,1y)0，1y1，即f(x)的值域為(1,1)(3)不等式tf(x)2x2即為eq f(t2xt,2x1)2x2.即：(2x)2(t1)2xt20.設(shè)

10、2xu，x(0,1，u(1,2u(1,2時u2(t1)ut20恒成立eq blcrc (avs4alco1(12t11t20,22t12t20)，解得t0.（五）思想方法點撥1判斷函數(shù)奇偶性時首先要看其定義域是否關(guān)于原點對稱如函數(shù)yx2(x(1,1)并不具備奇偶性因此，一個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，其定義域必須關(guān)于原點對稱函數(shù)奇偶性的判定方法：(1)定義法：第一步先看函數(shù)f(x)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱，則為非奇非偶函數(shù)第二步直接或間接利用奇偶函數(shù)的定義來判斷即若有：f(x)f(x)或f(x)f(x)0或f(x)f(x)2f(x)或f(x)f(x)f 2(x)或f(x)/f(x)1為奇函

11、數(shù)若有f(x)f(x)或f(x)f(x)0或f(x)f(x)2f(x)或f(x)f(x)f 2(x)或f(x)/f(x)1為偶函數(shù)(2)圖像法：利用“奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱”來判斷(3)復合函數(shù)奇偶性的判斷若復合函數(shù)由若干個函數(shù)復合而成，則復合函數(shù)可依若干個函數(shù)的奇偶性而定，概括為“同奇為奇，一偶則偶”(4)性質(zhì)法偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)利用上述結(jié)論時要注意函數(shù)的定義域是各個函數(shù)定義域的交集函數(shù)奇偶性的應用(1)已知函數(shù)的奇偶性

12、求函數(shù)的解析式抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分類區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性產(chǎn)生關(guān)于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式(2)已知帶有字母系數(shù)的函數(shù)的表達式及奇偶性，求參數(shù)常常采用待定系數(shù)法利用關(guān)系式f(x)f(x)0產(chǎn)生關(guān)于x的恒等式，利用對應項系數(shù)相等求得字母的值2運用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)及其單調(diào)性的關(guān)系是進行區(qū)間轉(zhuǎn)換的一種有效手段：奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，且f(x)f(x)f(|x|)。 （六）課后強化作業(yè)一、選擇題1(2010某理)函數(shù)f(x)eq f(4x1,2x)的圖像()A關(guān)于原點對稱 B關(guān)于直線yx對稱C關(guān)于x軸對稱 D關(guān)于y軸對稱答案D解

13、析f(x)2xeq f(1,2x)2xeq f(1,2x)f(x)f(x)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱2已知yf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，如果x10，且|x1|0 Bf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0答案D解析x10，|x1|x2|，0 x1x2又f(x)是(0，)上的增函數(shù)，f(x1)f(x2)又f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0.選D.3(2009某理)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)的x取值X圍是()A.eq blc(rc

14、)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3) B.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3) C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(2,3) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，f(2,3)答案A解析考查偶函數(shù)的性質(zhì)及含絕對值號不等式的解法由題意得|2x1|eq f(1,3)eq f(1,3)2x1eq f(1,3)eq f(2,3)2xeq f(4,3)eq f(1,3)xeq f(2,3)，選A.4(2010某理)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)2x2xb(b為常數(shù))，則f(1)()A3 B1

15、C1 D3答案D解析f(x)是奇函數(shù)，f(0)0，即020b，b1，故f(1)2213，f(1)f(1)3.5已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)是一個減函數(shù)，且x1x20，x2x30，x3x10，則f(x1)f(x2)f(x3)的值()A大于0 B小于0 C等于0 D以上都有可能答案A解析由x1x20，得x1x2.又f(x)為減函數(shù)，f(x1)f(x2)，又f(x)為R上的奇函數(shù)，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0.同理f(x2)f(x3)0，f(x1)f(x3)0，f(x1)f(x2)f(x3)0.6若函數(shù)f(x)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f(x)g(x)ex，則有()

