2022年分式方程與反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.2.第十六章分式分式的定義：如果A 、B 表示兩個(gè)整式，并且B 中含有字母，那么式子A 叫做分式。B1)分式與整式最本質(zhì)的區(qū)別：分式的字母必須含有字母，即未知數(shù)；分子可含字母可不含字母。2)分式有意義的條件：分母不為零，即墳?zāi)怪械拇鷶?shù)式的值不能為零。3)分式的值為零的條件：分子為零且分母不為零分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于0 的整式，分式的值不變。用式子表示AAC其中 A、B、C 為整式 A A CBB（C C0）BBC注： （ 1）利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分時(shí)變形是恒等變形，不改變分式值的大小，只改變形式。（2）應(yīng)用基本性質(zhì)時(shí)，要注意C 0，以

2、及隱含的B 0。（3）注意“ 都” ，分子分母要同時(shí)乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分項(xiàng)，或避免出現(xiàn)分子、分母乘除的不是同一個(gè)整式的錯(cuò)誤。3.分式的通分和約分：關(guān)鍵先是分解因式1) 分式的約分定義：利用分式的基本性質(zhì)，約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值。2) 最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒(méi)有公因式的分式3) 分式的通分的定義：利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把幾個(gè)異分母的分式化成分母相同的分式。4)最簡(jiǎn)公分母：取“各個(gè)分母”的“所有因式”的最高次冪的積做公分母，它叫做最簡(jiǎn)公分母。4. 分式的符號(hào)法則分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)分

3、式的值不變。用式子表示為注：分子與分母變號(hào)時(shí)，是指整個(gè)分子或分母同時(shí)變號(hào)，而不是指改變分子或分母中的部分項(xiàng)的符號(hào)。5. 條件分式求值 1） 整體代換法：指在解決某些問(wèn)題時(shí)，把一些組合式子視作一個(gè)“ 整體” ，并把這個(gè)“ 整體” 直接代入另一個(gè)式子，從而可避免局部運(yùn)算的麻煩和困難。例：已知11，則求 4ba3abba2a2b7b2）參數(shù)法：當(dāng)出現(xiàn)連比式或連等式時(shí)，常用參數(shù)法。例：若ab c，則求3 43 a2 b5 c2abc6. 分式的運(yùn)算：1）分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。2）分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。a c

4、 ac a c a d ad3）分式乘方法則：4）分式乘方、乘除混合運(yùn)算：先算乘方，再算乘除，遇到括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的，不含括號(hào)的，按從 b d 分式乘方要把分子、分母分別乘方。bd ;b d b c bc( a)b n ab n n左到右的順序運(yùn)算5）分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质?，然后再加減1 / 4 abacb a ,bcadbcadbcccdbdbdbd7. 整數(shù)指數(shù)冪 . （1） 任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零次冪等于1， 即a 0(1a0 )；(b)n 次冪的倒數(shù)，即an12） 任何一個(gè)不等于零的數(shù)的-n 次冪（ n

5、為正整數(shù)），等于這個(gè)數(shù)的ann(a)na0 )ab注：分?jǐn)?shù)的負(fù)指數(shù)冪等于這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪。即3） 科學(xué)計(jì)數(shù)法：把一個(gè)數(shù)表示為 a 10 n(1 a 10,n 為整數(shù) )的形式，稱(chēng)為科學(xué)計(jì)數(shù)法。注：（ 1）絕對(duì)值大于 1 的數(shù)可以表示為 a 10 n的形式， n 為正整數(shù)；（2）絕對(duì)值小于 1 的數(shù)可以表示為 a 10-n 的形式， n 為正整數(shù) . （3）表示絕對(duì)值大于 10 的 n 位整數(shù)時(shí)，其中 10 的指數(shù)是 n 1（ 4）表示絕對(duì)值小于 1 的正小數(shù)時(shí) ,其中 10 的指數(shù)是第一個(gè)非 0 數(shù)字前面 0 的個(gè)數(shù) (包括小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè) 0) 4) 正整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)也可以推

6、廣到整數(shù)指數(shù)冪(m,n 是整數(shù) )m n m n（1）同底數(shù)的冪的乘法：a a a；m n mn（2）冪的乘方：( a ) a。n n n（3）積的乘方：( ab) a b；（4）同底數(shù)的冪的除法：a ma na m n(a 0) ；n（5）商的乘方：( a) n an () ；(b 0) b b8. 分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程分式方程。 1) 增根：分式方程的增根必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：（1）增根是最簡(jiǎn)公分母為 0；（ 2）增根是分式方程化成的整式方程的根。 2）分式方程的解法：(1) 能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)(2) 方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母，化為整式方程；(3) 解整式方程； (4) 驗(yàn)根

7、注：解分式方程時(shí)，方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母時(shí)，最簡(jiǎn)公分母有可能為，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗(yàn)根。分式方程檢驗(yàn)方法：將整式方程的解帶入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為 0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解。 3）烈分式方程解實(shí)際問(wèn)題（1）步驟：審題設(shè)未知數(shù)列方程解方程檢驗(yàn)寫(xiě)出答案，檢驗(yàn)時(shí)要注意從方程本身和實(shí)際問(wèn)題兩個(gè)方面進(jìn)行檢驗(yàn)。（2）應(yīng)用題基本類(lèi)型； a. 行程問(wèn)題：基本公式：路程 =速度 時(shí)間而行程問(wèn)題中又分相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題b. 數(shù)字問(wèn)題 在數(shù)字問(wèn)題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法c. 工程問(wèn)題 基本公式：工作量 =工時(shí) 工效d.順?biāo)嫠畣?wèn)題 v順?biāo)?v

