3.1.4概率的加法公式 (4)

1、3.1.4 概率的加法公式 一、互斥事件、事件的并、對立事件 1互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件（或稱為互不相容事件）;2事件的并：由事件A和B至少有一個發(fā)生（即A發(fā)生，或B發(fā)生，或A、B都發(fā)生）所構(gòu)成的事件C，稱為事件A與B的并（或和）。記作C=AB（或C=A+B）。 事件AB是由事件A或B所包含的基本事件所組成的集合。3對立事件：不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件叫做互為對立事件。事件A的對立事件記作.例1. 拋擲一顆骰子，觀察擲出的點數(shù). 設(shè)事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點”，B為“出現(xiàn)2點”. 已知P(A)= ，P(B)= ，求“出現(xiàn)奇數(shù)點或2點”的概率。這里的事件A和事件B不可能

2、同時發(fā)生，這種不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件 設(shè)事件C為“出現(xiàn)奇數(shù)點”或2點”，它也是一個隨機事件。 事件C與事件A、B的關(guān)系是：若事件A和事件B中至少有一個發(fā)生，則C發(fā)生；若C發(fā)生，則A，B中至少有一個發(fā)生，我們稱事件C為A與B的并(或和) 設(shè)事件C為“出現(xiàn)奇數(shù)點”或2點”，它也是一個隨機事件。 事件C與事件A、B的關(guān)系是：若事件A和事件B中至少有一個發(fā)生，則C發(fā)生；若C發(fā)生，則A，B中至少有一個發(fā)生，我們稱事件C為A與B的并(或和)如圖中陰影部分所表示的就是AB.例2.判斷下列各對事件是否是互斥事件，并說明理由。 某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，其中（1）

3、恰有1名男生和恰有2名男生；（2）至少有1名男生和至少有1名女生；（3）至少有1名男生和全是男生；（4）至少有1名男生和全是女生。解：（1）是互斥事件； （2）不可能是互斥事件； （3）不可能是互斥事件； （4）是互斥事件；例3.判斷下列給出的每對事件，（1）是否為互斥事件，（2）是否為對立事件，并說明理由。 從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花，點數(shù)從110各4張）中，任取1張：（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”。解：（1）是互斥事件，不是對立事件；（2）既是互斥事件，又是對立事件；（3）不是互斥

4、事件，當(dāng)然不可能是對立事件； 所以對立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是對立事件。 假定事件A與B互斥，則P(AB)=P(A)+P(B)。 二、互斥事件的概率加法公式 證明：假定A、B為互斥事件，在n次試驗中，事件A出現(xiàn)的頻數(shù)為n1，事件B出現(xiàn)的頻數(shù)為n2，則事件AB出現(xiàn)的頻數(shù)正好是n1+n2，所以事件AB的頻率為 如果用n(A)表示在n次試驗中事件A出現(xiàn)的頻率，則有n(AB)=n(A)+n(B). 由概率的統(tǒng)計定義可知，P(AB)=P(A)+P(B)。一般地，如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么P(A1A2An)=P(A1)+P(A2) +P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于概率的和

5、. 在求某些較為復(fù)雜事件的概率時，先將它分解為一些較為簡單的、并且概率已知（或較容易求出）的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率. 因此互斥事件的概率加法公式具有“化整為零、化難為易”的功效，但需要注意的是使用該公式時必須檢驗是否滿足它的前提條件“彼此互斥”.例1中事件C：“出現(xiàn)奇數(shù)點或2點”的概率是事件A：“出現(xiàn)奇數(shù)點”的概率與事件B：“出現(xiàn)2點”的概率之和，即P(C)=P(A)+P(B)=例4. 在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績在90分以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51,在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09，計算小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成績的概

6、率和小明考試及格的概率.解： 分別記小明的成績在90分以上，在8089分，在7079分，在6069分為事件B，C，D，E，這四個事件是彼此互斥的. 根據(jù)概率的加法公式，小明的考試成績在80分以上的概率是P(BC)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.小明考試及格的概率為 P(BCDE)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.對立事件的概率 若事件A的對立事件為A，則P(A)=1P(A).證明：事件A與A是互斥事件，所以P(AA)=P(A)+P(A)，又AA=， 而由必然事件得到P()=1, 故P(A)=1P(A).在上面的

7、例題中，若令A(yù)=“小明考試及格”,則A=“小明考試不及格”如果求小明考試不及格的概率，則由公式得P(A)=1P(A)=10.93=0.07.即小明考試不及格的概率是0.07.例5. 某戰(zhàn)士射擊一次，問：（1）若事件A=“中靶”的概率為0.95，則A的概率為多少？（2）若事件B=“中靶環(huán)數(shù)大于5”的概率為0.7 ，那么事件C=“中靶環(huán)數(shù)小于6”的概率為多少？（3）事件D=“中靶環(huán)數(shù)大于0且小于6”的概率是多少？ 解：因為A與A互為對立事件，（1）P(A)=1P(A)=0.05； （2）事件B與事件C也是互為對立事件，所以P(C)=1P(B)=0.3；（3）事件D的概率應(yīng)等于中靶環(huán)數(shù)小于6的概率減

8、去未中靶的概率，即P(D)=P(C)P(A)=0.30.05=0.25例6.盒內(nèi)裝有各色球12只，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中取1球，設(shè)事件A為“取出1只紅球”，事件B為“取出1只黑球”，事件C為“取出1只白球”，事件D為“取出1只綠球”.已知P(A)= ，P(B)= , P(C)= ，P(D)= ，求：（1）“取出1球為紅或黑”的概率；（2）“取出1球為紅或黑或白”的概率.解：（1）“取出紅球或黑球”的概率為P(AB)=P(A)+P(B)= ；（2）“取出紅或黑或白球”的概率為P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)= 。又（2）ABC的對立事件為D，所以P(ABC)=1P(D)= 即

9、為所求.例7. 某公務(wù)員去開會，他乘火車、輪船、汽車、飛機去的概率分別為0.3、0.2、0.1、0.4，（1）求他乘火車或乘飛機去的概率；（2）求他不乘輪船去的概率；（3）如果他乘某種交通工具去開會的概率為0.5，請問他有可能是乘何種交通工具去的？ 解：記“他乘火車去”為事件A，“他乘輪船去”為事件B，“他乘汽車去”為事件C，“他乘飛機去”為事件D，這四個事件不可能同時發(fā)生，故它們彼此互斥， （1）故P(AC)=0.4； （2）設(shè)他不乘輪船去的概率為P，則P=1P(B)=0.8； （3）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有可能乘火車或乘輪船去，也有可能乘汽車或乘飛機去。1 2 3

10、 4 51.從裝有2個紅球和2個白球的布袋內(nèi)任取2個球,則下列是互斥事件的是()A.至少有1個白球和都是白球B.至少有1個白球和至少有1個紅球C.恰有1個白球和恰有1個紅球D.至少有1個白球和都是紅球解析：A,B,C中兩個事件都有可能同時發(fā)生,而D中兩個事件不可能同時發(fā)生.答案：D課堂檢測1 2 3 4 52.如果同時擲3枚硬幣,那么互為對立事件的是()A.至少有1枚正面向上和最多有1枚正面向上B.最多有1枚正面向上和恰有2枚正面向上C.不多于1枚正面向上和至少有2枚正面向上D.至少有2枚正面向上和恰有1枚正面向上解析：A中兩事件可能同時發(fā)生;B中兩事件互斥但不對立;D中兩事件互斥但不對立.答案：C1 2 3 4 53.若事件A,B互斥,P(A)=3P(B),P(AB)=0.8,則P(A)=.解析：A,B互斥,P(AB)=