圓周角定理及其推論

1、滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)(下)第24章 圓 24.3 圓周角 授課人 程先友圓周角在射門(mén)游戲中(如圖),球員射中球門(mén)的難易程度與他所處的位置B對(duì)球門(mén)AC的張角(ABC)有關(guān). 讀一讀駛向勝利的彼岸圓周角 頂點(diǎn)在圓上,它的兩邊分別 與圓還有另一個(gè)交點(diǎn),像這樣的角,叫做圓周角.OBACBACBACBACBACBACBAC探究如下圖，當(dāng)是ABC等邊三角形時(shí)，把它的外心O的各頂點(diǎn)連接，由 ABC=600，BOC=1200 BAC= BOC, BAC對(duì)著弧BC, BOC也對(duì)著弧BCAOBC oc探究如下圖，當(dāng)是ABC等邊三角形時(shí)，把它的外心O的各頂點(diǎn)連接，由 ABC=600，BOC=1200 BAC= BOC,

2、 BAC對(duì)著弧BC, BOC也對(duì)著弧BC類比圓心角探知圓周角在同圓或等圓中,相等的弧所對(duì)的圓心角相等.在同圓或等圓中,相等的弧所對(duì)的圓周角有什么關(guān)系？ 想一想駛向勝利的彼岸 為了解決這個(gè)問(wèn)題,我們先探究一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角之間有的關(guān)系.OOOABCABCABC圓周角和圓心角的關(guān)系如圖,觀察圓周角ABC與圓心角AOC,它們的大小有什么關(guān)系?說(shuō)說(shuō)你的想法,并與同伴交流. 議一議 駛向勝利的彼岸教師提示:注意圓心與圓周角的位置關(guān)系.OABCOABCOABC駛向勝利的彼岸圓周角和圓心角的關(guān)系1.首先考慮一種特殊情況：當(dāng)圓心(O)在圓周角(ABC)的一邊(BC)上時(shí),圓周角ABC與圓心角AOC的大

3、小關(guān)系. 議一議AOC是ABO的外角，AOC=B+A.OA=OB，OABCA=B.AOC=2B.即 ABC = AOC.你能寫(xiě)出這個(gè)命題嗎?一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.老師期望:你可要理解并掌握這個(gè)模型.駛向勝利的彼岸圓周角和圓心角的關(guān)系如果圓心不在圓周角的一邊上,結(jié)果會(huì)怎樣?2.當(dāng)圓心(O)在圓周角(ABC)的內(nèi)部時(shí),圓周角ABC與圓心角AOC的大小關(guān)系會(huì)怎樣? 議一議老師提示:能否轉(zhuǎn)化為1的情況?過(guò)點(diǎn)B作直徑BD.由1可得:O ABC = AOC.你能寫(xiě)出這個(gè)命題嗎?一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.ABCDABD = AOD,CBD = COD,駛向勝利的彼岸圓

4、周角和圓心角的關(guān)系如果圓心不在圓周角的一邊上,結(jié)果會(huì)怎樣?3.當(dāng)圓心(O)在圓周角(ABC)的外部時(shí),圓周角ABC與圓心角AOC的大小關(guān)系會(huì)怎樣? 議一議老師提示:能否也轉(zhuǎn)化為1的情況?過(guò)點(diǎn)B作直徑BD.由1可得:O ABC = AOC.你能寫(xiě)出這個(gè)命題嗎?一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.DABD = AOD,CBD = COD,ABC圓周角定理綜上所述,圓周角ABC與圓心角AOC的大小關(guān)系是:圓周角定理 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半. 議一議駛向勝利的彼岸老師提示:圓周角定理是承上啟下的知識(shí)點(diǎn),要予以重視.OABCOABCOABC即 ABC = AOC.圓周角由定理

5、可得推論1 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等（如右圖）C1ABC3C2 初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)探究活動(dòng)：有關(guān)圓周角的度數(shù) 1 探究半圓或直徑所對(duì)的圓周角等于多少度？的圓周角所對(duì)的弦是否是直徑？線段AB是O的直徑，點(diǎn)C是O上任意一點(diǎn)（除點(diǎn)A、B）， 那 么，ACB就是直徑AB所對(duì)的圓周角.想想看，ACB會(huì)是怎么樣的角？為什么呢？證明：因?yàn)镺AOBOC，所以AOC、BOC都是等腰三角形，所以O(shè)ACOCA，OBCOCB. 又OACOBCACB180，所以ACBOCAOCB90.因此，不管點(diǎn)C在O上何處（除點(diǎn)A、B），ACB總等于90，即:結(jié)論： 推論2 半圓或直徑所對(duì)的

6、圓周角都相等，都等于90（直角）。反過(guò)來(lái)也是成立的，即90的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑駛向勝利的彼岸思考與鞏固例1.如圖AB為圓O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P, ACD=600, ADC=700.求 APC的度數(shù) 例題講解ACDBPO分析：APC等于圓周角BAD,ADC之和解：連接BC則ACB=900,DCB=ACB -ACD =900-600 =300又因?yàn)锽AD=DCB =300所以APC=BAD+ADC=300+700=1000駛向勝利的彼岸拓展 化心動(dòng)為行動(dòng)1.如圖(1),在O中,BAC=50,求C的大小. 猜一猜2.如圖(2),在O中,B,D,E的大小有什么關(guān)系?為什么?3.如圖(3),AB是直徑,