21.3 實(shí)際問題與一元二次方程講義 學(xué)生版

1、21.3實(shí)際問題與一元二次方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)分析實(shí)際問題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程解決實(shí)際問題。2.經(jīng)歷分析和解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)一元二次方程的數(shù)學(xué)建模作用，進(jìn)一步提高在實(shí)際問題中運(yùn)用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力?！緦W(xué)習(xí)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：列一元二次方程解決實(shí)際問題。難點(diǎn)：找出題目中的等量關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)一列一元二次方程解決實(shí)際問題的一般步驟與列一元一次方解應(yīng)用題一樣，列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟為：1審：審清題意，明確那些死未知量，哪些是已知量，以及它們之間的關(guān)系；2設(shè)：根據(jù)題意，設(shè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)。設(shè)未知數(shù)有“直接設(shè)元”和“間接設(shè)元”兩種方法；3列：將相等關(guān)系中的各個(gè)量用含未知數(shù)的

2、代數(shù)式表達(dá)出來，再根據(jù)相關(guān)關(guān)系列出方程；4解：解方程，得出未知數(shù)的值；5驗(yàn)：檢驗(yàn)得出的方程的解是否符合題意，舍去不符合一題的解；6答：寫出正確的解【例題】某果園有100棵桃樹,一棵桃樹平均結(jié)1000個(gè)桃子,現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些桃樹以提高產(chǎn)量.試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),每多種一棵桃樹,每棵棵桃樹的產(chǎn)量就會(huì)減少2個(gè).如果要使產(chǎn)量增加15.2%,那么應(yīng)種多少棵桃樹?【變式】某商場銷售一批名牌襯衫,現(xiàn)在平均每天能售出20件,每件盈利40元.為了盡快減少庫存,商場決定采取降價(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):如果這種襯衫的售價(jià)每降低1元時(shí),平均每天能多售出2件.商場要想平均每天盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?知識(shí)點(diǎn)二列一元二次方程解決

3、平均增長率(1)增長率問題的有關(guān)公式：增長數(shù)=基數(shù)X增長率增長率=實(shí)計(jì)計(jì)劃劃x100%連續(xù)兩次增長，且增長率相等的問題:若原來為m,現(xiàn)在為n,增長率為X,滿足公式m(1+x)2二n(mn)【例題1】雅安地震牽動(dòng)著全國人民的心,某單位開展了“一方有難,八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng).第一天收到捐款10000元,第三天收到捐款12100元.(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；(2)按照(1)中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？【變式1】某城市2006年底已有綠化面積300公頃,經(jīng)過兩年綠化,綠化面積逐年增加,到2008年底增加到363公頃.設(shè)綠化面積平均每年的增長率

4、為x,由題意，所列方程正確的是()A.300(1+x)=363B.300(1+x)2=363C.300(1+2x)=363D.363(1x)2=300【變式2】某種植基地2016年蔬菜產(chǎn)量為80噸，預(yù)計(jì)2018年蔬菜產(chǎn)量達(dá)到100噸，求蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率，設(shè)蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x，則可列方程為()A.80(1+x)2=100B.100(1-x)2=80C.80(1+2x)=100D.80(l+x2)=100【變式3】某市去年9月招收區(qū)內(nèi)初中班學(xué)生50名，并計(jì)劃在明年9月招生結(jié)束后，使區(qū)內(nèi)初中班三年招生總?cè)藬?shù)達(dá)到450名.若該市區(qū)內(nèi)初中班招生人數(shù)平均每年比上年的增長率相同，求這個(gè)增長率.

5、知識(shí)點(diǎn)三列一元二次方程解決與幾何圖形有關(guān)的應(yīng)用題與幾何圖形有關(guān)的一元二次方程的應(yīng)用題主要是將數(shù)量及數(shù)量之間的關(guān)系隱藏在圖形中，用圖形表示出來，這樣的圖形主要有：三角形、四邊形、正（長）方形，以后還會(huì)有圓。涉及三角形的三邊關(guān)系、三角形全等、面積的計(jì)算、體積的計(jì)算、勾股定理?！纠}1】如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用25m），現(xiàn)在已備足可以砌50m長的墻的材料，試設(shè)計(jì)一種砌法，使矩形花園的面積為300m2.ABDC【變式1】如圖，有一張矩形紙片，長10cm，寬6cm，在它的四角各剪去一個(gè)同樣的小正方形，然后折疊成一個(gè)無蓋的長方體紙盒.