16、Af(2)f(3)g(0) Bg(0)f(3)f(2)Cf(2)g(0)f(3) Dg(0)f(2)f(2)eq f(e2e2,2)0，因此g(0)f(2)0時，f(x)xeq f(4,x)，且當x3，1時，nf(x)m恒成立，則mn的最小值是_分析該題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性和奇偶性)，要求考生有一定的分析能力答案1解析因為函數(shù)f(x)xeq f(4,x)在(0,2)上為減函數(shù)，在2，)上為增函數(shù)，則當x1,3時，4f(x)5.又函數(shù)yf(x)為偶函數(shù)，故當x3，1時，4f(x)5，則mn的最小值是1.第四節(jié) 冪函數(shù)（一）高考目標考綱解讀1了解冪函數(shù)的概念2結(jié)合函數(shù)yx，的圖像，了解它們

17、的變化情況考向預測1常以5種冪函數(shù)為載體，考查冪函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)2多以小題形式出現(xiàn)，常與函數(shù)性質(zhì)、二次函數(shù)、方程、不等式交匯命題（二）課前自主預習知識梳理1冪函數(shù)概念形如 (aR)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是，a為2冪函數(shù)的圖像(以yx，為例)3冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)(1)所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖像都過點 (2 a)0時，冪函數(shù)的圖像通過原點，并且在區(qū)間0，)上是 (3) a 0，所以在第一象限內(nèi)的圖像是單調(diào)遞增，因此在(，0)上為減函數(shù)3.下列各組函數(shù)中，定義域相同的是（ ）A.與 B. 與C與 D. 與答案B解析選項A中，y=中x0,y=中xR;選項C，y= 中x 0, y= 中，x

18、R，選項D中， y=中X0，而中x0，故選B.4下列命題：冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(1,1)和點(0,0)；冪函數(shù)的圖像不可能在第四象限；n0時，函數(shù)yxn的圖像是一條直線；冪函數(shù)yxn，當n0時是增函數(shù)；冪函數(shù)yxn，當n0時，在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減小其中正確的是()A B C D答案D解析yx在0時是增函數(shù)沒有指明單調(diào)區(qū)間，如y在(，0)上是增函數(shù)是錯誤的，由冪函數(shù)的圖像性質(zhì)知正確5已知點eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)，3r(3)在冪函數(shù)f(x)的圖像上，則f(x)是_函數(shù)(填“奇”或“偶”)答案奇解析設(shè)f(x)=,則=，即=，故a=-3.因此，故f(

19、x)是奇函數(shù)。（四）典型例題1.命題方向：冪函數(shù)的定義例1已知f(x)(m22m)，m為何值時，f(x)是：(1)正比例函數(shù)？(2)反比例函數(shù)？(3)二次函數(shù)？(4)冪函數(shù)？(5)在(4)的條件下，滿足在(0，)上單調(diào)遞增？分析(1)(2)(3)(4)分別用相應函數(shù)的定義來確定m的值，(5)中則需考查冪函數(shù)的性質(zhì)與冪指數(shù)之間的關(guān)系解析(1)若f(x)為正比例函數(shù)，則eq blcrc (avs4alco1(m2m11，,m22m0)m1.(2)若f(x)為反比例函數(shù)，則eq blcrc (avs4alco1(m2m11，,m22m0)m1.(3)若f(x)為二次函數(shù)，則eq blcrc (avs

20、4alco1(m2m12，,m22m0)meq f(1r(13),2).(4)若f(x)為冪函數(shù)，則m22m1.m1eq r(2).(5)由(4)得m1eq r(2).當m1eq r(2)時，m2m11eq r(2)，f(x)x1eq r(2)在(0，)上單調(diào)遞減，不合題意；當m1eq r(2)時，m2m11eq r(2)，f(x)x1eq r(2)在(0，)上單調(diào)遞增綜上，m1eq r(2).點評本題考查各種函數(shù)的概念，需要根據(jù)相應函數(shù)的定義列出等式或不等式，并結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求出參數(shù)的值，同時分清哪種條件下的函數(shù)是冪函數(shù)跟蹤練習1如果冪函數(shù)y(m23m3)的圖像不過原點，則m的取值是()A1m

