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1、八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.2.第十六章分式分式的定義:如果A 、B 表示兩個(gè)整式,并且B 中含有字母,那么式子A 叫做分式。B1)分式與整式最本質(zhì)的區(qū)別:分式的字母必須含有字母,即未知數(shù);分子可含字母可不含字母。2)分式有意義的條件:分母不為零,即墳?zāi)怪械拇鷶?shù)式的值不能為零。3)分式的值為零的條件:分子為零且分母不為零分式的基本性質(zhì):分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于0 的整式,分式的值不變。用式子表示AAC其中 A、B、C 為整式 A A CBB(C C0)BBC注: ( 1)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分時(shí)變形是恒等變形,不改變分式值的大小,只改變形式。(2)應(yīng)用基本性質(zhì)時(shí),要注意C 0,以
2、及隱含的B 0。(3)注意“ 都” ,分子分母要同時(shí)乘以或除以,避免只乘或只除以分子或分母的部分項(xiàng),或避免出現(xiàn)分子、分母乘除的不是同一個(gè)整式的錯(cuò)誤。3.分式的通分和約分:關(guān)鍵先是分解因式1) 分式的約分定義:利用分式的基本性質(zhì),約去分式的分子與分母的公因式,不改變分式的值。2) 最簡(jiǎn)分式:分子與分母沒(méi)有公因式的分式3) 分式的通分的定義:利用分式的基本性質(zhì),使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?,不改變分式的值,把幾個(gè)異分母的分式化成分母相同的分式。4)最簡(jiǎn)公分母:取“各個(gè)分母”的“所有因式”的最高次冪的積做公分母,它叫做最簡(jiǎn)公分母。4. 分式的符號(hào)法則分式的分子、分母與分式本身的符號(hào),改變其中任何兩個(gè)分
3、式的值不變。用式子表示為注:分子與分母變號(hào)時(shí),是指整個(gè)分子或分母同時(shí)變號(hào),而不是指改變分子或分母中的部分項(xiàng)的符號(hào)。5. 條件分式求值 1) 整體代換法:指在解決某些問(wèn)題時(shí),把一些組合式子視作一個(gè)“ 整體” ,并把這個(gè)“ 整體” 直接代入另一個(gè)式子,從而可避免局部運(yùn)算的麻煩和困難。例:已知11,則求 4ba3abba2a2b7b2)參數(shù)法:當(dāng)出現(xiàn)連比式或連等式時(shí),常用參數(shù)法。例:若ab c,則求3 43 a2 b5 c2abc6. 分式的運(yùn)算:1)分式乘法法則:分式乘分式,用分子的積作為積的分子,分母的積作為分母。2)分式除法法則:分式除以分式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘。a c
4、 ac a c a d ad3)分式乘方法則:4)分式乘方、乘除混合運(yùn)算:先算乘方,再算乘除,遇到括號(hào),先算括號(hào)內(nèi)的,不含括號(hào)的,按從 b d 分式乘方要把分子、分母分別乘方。bd ;b d b c bc( a)b n ab n n左到右的順序運(yùn)算5)分式的加減法則:同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減。異分母的分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜阜质?,然后再加減1 / 4 abacb a ,bcadbcadbcccdbdbdbd7. 整數(shù)指數(shù)冪 . (1) 任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零次冪等于1, 即a 0(1a0 );(b)n 次冪的倒數(shù),即an12) 任何一個(gè)不等于零的數(shù)的-n 次冪( n
5、為正整數(shù)),等于這個(gè)數(shù)的ann(a)na0 )ab注:分?jǐn)?shù)的負(fù)指數(shù)冪等于這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪。即3) 科學(xué)計(jì)數(shù)法:把一個(gè)數(shù)表示為 a 10 n(1 a 10,n 為整數(shù) )的形式,稱(chēng)為科學(xué)計(jì)數(shù)法。注:( 1)絕對(duì)值大于 1 的數(shù)可以表示為 a 10 n的形式, n 為正整數(shù);(2)絕對(duì)值小于 1 的數(shù)可以表示為 a 10-n 的形式, n 為正整數(shù) . (3)表示絕對(duì)值大于 10 的 n 位整數(shù)時(shí),其中 10 的指數(shù)是 n 1( 4)表示絕對(duì)值小于 1 的正小數(shù)時(shí) ,其中 10 的指數(shù)是第一個(gè)非 0 數(shù)字前面 0 的個(gè)數(shù) (包括小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè) 0) 4) 正整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)也可以推