6、若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是32cm2，求剪去的小正方形的邊長.設(shè)剪去的小正方形邊長是xcm，根據(jù)題意可列方程為（）A.10X6-4X6x=32B.(10-2x)(6-2x)=32C.(10-x)(6-x)=32D.10X6-4x2=32【變式2】如圖，將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域進(jìn)行綠化，原空地一邊減少了2m，另一邊減少了3m，剩余一塊面積為20m2的矩形空地，則原正方形空地的邊長為7m.知識(shí)點(diǎn)四列一元二次方程解決與循環(huán)有關(guān)的問題單循環(huán)公式：x（x-1）=總次數(shù)2雙循環(huán)公式：x（x-1）=總次數(shù)注：雙循環(huán)常見題型：送禮物（禮尚往來）；球賽：每支球隊(duì)分別以主、客場身份和其他球隊(duì)交鋒兩次。

7、【例題】一次會(huì)議上，每兩個(gè)參加會(huì)議的人都握了一次手，有人統(tǒng)（總）計(jì)一共握了45次手，這次參加會(huì)議到會(huì)的人數(shù)是多少？【變式1】在一次酒會(huì)上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會(huì)的人數(shù)為()A.9人B.10人C.11人D.12人【變式2】祁中初三66班學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都要給其他同學(xué)寫一份畢業(yè)留言作為紀(jì)念，全班學(xué)生共寫了930份留言.如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為()A.=930B.=930C.x(x+1)=930D.x(x-1)=93022【變式3】一次籃球邀請(qǐng)賽，參賽的每個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場，計(jì)劃安排15場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)_6個(gè)隊(duì)參賽.【變式4】一種電腦病毒，起

8、初有一臺(tái)感染，經(jīng)過2輪感染后，將會(huì)有81臺(tái)電腦被感染。平均每臺(tái)電腦能感染多少臺(tái)電腦，第三輪感染后，會(huì)超過700臺(tái)嗎？知識(shí)點(diǎn)五列一元二次方程解決與傳播有關(guān)的問題可傳染人數(shù)共傳染人數(shù)第0輪1(傳染源)1第1輪xx+1第2輪x(x+1)1+x+x(x+1)列方程1+x+x(x+1)=(1x)2二總被傳染人數(shù)【例題】有一種傳染性疾病，蔓延速度極快據(jù)統(tǒng)汁，在人群密集的某城市里，通常情況下，每人一天能傳染給若干人，通過計(jì)算解答下面的問題：（1）現(xiàn)有一人患了這種疾病，開始兩天共有225人患上此病，求每天一人傳染了幾人?（2）兩天后，人們有所覺察，這樣平均一個(gè)人一天以少傳播5人的速度在遞減，求再過兩天共有多少

9、人患有此病?【變式1】有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感，那么每輪傳染中平均一個(gè)人傳染給多少個(gè)人？知識(shí)點(diǎn)六列一元二次方程解決與經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問題（1）利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；（2）售價(jià)=標(biāo)價(jià)X折扣;售價(jià)-進(jìn)價(jià)利潤率=x100%進(jìn)價(jià)總利潤=一件商品的利潤X銷售量銷售額=單價(jià)X銷售量【例題1】某百貨商場服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)“寶樂”牌童裝每天可售出20件，每件贏利40元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝每降價(jià)4元，那么平均每天可多售出8件.為擴(kuò)大銷售量，增加贏利，減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，問：要想平均每天在銷售這種童裝上贏利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？若該商場要在銷售這種童裝上平

10、均每天所獲得的利潤最多，這種童裝應(yīng)如何定價(jià)？【變式1】賓館有50間房供游客居住，當(dāng)毎間房毎天定價(jià)為180元時(shí)，賓館會(huì)住滿；當(dāng)毎間房毎天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)空閑一間房如果有游客居住，賓館需對(duì)居住的毎間房毎天支出20元的費(fèi)用當(dāng)房價(jià)定為多少元時(shí)，賓館當(dāng)天的利潤為10890元？設(shè)房價(jià)定為x元.則有()v爲(wèi)一RQA.(180+X-20)(50-)=10890B.(x-20)(50-)=108901010180 xC.X(50-)-50X20=10890D.(x+180)(50-)-50X20=10890【變式2】某商品經(jīng)過兩次降價(jià)，由每件100元降至81元，則平均每次降價(jià)的百分率為10%拓展點(diǎn)一隊(duì)

