8822Suoranympyr_kartionpohjans_deon3jakorkeus4…

1、PAGE PITKMATEMATIIKKAKURSSI MA3GEOMETRIA Markku Mnnikk 2003Sisllysluettelo:1. Tasogeometria.11.1 Kulma11.2 Kolmion kulmien summa31.3 Monikulmio41.4 Suorakulmainen kolmio.61.5 Suorakulmaisen kolmion trigonometria71.6 Vinokulmaisen kolmion trigonometria.71.7 Ympyr.82. Yhtenevyys.102.1 Kolmioiden yhten

2、evyys.102.2 Todistaminen yhtenevill kolmioilla.112.3 Suunnikkaan ominaisuuksia.112.4 Janan keskinormaali.122.5 Kulman puolittaja122.6 Kehkulma ja keskuskulma.132.7 Ympyrn tangentti.143. Yhdenmuotoisuus.143.1 Yhdenmuotoisuus ja mittakaava.143.2 Kolmioiden yhdenmuotoisuuslause kk163.3 Kolmion kulman p

3、uolittajalause173.4 Yhdenmuotoisten kuvioiden alojen suhde.183.5 Keskijanalause184. Avaruusgeometria.194.1 Avaruuskuvioiden piirtminen, projektiot ja leikkaukset.194.2 Suoran ja tason, kahden tason vlinen kulma.194.3 Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde.195. Erilaisia avaruuskappaleita.205

4、.1 Srmi, lieri, pyramidi, kartio. Tilavuudet.205.2 Suora ympyrlieri ja suora ympyrkartio. Vaippojen alat.225.3 Snnllinen pyramidi.245.4 Snnllisi monitahokkaita245.5 Pallo. Tilavuus ja ala.24Vastaukset harjoitustehtviin.25Koetehtvi aiemmilta vuosilta27PAGE 53Pitk matematiikka. Kurssi 3. Geometria _MA

5、3. Geometria1. Tasogeometria1.1. Kulma1. Piste on geometrian perusolio. Kaikki geometrian kuviot voidaan ajatella koostuvan pisteist.Sill ei ole ulottuvuutta mihinkn suuntaan2. Suorasyntyy, kun piste liikkuu koko ajan samaan suuntaan3. Mik mritt suoran?Kaksi pistett, sill niiden kautta kulkee tsmlle

6、en yksi suora.Tai yksi piste ja suoran suunta.4. Taso.Syntyy, kun suora liikkuu koko ajan samaan suuntaan.5. Mik mritt tason?Kaksi erillist yhdensuuntaista suoraa tai yksi suora ja yksi piste suoran ulkopuolelta tai kolme pistett, jotka eivt ole samalla suoralla6. Janaon kahden pisteen vlinen osa ni

7、iden kautta kulkevasta suorasta.7. Janojen pituuksien vertailu keskennLaitetaan janat samalle suoralle ja niiden toiset ptepisteet pllekkin.Se jana on lyhempi, jonka toinen ptepiste on toisen janan alueella.1.1.1. Suoralla ovat pisteet A, B ja C tss jrjestyksess. Mit voi sanoa janojen AB ja AC pituu

8、ksista?8. Janojen pituuksien vertailu mitan avullaSelvitetn, montako samanpituista janaa, mittaa, sisltyy (voidaan laittaa perkkin) kumpaankin janaan.Pitempi on se jana, johon mahtui enemmn mittajanoja.9. Puolisuoraon yhden pisteen rajoittama osa suoraa, johon kuuluu piste ja suoran toinen puoli.10.

9、 Kulmamuodostuu kahden samasta pisteest lhtevn puolisuoran rajoittamasta tasonosasta.11. Kulman osien nimityksetPuolisuorat ovat kulman kylki. Yhteinen piste on kulman krkipiste. Tason osa on kulma-alue.12. Kulmien vertailu keskennLaitetaan kulmat siten, ett niiden krjet ja toiset (oikeat) kyljet yh

10、tyvt.Se kulma on pienempi, jonka toinen (vasen) kylki on toisen kulma-alueessa.2. Ympyrn keskipiste on K ja kehll ovat pisteet A, B ja C tss jrjestyksess mytpivn. Mik on kulmien AKB ja AKC jrjestys, kun ensin mainittu piste on a) vasemmalla b) oikealla kyljell?13. Kulmien suuruuksien vertailu mitan