6、廣到整數(shù)指數(shù)冪(m,n 是整數(shù) )m n m n(1)同底數(shù)的冪的乘法:a a a;m n mn(2)冪的乘方:( a ) a。n n n(3)積的乘方:( ab) a b;(4)同底數(shù)的冪的除法:a ma na m n(a 0) ;n(5)商的乘方:( a) n an () ;(b 0) b b8. 分式方程:含分式,并且分母中含未知數(shù)的方程分式方程。 1) 增根:分式方程的增根必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件:(1)增根是最簡(jiǎn)公分母為 0;( 2)增根是分式方程化成的整式方程的根。 2)分式方程的解法:(1) 能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)(2) 方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母,化為整式方程;(3) 解整式方程; (4) 驗(yàn)根
7、注:解分式方程時(shí),方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母時(shí),最簡(jiǎn)公分母有可能為,這樣就產(chǎn)生了增根,因此分式方程一定要驗(yàn)根。分式方程檢驗(yàn)方法:將整式方程的解帶入最簡(jiǎn)公分母,如果最簡(jiǎn)公分母的值不為 0,則整式方程的解是原分式方程的解;否則,這個(gè)解不是原分式方程的解。 3)烈分式方程解實(shí)際問(wèn)題(1)步驟:審題設(shè)未知數(shù)列方程解方程檢驗(yàn)寫(xiě)出答案,檢驗(yàn)時(shí)要注意從方程本身和實(shí)際問(wèn)題兩個(gè)方面進(jìn)行檢驗(yàn)。(2)應(yīng)用題基本類(lèi)型; a. 行程問(wèn)題:基本公式:路程 =速度 時(shí)間而行程問(wèn)題中又分相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題b. 數(shù)字問(wèn)題 在數(shù)字問(wèn)題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法c. 工程問(wèn)題 基本公式:工作量 =工時(shí) 工效d.順?biāo)嫠畣?wèn)題 v順?biāo)?v
8、 靜水+v 水 v 逆水=v 靜水-v 水第十七章 反比例函數(shù)2 / 4 1. 定義:形如yk (k 為常數(shù), k 0)的函數(shù)稱(chēng)為反比例函數(shù)。其中 xx 是自變量, y 是函數(shù),自變量x的取值是不等于0 的一切實(shí)數(shù)。說(shuō)明: 1)y 的取值范圍是一切非零的實(shí)數(shù)。 2)反比例函數(shù)的解讀式也可以寫(xiě)成xy=k ;ykx1;yk1(k 為常數(shù), k 0)2. 用待定系x數(shù)法求反比例函數(shù)的解讀式由于反比例函數(shù)yk 只有一個(gè)待定系數(shù),因此只需要知道一組對(duì)應(yīng)值,就可以求出 xk 的值,從而確定其解讀式。3. 反比例函數(shù)的畫(huà)法: 1)列表; 2)描點(diǎn); 3)連線(xiàn)注:( 1)列表取值時(shí),x 0,因?yàn)閤0 函數(shù)無(wú)意
9、義,為了使描出的點(diǎn)具有代表性,可以“y 值0” 為中心,向兩邊對(duì)稱(chēng)式取值,即正、負(fù)數(shù)各一半,且互為相反數(shù),這樣也便于求( 2)由于函數(shù)圖象的特征還不清楚,所以要盡量多取一些數(shù)值,多描一些點(diǎn),這樣便于連線(xiàn),使畫(huà)出的圖象更精確( 3)連線(xiàn)時(shí)要用平滑的曲線(xiàn)按照自變量從小到大的順序連接,切忌畫(huà)成折線(xiàn)軸( 4)由于 x 0,k 0,所以 y 0,函數(shù)圖象永遠(yuǎn)不會(huì)與 x 軸、 y 軸相交,只是無(wú)限靠近兩坐標(biāo)4. 圖像:反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線(xiàn)。反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形。有兩條 對(duì)稱(chēng)軸:直線(xiàn) y=x 和 y= x;對(duì)稱(chēng)中心是:原點(diǎn)5.性質(zhì) ::反比例函數(shù)k0yk (k 為常數(shù), k