11、伍參賽的問題例題】參加足球聯(lián)賽的每兩隊(duì)之間都要進(jìn)行一場比賽，共要比賽28場，共有多少個(gè)隊(duì)參加足球聯(lián)賽？拓展點(diǎn)二數(shù)字問題【例題】兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積是323，求這兩個(gè)數(shù)【變式1】有一個(gè)兩位數(shù)，它的兩個(gè)數(shù)字之和是8，把這個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字交換位置后所得的數(shù)乘以原來的數(shù)就得到1855，求原來的兩位數(shù)。【變式2】有一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大3，而此兩位數(shù)比這兩個(gè)數(shù)字之積的二倍多5，求這個(gè)兩位數(shù)。變式3】三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，已知最大數(shù)與最小數(shù)的平方和比中間一個(gè)數(shù)的平方大332，求這三個(gè)連續(xù)偶數(shù).拓展點(diǎn)三增長率的問題例題1】某電冰箱廠每個(gè)月的產(chǎn)量都比上個(gè)月增長的百分?jǐn)?shù)相同已知該廠今年4月份的電冰箱產(chǎn)量為5萬臺(tái)，6

12、月份比5月份多生產(chǎn)了1.2萬臺(tái)1）求該廠今年產(chǎn)量的月平均增長率為多少？2）預(yù)計(jì)7月份的產(chǎn)量為多少萬臺(tái)？【變式1】某工廠三月份的利潤為16萬元，五月份的利潤為25萬元，則平均每月增長的百分率為25%【變式2】已知某工廠計(jì)劃經(jīng)過兩年的時(shí)間，把某種產(chǎn)品從現(xiàn)在的年產(chǎn)量100萬臺(tái)提高到121萬臺(tái)，那么每年平均增長的百分?jǐn)?shù)是10%.按此年平均增長率，預(yù)計(jì)第4年該工廠的年產(chǎn)量應(yīng)為146.41萬臺(tái).拓展點(diǎn)四商品銷售問題【例題】某商場銷售一批襯衫，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件；如果每件提價(jià)5元出售，其銷售量就減少100件.如果商場銷售這批襯衫要獲利潤12000元，又使顧客獲得更多的優(yōu)惠

13、，那么這種襯衫售價(jià)應(yīng)定為多少元？【變式】某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？拓展點(diǎn)五方案設(shè)計(jì)問題【例題】在一塊長16m,寬12m的矩形土地上，要建造一個(gè)花園，其余部分硬化，使花園所占面積為矩形土地面積的一半.你能給出設(shè)計(jì)方案嗎？小明的設(shè)計(jì)方案如圖1：你是怎樣想的？請(qǐng)看QQ群中的視頻2小明的設(shè)計(jì)也許根據(jù)小明的設(shè)計(jì)思路，應(yīng)求出四周硬化小路的寬度設(shè)四周小路的寬度為xm花園的長為：，寬為：列方禾解方

14、程得：x1=，x2=.當(dāng)x=時(shí)，花園的長，寬是當(dāng)x=_時(shí)，花園的長是，寬是由此發(fā)現(xiàn)四周小路的寬度只能等于m.小亮的設(shè)計(jì)方案如圖2：根據(jù)小明的設(shè)計(jì)思路，需要求出扇形的半徑.如果設(shè)扇形半徑為xm,則四個(gè)扇形面積和為花園的面積=的面積一的面積=這兩個(gè)根都符合題列出方程：；方程的兩個(gè)根是込=，X2=小穎的設(shè)計(jì)方案如圖3：設(shè)縱橫花園的寬度均為xm：如圖3,花園的面積用含有x的代數(shù)式表示為；如果將花園設(shè)計(jì)方案改成圖4所示，此時(shí)花園的面積可表示為如果再將花園設(shè)計(jì)方案改成圖5所示，此時(shí)花園的面積可表示為你能列出方程了吧！把你的解答過程寫在下面:i設(shè):列:解；驗(yàn)拓展點(diǎn)六動(dòng)點(diǎn)問題【例題】如圖，A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm,AD=8cm，動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/S的速度向B移動(dòng)，一直到達(dá)B為止；點(diǎn)Q以2cm/s的速度