11、avullaSelvitetn, montako samansuuruista kulmaa vierekkin laitettuna sisltyy kumpaankin kulma-alueeseen.Suurempi on se kulma, johon mahtui enemmn mittana olevia kulmia.14. Kulman yksikitTavallisin on 1 aste. Muita graadi, radiaani, piiru.15. Tysikulma, oikokulma, suorakulmaTysikulmassa kulman kyljet

12、ovat pllekkin ja kulma-aluetta on koko taso. Kulman suuruus = 360.Oikokulmassa kulman kyljet ovat samalla suoralla ja kulma-aluetta on puoli taso. Kulman suuruus = 180.Suorakulmassa kulman kyljet ovat kohtisuorassa, kulma-alueeseen j neljnnestaso. Suuruus = 90.16. Terv, tylpp, kovera, kupera kulmaTe

13、rvn kulman asteluku 90. Tylpss kulmassa on 90 asteluku 180.Koveran kulman asteluku 180 . Kuperassa kulmassa on 180 asteluku 180.10. Kuperan ja koveran monikulmion ominaisuus.Kun kuperan monikulmion sislt valitaan mitk tahansa kaksi pistett, niin niden pisteiden vlinen jana on kokonaan monikulmion si

14、sll. Koverassa monikulmiossa lytyy janoja, jotka eivt ole kokonaan sisll.11. Tasasivuinen kolmioon silloin, kun kaikki sivut ovat yht pitkt.12. Tasasivuisen kolmion kulmatovat mys kaikki yht suuret eli asteluvultaan 6013. Tasakylkinen kolmioon silloin, kun siin on kaksi yht pitk sivua eli kylke. Kol

15、mas sivu on kantasivu.14. Tasakylkisen kolmion kulmista.Kylkien vastaiset kulmat eli kantakulmat ovat yht suuret. Kannan vastainen kulma on huippukulma.15. Terv- suora- tai tylppkulmainen kolmioKolmio on tervkulmainen, jos sen kaikki kulmat ovat tervi (90).Kolmio on suorakulmainen, jos siin yksi kul

16、ma on suora ja tylppkulmainen, jos yksi kulma on tylpp.16. Korkeusjana ja keskijanaKolmion korkeusjana on krjen ja vastaiselle sivulle piirretyn normaalin kantapisteen vlinen jana.Kolmion keskijana eli mediaani on kolmion krjen ja vastaisen sivun keskipisteen vlinen jana.17. Suunnikason nelikulmio,

17、jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset.18. Puolisuunnikason nelikulmio, jonka toiset vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja toiset vastakkaiset sivut erisuuntaiset.19. Neljkseli vinoneli on nelikulmio, jonka kaikki sivut ovat yht pitkt.20. Suorakulmioon nelikulmio, jonka kaikki kulmat ova

18、t suoria.21. Nelion nelikulmio, jonka kaikki sivut ovat yht pitkt ja kaikki kulmat yht suuret (=90)22. Piirin laskeminenPiiri saadaan laskemalla yhteen kaikkien monikulmion sivujen pituudet.1.3.1. Nelikulmion ABCD kulmat B ja C ovat 90 sek sivut AB = 6, BC = 8 ja CD = 12. Laske piiri. 23. Monikulmio

19、n alan mittaus kytten valittua pinta-alayksikkLasketaan montako yksikn suuruista alaa mahtuu alueeseen.2. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 40 ja 60. Pinta-alan mittana kytetn suorakulmaista kolmiota, jonka kateetit ovat 2 ja 3. Montako tllaista mittaa sisltyy isoon suorakulmaiseen kolmioon? 24.

20、Metrijrjestemn pinta-alayksikt1 mm2, 1 cm2, 1 dm2, 1 m2, 1 a, 1 ha, 1 km2.25. Metrijrjestelmn pinta-alayksikkjen muuttaminen toiseksiYhteen yksikkn kuuluu aina kaksi numeroa.Kun yksikk halutaan yht suuremmaksi yksikksi, siirretn desimaalipilkkua 2 numeroa vasemmalle.Kun yksikk halutaan yht pienemmks

21、i yksikksi, siirretn desimaalipilkkua 2 numeroa oikealle.3. Muunna m2:ksi a) 25,6 a b) 3,45 ha c) 8,4 km2 d) 8,9 dm2 e) 24,7 cm2 f) 9,8 mm2 .4. Muunna cm2:ksi a) 0,025 m2 b) 6,8 dm2 c) 0,35 mm2 .26. Menetelm pinta-alan saamiseksi halutulla tarkkuudellaPeitetn alue neliruudukolla, joka ala on tunnett