8、 靜水+v 水 v 逆水=v 靜水-v 水第十七章 反比例函數(shù)2 / 4 1. 定義：形如yk （k 為常數(shù)， k 0）的函數(shù)稱(chēng)為反比例函數(shù)。其中 xx 是自變量， y 是函數(shù)，自變量x的取值是不等于0 的一切實(shí)數(shù)。說(shuō)明： 1）y 的取值范圍是一切非零的實(shí)數(shù)。 2）反比例函數(shù)的解讀式也可以寫(xiě)成xy=k ；ykx1；yk1（k 為常數(shù)， k 0）2. 用待定系x數(shù)法求反比例函數(shù)的解讀式由于反比例函數(shù)yk 只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要知道一組對(duì)應(yīng)值，就可以求出 xk 的值，從而確定其解讀式。3. 反比例函數(shù)的畫(huà)法： 1）列表； 2）描點(diǎn)； 3）連線(xiàn)注：（ 1）列表取值時(shí)，x 0，因?yàn)閤0 函數(shù)無(wú)意

9、義，為了使描出的點(diǎn)具有代表性，可以“y 值0” 為中心，向兩邊對(duì)稱(chēng)式取值，即正、負(fù)數(shù)各一半，且互為相反數(shù)，這樣也便于求（ 2）由于函數(shù)圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數(shù)值，多描一些點(diǎn)，這樣便于連線(xiàn)，使畫(huà)出的圖象更精確（ 3）連線(xiàn)時(shí)要用平滑的曲線(xiàn)按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫(huà)成折線(xiàn)軸（ 4）由于 x 0，k 0，所以 y 0，函數(shù)圖象永遠(yuǎn)不會(huì)與 x 軸、 y 軸相交，只是無(wú)限靠近兩坐標(biāo)4. 圖像：反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線(xiàn)。反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形。有兩條 對(duì)稱(chēng)軸：直線(xiàn) y=x 和 y= x；對(duì)稱(chēng)中心是：原點(diǎn)5.性質(zhì) :：反比例函數(shù)k0yk （k 為常數(shù)， k

10、0）xk0 k 的取值圖像性質(zhì)a)x 的取值范圍是x 0；y 的a)x 的取值范圍是x 0；y 的取值范圍是y 0。取值范圍是y 0。b)函數(shù)的圖像兩支分別位于第b)函數(shù)的圖像兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi) y 值隨x 值的增大而增內(nèi) y 值隨x 值的增大而減大。小。說(shuō)明： 1）反比例函數(shù)的增減性不連續(xù)，在討論函數(shù)增減問(wèn)題時(shí)，必須有“ 在每一個(gè)象限內(nèi)” 這一條 件。 2）反比例函數(shù)圖像的兩個(gè)分只可以無(wú)限地接近x 軸、 y 軸，但與 x 軸、 y 軸沒(méi)有交點(diǎn)。6. 反比例函數(shù)yk （k 0）中的比例系數(shù) xk 的幾何意義表示反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸所作的垂

11、線(xiàn)段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積。如圖，過(guò)雙曲線(xiàn)yk （ k 0）上的任意一點(diǎn) xP（x , y ）做 x 軸、 y 軸的垂線(xiàn) PA、PB，所得矩形3 / 4 OBPA 的面積 S=PAPB= xy = k 。k 2推出：過(guò)雙曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)做坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)，連接原點(diǎn)，所得三角形的面積為7. 經(jīng)典例題考察：1）反比例關(guān)系與反比例函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系：如果 xy=k （k 0），那么 x 與 y 這兩個(gè)量成反比例的關(guān)系，這里的 x、y 可以表示單獨(dú)的一個(gè)字母，也可以代表多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。例如 y 1 與 x+1 成反比例，則y 1 k；若 y 與 x 2成反比例，則 y k 2 成反比例關(guān)系，x 和 y

12、不一定是反比例函數(shù)；但反比例函 x 1 x數(shù) y k（k 0）必成反比例關(guān)系。x 2）坐標(biāo)系中的求不規(guī)則圖形的面積 3）反比例函數(shù)與一次函數(shù)、正比例函數(shù)的綜合題 8. 實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)的應(yīng)用 1）步驟：分析問(wèn)題，列解讀式建立反比例函數(shù)模型利用反比例函數(shù)解決相關(guān)問(wèn)題，建立反比例函數(shù) 模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。思路：題目中已明確兩變量的函數(shù)關(guān)系，常利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解讀式。題目中不能確定變量間的函數(shù)關(guān)系，找出等量關(guān)系，將變量聯(lián)系起來(lái)就能得到函數(shù)關(guān)系式，并解 決問(wèn)題。 2）反比例函數(shù)的應(yīng)用（1）反比例函數(shù)在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用。求實(shí)際問(wèn)題中的面積（2）反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用，a) b)物理學(xué)中，電壓一定時(shí)，電阻R 與電流強(qiáng)度I 成反比例函數(shù)，IUR當(dāng)在一個(gè)可以改變體積的容器中裝入一定質(zhì)量的氣體時(shí)，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時(shí)，氣體的密度也會(huì)隨之改變，密度（單位： kg/m3