10、0)xk0 k 的取值圖像性質(zhì)a)x 的取值范圍是x 0;y 的a)x 的取值范圍是x 0;y 的取值范圍是y 0。取值范圍是y 0。b)函數(shù)的圖像兩支分別位于第b)函數(shù)的圖像兩支分別位于第二、第四象限,在每個(gè)象限一、第三象限,在每個(gè)象限內(nèi) y 值隨x 值的增大而增內(nèi) y 值隨x 值的增大而減大。小。說(shuō)明: 1)反比例函數(shù)的增減性不連續(xù),在討論函數(shù)增減問(wèn)題時(shí),必須有“ 在每一個(gè)象限內(nèi)” 這一條 件。 2)反比例函數(shù)圖像的兩個(gè)分只可以無(wú)限地接近x 軸、 y 軸,但與 x 軸、 y 軸沒(méi)有交點(diǎn)。6. 反比例函數(shù)yk (k 0)中的比例系數(shù) xk 的幾何意義表示反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸所作的垂
11、線(xiàn)段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積。如圖,過(guò)雙曲線(xiàn)yk ( k 0)上的任意一點(diǎn) xP(x , y )做 x 軸、 y 軸的垂線(xiàn) PA、PB,所得矩形3 / 4 OBPA 的面積 S=PAPB= xy = k 。k 2推出:過(guò)雙曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)做坐標(biāo)軸的垂線(xiàn),連接原點(diǎn),所得三角形的面積為7. 經(jīng)典例題考察:1)反比例關(guān)系與反比例函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系:如果 xy=k (k 0),那么 x 與 y 這兩個(gè)量成反比例的關(guān)系,這里的 x、y 可以表示單獨(dú)的一個(gè)字母,也可以代表多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。例如 y 1 與 x+1 成反比例,則y 1 k;若 y 與 x 2成反比例,則 y k 2 成反比例關(guān)系,x 和 y
12、不一定是反比例函數(shù);但反比例函 x 1 x數(shù) y k(k 0)必成反比例關(guān)系。x 2)坐標(biāo)系中的求不規(guī)則圖形的面積 3)反比例函數(shù)與一次函數(shù)、正比例函數(shù)的綜合題 8. 實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)的應(yīng)用 1)步驟:分析問(wèn)題,列解讀式建立反比例函數(shù)模型利用反比例函數(shù)解決相關(guān)問(wèn)題,建立反比例函數(shù) 模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。思路:題目中已明確兩變量的函數(shù)關(guān)系,常利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解讀式。題目中不能確定變量間的函數(shù)關(guān)系,找出等量關(guān)系,將變量聯(lián)系起來(lái)就能得到函數(shù)關(guān)系式,并解 決問(wèn)題。 2)反比例函數(shù)的應(yīng)用(1)反比例函數(shù)在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用。求實(shí)際問(wèn)題中的面積(2)反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用,a) b)物理學(xué)中,電壓一定時(shí),電阻R 與電流強(qiáng)度I 成反比例函數(shù),IUR當(dāng)在一個(gè)可以改變體積的容器中裝入一定質(zhì)量的氣體時(shí),當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時(shí),氣體的密度也會(huì)隨之改變,密度(單位: kg/m3
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