22、u, esim. 1 m2.Lasketaan monta tytt ruutua alueeseen kuuluu.Arvioidaan montako ruutua voidaan muodostaa vajaista ruuduista.Pinta-ala on niden summan verran neliruudun yksikit.27. Suorakulmion alaA = ah, miss a on kannan pituus ja h on korkeus.5. Suorakulmion sivut ovat 1,5 dm ja 8 cm. Mik on ala?6. S

23、uorakulmion ala on 57 cm2 ja kanta 123 mm. Mik on korkeus? 28. Nelin pinta-alaA = a2 , miss a on nelin sivun pituus.7. Mik on nelin pinta-ala, kun sen sivu on 4,6 cm?8. Mik on nelin sivu, kun sen pinta-ala on 200 dm2?29. Suunnikkaan pinta-alaA = ah, miss a on kanta ja h on korkeus.9. Suunnikkaan siv

24、ut ovat 3,4 dm ja 28 cm sek niiden vlinen kulma 38. Laske korkeudet ja ala.10. Suunnikkaan muotoisen alueen ala on 2,45 a. Kuinka etll ovat 18,3 m pituiset sivut toisistaan?30. Puolisuunnikkaan pinta-alaA = (a + b) h , miss a ja b ovat kantasivut (yhdensuuntaiset sivut) ja h on korkeus.11. Laske puo

25、lisuunnikkaan ala, kun kantasivut ovat 85 cm ja 4,6 dm sek korkeus 0,25 m.12. Mik on puolisuunnikkaan toinen kantasivu, kun toinen on 45 cm, korkeus 32 cm ja ala 12 dm2?31. Kolmion pinta-alaA = ah, miss a on kanta ja h on korkeus.13. Laske kolmion ala, kun kanta on 24 cm, kantakulma 50 ja tmn vierei

26、nen kylki 18 cm.14. Mik on kolmion kanta, kun korkeus on 16 cm ja ala 2,4 dm2?32. Kolmion pinta-ala, kun tunnetaan kolmion sivut. (Heronin kaava)A = EQ R(;p(p - a)(p - b)(p - c) , miss p = (a + b + c)15. Laske kolmion ala, kun sivut ovat a) 3, 4 ja 5 b) 5, 5 ja 6 c) 3, 6 ja 733. Koordinaatistossa ta

27、i geolaudalla olevan kolmion alan laskeminenYmpridn kolmio suorakulmiolla ylimmn ja alimman pisteen kautta kulkevilla vaakasuorilla suorilla sek oikean ja vasemmanpuoleisimman pisteen kautta kulkevilla pystysuorilla suorilla.Kolmion ala on koko suorakulmion ala vhennettyn reunakolmioiden pinta-alall

28、a. 16. Mik on kolmion A(1,3) B(5,8) C(2,-1) pinta-ala?34. Monikulmion alan laskeminenEsimerkiksi jaetaan monikulmio kolmioihin ja lasketaan kolmioiden alat yhteen.17. Mik on nelikulmion A(-1,-2) B(5,4) C(4,6) D(1,7) pinta-ala?35. Snnllisten monikulmioiden alatSnnllisten 3-, 4-, 5-, 6-, 8-, 10- ja n-

29、monikulmion ala, sisn ja ympripiirrettyjen ympyriden steet saa taulukkokirjasta. 1.4. Suorakulmainen kolmio1. Pythagoraan lauseSuorakulmaisessa kolmiossa kateetti2 + kateetti2 = hypotenuusa2 eli a2 + b2 = c2.1.4.1. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 6 ja 8. Laske hypotenuusa.2. Suorakulmaisen kolm

30、ion pisimmt sivut ovat 13 ja 12. Laske lyhin sivu.3. Ympyrss (r = 6 cm) on 5,2 cm pituinen jnne. Mik on keskipisteen etisyys jnteest?4. Nelikulmion kolme sivua ovat 3, 4 ja 5 sek molemmat niden vliset kulmat 90. Laske a) neljs sivu b) muut kulmat c) ala.5. Nelin krjist leikataan pois kolmion muotois