21、2 Bm1 Cm2 Dm1或m2答案D解析由冪函數(shù)的定義，m23m31，所以m1或m2.又圖像不過原點，所以m2m20，解得1m2.綜上，m1或m2.2.命題方向：冪函數(shù)的圖像及其應用例2點(eq r(2)，2)在冪函數(shù)f(x)的圖像上，點eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(1,4)在冪函數(shù)g(x)的圖像上(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)問當x取何值時有：f(x)g(x)；f(x)g(x)；f(x)1或xg(x)；當x1或x1時，f(x)g(x)；當1x1且x0時，f(x)g(x)點評求冪函數(shù)解析式的步驟：(1)設(shè)出冪函數(shù)的一般形式y(tǒng)x(為常數(shù))；(2)根據(jù)已知條件求出

22、的值；(3)寫出冪函數(shù)的解析式跟蹤練習2已知冪函數(shù)f(x)xm22m3(mZ)的圖像與x軸、y軸均無公共點，且關(guān)于y軸對稱，試確定f(x)的解析式解析由eq blcrc (avs4alco1(m22m30，,m22m3,mZ，)是偶數(shù)，得m1或1或3.當m1或3時，解析式為f(x)x0(x0)；當m1時，解析式為f(x)x4.3.命題方向：冪函數(shù)性質(zhì)的應用例2比較下列各組值的大小：（1）和(2) 、和（3）和分析比較冪值的大小，一般可以借助冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有時也要借助中間值解析（1）-=由于冪函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，因此 ，即-（2）由于1,01，,0，因此.(3)由于指數(shù)函數(shù)在R上

23、是減函數(shù)，所以。又由于冪函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，故有.跟蹤練習3當0ab1時，下列不等式正確的是（ ）答案D解析由0ab1，可知ab,0a1，01b1a1，(1a)b(1b)b.（五）思想方法點撥冪函數(shù)性質(zhì)的理解1當0時，冪函數(shù)yx有下列性質(zhì)：圖像都過點(0,0)(1,1)；在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大；在第一象限內(nèi)，過(1,1)點后，圖像向右上方無限伸展2當0時，冪函數(shù)yx有下列性質(zhì)：圖像都通過點(1,1)；在第一象限內(nèi)，圖像向上與y軸無限地接近，向右與x軸無限地接近；在第一象限內(nèi)，過(1,1)點后，|越大，圖像下落的速度越快3(1)冪函數(shù)中既有奇函數(shù)，又有偶函數(shù)，也有非奇非偶函數(shù)(

24、2)作函數(shù)yx的圖像時，一般依據(jù)上述性質(zhì)作出第一象限的圖像，而后依據(jù)函數(shù)的奇偶性作出x0的圖像即可(3)冪函數(shù)的圖像無論取何實數(shù)，其必經(jīng)過第一象限，且一定不不經(jīng)過第四象限（六）課后強化作業(yè)一、選擇題1如圖所示函數(shù)圖像中，表示的是()答案D解析因為eq f(2,3)(0,1)，所以的圖像是拋物線型，且在第一象限圖像上凸，又函數(shù)是偶函數(shù)，故圖像應為D.2(2011某模擬)給出下列三個等式：f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)，下列函數(shù)中不滿足任何一個等式的是()Af(x)3x Bf(x)x Cf(x)log2x Df(x)kx(k0)答案B解析f(x)

25、3x滿足f(xy)f(x)f(y)；f(x)log2x滿足f(xy)f(x)f(y)；f(x)kx滿足f(xy)f(x)f(y)，而f(x)x不滿足任何一個等式3函數(shù)y(m2m1)xm22m3是冪函數(shù)且在x(0，)上為減函數(shù)，則實數(shù)m的值為()A1或2 B.eq f(1r(5),2) C2 D1答案C解析因為y(m2m1)xm22m3是冪函數(shù)且在(0，)上是減函數(shù)，所以eq blcrc (avs4alco1(m2m11，,m22m3cb Babc Ccab Dbca答案A解析該題考查冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對b和c，考查指數(shù)函數(shù)y(eq f(2,5)x，單調(diào)遞減故，即bc，acb，故選A.6若集合Ay，1x1，Beq blcrc(avs4alco1(y|yblc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x，x0)，則AB()A(，1) B1,1 C D1答案D解析在1x1時，有1y1；yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x，在x0時，有y1