31、et palat niin, ett syntyy snnllinen 8-kulmio. Mik on 8-kulmion sivu, jos nelin sivu on a?6. Kolmion sivut ovat 10, 17 ja 21. Suurimmalle sivulle piirretn korkeusjana. Laske niiden osien pituudet, joihin korkeusjanan kantapiste jakaa pisimmn sivun.7. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat a ja b sek h

32、korkeusjana hypotenuusalle. Osoita: a-2 + b-2 = h-2.2. Tasakylkinen suorakulmainen kolmiosivujen suhteet ovat 1 : 1 : EQ R(;2)8. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat yht pitkt. Mik on hypotenuusa, kun kateetti on a) 3 b) a? Mik on kateetti, kun hypotenuusa on c) 4 d) 2r?9. Nelin lvistj on 8 cm. Mik

33、on nelin sivu?3. Koululaisen kolmioon kolmio, jonka kulmat ovat 30, 60 ja 90.Kolmion sivujen suhteet ovat 1 : EQ R(;3) : 2.10. Koululaisen kolmion lyhyempi kateetti on a) 10 b) 5 c) a. Laske muut sivut.11. Koululaisen kolmion pitempi kateetti on a) 12 b) 3 c) a. Laske muut sivut.12. Koululaisen kolm

34、ion hypotenuusa on a) 14 b) 5 c) a. Laske muut sivut.13. Suorakulmaisen kolmion kulma on 60. Sen puolittajasta j kolmion sisn osa, jonka pituus on 4. Laske kolmion sivut.14. Tasakylkisen puolisuunnikkaan sivut ovat 2a, a, a ja a. Laske puolisuunnikkaan ala.15. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 4

35、 ja toinen kateetti 2. Laske kolmion pienin korkeus.1.5. Suorakulmaisen kolmion trigonometria1. Trigonometriset funktiot sin, cos ja tan suorakulmaisessa kolmiossaKulman sini = EQ F(kulman vastainen kateetti;hypotenuusa) , sin = EQ F(a;c)Kulman kosini = EQ F(kulman viereinen katetti;hypotenuusa) , c

36、os = EQ F(b;c)Kulman tangentti = EQ F(kulman vastainen kateetti;kulman viereinen kateetti) , tan = EQ F(a;b)1.5.1. Suorakulmaisen kolmion ABC sivut AB = 5, AC = 4 ja BC = 3 sek kulma C on suora. Mit on a) sin b) cos c) tan d) sin e) cos f) tan .2. Trigonometristen funktioiden arvot laskimesta.Laita

37、laskimeen aste-moodi. CANON: EQ X(DRG) TI-85: EQ X(2nd) EQ X(MODE) EQ X(Degree) EQ X(ENTER)CANON: EQ X(kulma) EQ X(sin)TI-85: EQ X(sin) EQ X(kulma) EQ X(ENTER)2. Laske a) sin 38 b) cos 84 c) tan 43 d) 2sin 56 - 3cos 62 e) EQ F(7,3sin 58;sin 29)3. Kulman arvo laskimella, kun trigonometrisen funktion

38、arvo tunnetaan.CANON: EQ X(arvo) EQ X(INV) EQ X(sin)TI-85: EQ X(2nd) EQ X(sin) EQ X(arvo) EQ X(ENTER)3. Mrit terv kulma, kun a) sin = 0,823 b) cos = 0,297 c) tan = 2,76.4. Suorakulmaisen kolmion sivujen ja kulmien ratkaiseminen trigonometrian avullaPiirr kolmio ja merkitse siihen annettujen osien su

39、uruudet ja kysytty osaa vaikka x:ll.Mieti, millaisia sivuja nm sivut ovat merkitylle kulmalle (vastainen, viereinen kateetti, hypotenuusa)Mieti mik trigonometrinen funktio nist muodostuu ja tee sit vastaava yhtl.Ratkaise tm yhtl.4. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 8,5 ja toinen terv kulma 58. M

40、rit muut sivut.5. Suorakulmaisen kolmion terv kulma on 56 ja sen yksi sivu 6. Laske kolmion muut sivut, kun annettu sivu on a) pienin b) keskimminen c) suurin kolmion sivuista.6. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 28 ja 18. Laske kolmion tervt kulmat.7. Tasakylkisen kolmion kanta 6 ja kylki 10. La

41、ske huippukulma.8. Tasakylkisen kolmion huippukulma on 108 ja kanta 48. Laske kylki.9. Suorakulmion sivut ovat 13 ja 18. Laske lvistjien vlinen kulma.10. Ympyrn sde on 6,4 cm. Mik on 8,0 cm jnnett vastaava keskuskulma?11. Lipputangon korkeus on 8,0 m ja sen varjo 11,5 m. Mik on auringon korkeuskulma

42、?12. Torni nkyy erst kohdasta 15 korkeuskulmasta ja 200 m lhemp 25 korkeuskulmassa. Laske tornin korkeus, kun maasto tll alueella on vaakasuora.1.6. Vinokulmaisen kolmion trigonometria1. Sinilause EQ F(a;b) = EQ F(sin a;sin b) 2. Sinilause ja kolmion ympripiirretyn ympyrn sde EQ F(a;sin a) = EQ F(b;

43、sin b) = EQ F(c;sin g) = 2r, miss R on kolmion ympri piirretyn ympyrn sde1.6.1 Kolmion sivu on 8 cm ja vastainen kulma 60. Mik on kolmion ympri piirretyn ympyrn sde?2. Tiedetn, ett EQ F(a;x) = EQ F(b;y) = EQ F(c;z) = k. Todista, ett tllin EQ F(a + b + c;x + y + z) = k3. Laske kolmion sivut, kun sen

44、piiri on 47 cm sek kaksi kulmaa ovat 43 ja 59. (vihje: ed. tehtv)3. Millaisessa tilanteessa sinilausetta voi kyttKun kolmiosta tunnetaan kolme osaa sivuista ja kulmista ja niiss on yksi ”sivu ja sen vastainen kulma” pari4. Sinilauseen kytt vinokulmaiseen kolmion ratkaisemisessaPiirretn kolmio, tehdn

45、 yhtl sinilauseesta ja ratkaistaan haluttu sivu tai kulma4. Kolmion kaksi kulmaa ovat 48 ja 61 sek edellisen vastainen sivu 7,5 cm. Ratkaise kolmion osat.5. Kolmion kaksi sivua ovat 8 ja 13 sek edellisen vastainen kulma a) 40 b) 30. Laske kolmion kulmat.6. Kolmion yksi sivu on 28,3 cm ja sen viereis

46、et kulmat 49,5 ja 71,6. Laske kolmion muut osat.7. Kolmion kaksi kulmaa ovat 35 ja 47 sek pienin sivu 5,1 cm. Laske kolmion pisin sivu.8. Snnllisess 7-kulmiossa on kahden pituisia lvistji. Laske pitempi, kun lyhempi on 8,3 cm.9. Jrven eri puolilla olevien kohteiden P ja Q etisyyden selvittmiseksi mi

47、tattiin matka PR = 235 m se kulmat QPR = 106,4 ja QRP = 67,8. Laske etisyys PQ.10. Laiva kulkee suoraan vauhdilla 22,5 km/h. Ern hetken majakka nkyy kulkusuunnasta 42,8 etuoikealla. Tasan 20 minuuttia myhemmin kulma on 63,2. Mik on tllin laivan etisyys majakasta?11. Linkkimaston korkeuden selvittmis

48、eksi mitattiin pisteist A ja B maston korkeuskulmiksi 13,1 ja 17,2. A ja B ovat samalla vaakatasolla ja maston kanssa samalla pystytasolla sek niiden vlinen etisyys on 200 m. Laske maston korkeus. 5. Kolmion pinta-ala kahdesta sivusta ja niiden vlisest kulmastaA = b c sin , eli puolet kolmion kahden

49、 sivun ja niiden vlisen kulman sinin tulosta.12. Kolmion kulma on 118 sek viereiset sivut 36,9 cm ja 25,3 cm. Laske kolmion ala.13. Kolmion kaksi sivua ovat 6 ja 8 sek ala 12. Laske niden sivujen vlinen kulma.14. Suunnikkaan kaksi sivua ovat 4 ja 5. Laske suunnikkaan ala, kun yksi kulma on 67.15. Ym

50、pyrn sde on 1. Laske sisn piirretyn snnllisen 1000-kulmion ala. Vertaa ympyrn alaan = .6. Kosinilausec2 = a2 + b2 - 2 a b cos , HUOM ! Kulma on sivujen a ja b vlinen kulma sivun c vastainen kulma. 7. Millaisessa tilanteessa kosinilausetta voi kyttA. kun tunnetaan kaksi sivua ja vlinen kulma, jolloin

51、 saadaan kolmas sivu.B. kun tunnetaan kolme sivua, jolloin voidaan laskea jokin kulma (suurin jos useampia mahdollisuuksia)8. Kosinilauseen kytt vinokulmaisen kolmion ratkaisemisessaPiirretn kolmio, tehdn yhtl kosinilauseesta ja ratkaistaan haluttu sivu tai kulma.16. Kolmion kaksi sivua ovat 7 ja 2

52、sek niden vlinen kulma 67,2. Laske kolmas sivu ja muut kulmat.17. Kolmion sivut ovat 3,5 ja 6. Laske kolmion pienin kulma.18. Tasakylkisen kolmion huippukulma on 40 ja kylki 2. Laske kyljelle piirretyn keskijanan pituus.19. Kolmion sivut ovat 5, 6 ja 7. Laske suurimman kulman puolittajan pituus.20.

53、Suunnikkaan sivut ovat 4 ja 5. Laske toinen lvistj, kun toinen lvistj on 6.21. Kiekonheiton tulos mitataan optisesti heittosektorin ulkopuolella olevasta pisteest A. Siihen asennettu laite mittaa putoamispaikan C etisyyden AC = 54,51 m ja kulman CAB = 97,2, miss B on heittoympyrn keskipiste. Laske h

54、eiton pituus, kun AB = 35,53 m ja heittoympyrn halkaisija 2,50 m.22. Kolmion sivut ovat 5, 6 ja 7. Laske keskimmiselle sivulle tulevan keskijanan pituuden tarkka arvo.23. Kolmion sivut ovat 2, 3 ja 4. Laske kolmion alan tarkka arvo.9. Heronin kaava kolmion alan laskemiseksiA = EQ R(;p(p - a)(p - b)(

55、p - c) , miss p on kolmion piirin puolikas eli p = (a + b + c)24. Kolmion sivut ovat 6, 8 ja 10. Laske kolmion ala. Tarkista toisella tavalla.25. Kolmion sivut ovat 2, 3 ja 4. Laske kolmion ala. Vrt. tehtv 1.6.23.1.7. Ympyr1. Ympyrviivan pisteiden ehtojokainen piste on yht kaukana eli steen etisyyde

56、ll ympyrn keskipisteest.2. Uraon viiva, 1 jonka jokainen piste toteuttaa uraehdon ja 2 jokainen piste, joka toteuttaa uraehdon on viivalla.3. Keh ja ympyralueKeh = ympyrviiva. Ympyralue on keh ja sen sispuolinen tasoalue.4. Sde, halkaisija ja jnneSde on kehn pisteen ja keskipisteen vlinen jana. Jnne

57、 on kahden kehn pisteen vlinen jana. Halkaisija on jnne, joka kulkee keskipisteen kautta ( on pisin ympyrn jnteist, on pituudeltaan 2 kertaa sde )5. Kaari, sektori, segmenttiKaari on kahden kehll olevan pisteen vlinen osa ympyrn keh.Sektori on tasoalue, jota rajoittaa kaari ja kaaren ptepisteisiin p

58、iirretyt ympyrn steet.Segmentti on tasoalue, jota rajoittavat kaari ja kaaren ptepisteiden vlinen jnne.6. Kaarta vastaava keskuskulmaon kaaren ptepisteisiin piirrettyjen steiden vlisist kulmista se, jonka kylkien vliss kaari on.7. Tangentti ja sekanttiTangentti ( eli sivuaja ) on suora, jolla on tsm

59、lleen yksi yhteinen piste ympyrn kanssa.Sekantti (eli leikkaaja ) on suora, jolla on kaksi yhteist pistett ympyrn kanssa8. Tangentti ja sivuamispisteess oleva sdeTangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirretty sdett vastaan. Tangentti voitaisiin mritell suorana, joka kulkee steen ptepisteen

60、kautta ja kohtisuorassa tt sdett vastaan. 9. Kaksi ympyr sivuaa toisiaanKun niill on tsmlleen yksi yhteinen piste. Thn pisteeseen piirretty tangentti on yhteinen kummallekin ympyrlle. Sivuamispiste ja ympyriden leikkauspisteet ovat samalla suoralla.10. Ympyriden sis- ja ulkopuolisesti toisiaan sivua