數(shù)學(xué)人教Ａ版必修5：求數(shù)列的通項(xiàng)公式的策略與常用方法 講義（Word版含答案）

1、求數(shù)列的通項(xiàng)公式的策略與常用方法一、觀察法：1觀察下列等式: 照此規(guī)律, 第個(gè)等式可為_. 二、公式法：（一）用等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式。（二）若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式 求解。使用此公式須注意：是正用還是逆用；須分類討論；如何求；結(jié)論的書寫。1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 2正項(xiàng)數(shù)列滿足:_ _.【答案】因?yàn)?所以數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列,所以,所以,所以. 3設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為已知，求的通項(xiàng)公式解：由題設(shè)知，則 由得，因?yàn)?，解得或?dāng)時(shí)，代入得，通項(xiàng)公式；當(dāng)時(shí)，代入得，通項(xiàng)公式4. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)，

2、是否存在使得,成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)說明理由.略解：（1）由基本量可求得（2）假設(shè)存在使得,成等比數(shù)列，則，,，整理得因?yàn)?，所以，解得又因，所以，此時(shí)所以存在，使得,成等比數(shù)列5已知在正整數(shù)數(shù)列中，前項(xiàng)和滿足（1）求證：是等差數(shù)列 （2）若，求的前項(xiàng)和的最小值解：（1） 時(shí)，整理得： 是正整數(shù)數(shù)列 是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列 （2） 為等差數(shù)列 當(dāng)時(shí)，的最小值為6.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為和的等差中項(xiàng)，則= 略解：（用公式法求通項(xiàng)公式）因?yàn)楹偷牡炔钪许?xiàng)，則有，消得，進(jìn)而得7. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足， （且）（）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（）求和.解析：（）證明：當(dāng)時(shí)， 由上式知若，則

3、，由遞推關(guān)系知，由式可得：當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為，公差為.（2）， .當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，不適合上式， .【思路點(diǎn)撥】證明數(shù)列為等差數(shù)列通常利用其定義證明，一般遇到由數(shù)列的前n項(xiàng)和與項(xiàng)的遞推關(guān)系通常先轉(zhuǎn)化為項(xiàng)的遞推關(guān)系或者和的遞推關(guān)系，再進(jìn)行解答.8.已知數(shù)列an和bn滿足a1=1，b1=0， ，.（1）證明：an+bn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；（2）求an和bn的通項(xiàng)公式.【分析】(1)可通過題意中的以及對(duì)兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；(2)可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果?！驹斀狻?1)由題意可

4、知，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，因?yàn)?，所以，?shù)列是首項(xiàng)、公差為等差數(shù)列，。(2)由(1)可知，所以，。【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題。三、疊加法：形如型1.已知數(shù)列滿足，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案： 2. 已知數(shù)列滿足， .令，證明：是等比數(shù)列； ()求的通項(xiàng)公式。解:（1）證當(dāng)時(shí)，所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。（2）解由（1）知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。所以。3在數(shù)列中，則（ A ）ABCD評(píng)注：已知,，其中可以是關(guān)于的分式函

5、數(shù)、指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，求通項(xiàng). = 1 * GB3 若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。 = 2 * GB3 若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和; = 3 * GB3 若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和; = 4 * GB3 若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和;四疊乘法：形如型1已知數(shù)列中,前項(xiàng)和.()求;()求的通項(xiàng)公式.解:(1)由與可得 , 故所求的值分別為. (2)當(dāng)時(shí), -可得即 故有 而,所以的通項(xiàng)公式為 五、作差法：已知（即）求，常用作差法。 1數(shù)列滿足=1，=+2+3+（n-1） (),則的通項(xiàng)公式=_2設(shè)數(shù)列滿足，（）求數(shù)列的通項(xiàng)；（）

6、設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：(I) 驗(yàn)證時(shí)也滿足上式，(II) ， ， 六、作商法：已知求，常用作商法：。1.已知.=n 2,求2.已知數(shù)列滿足，則=（ B ）A. B. C. D. 解析：, ，七、周期性：（三）類似周期函數(shù)型1若數(shù)列an滿足若，則的值為（ B ）A B C D【講解】逐步計(jì)算，可得, 這說明數(shù)列an是周期數(shù)列，而, 所以應(yīng)選B【點(diǎn)評(píng)】分段數(shù)列問題是一種新問題，又涉及到周期數(shù)列，顯示了以能力立意，題活而不難的特色2數(shù)列滿足，則= 3. 在數(shù)列中，則.【解析】由得，所以該數(shù)列的周期為6，故，由4.已知數(shù)列滿足等于的個(gè)位數(shù)，則（ A ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【分析】根據(jù)

7、條件算出幾項(xiàng)直到找出規(guī)律即可得出答案【詳解】已知等于的個(gè)位數(shù)，則，可以看出：從開始重復(fù)出現(xiàn)從到的值：8，4，2，8，6，8因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力，由已知條件找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵八構(gòu)造法：（）線性構(gòu)造：（一）形如,其中)型1已知數(shù)列中，求通項(xiàng).解：由得,所以數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列所以,即 . （二）形如型1.在數(shù)列中，求通項(xiàng).解：， = 1 * GB3 時(shí)，兩式相減得 .令,則即 = 2 * GB3 再由累加法可得.亦可聯(lián)立 = 1 * GB3 = 2 * GB3 解出.(三)若(其中q是常數(shù)，且n0,1)1.

8、數(shù)列滿足：，求的通項(xiàng)公式解：變形得，設(shè)，則，再變形得：，所以數(shù)列是等比數(shù)列，其中首項(xiàng)是公比為所以有，即于是，故2.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則= -11 略解：用公式法消得，進(jìn)而得3.已知數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式.解析：由得又，是以7為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即有又是以為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列，（）非線性構(gòu)造：（一）倒數(shù)法：形如.1. 已知數(shù)列中，求通項(xiàng)公式。 解：取倒數(shù)： ,點(diǎn)評(píng)：常用的化歸還有對(duì)數(shù)化歸，待定化歸，一般需轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列的問題。2. 在數(shù)列中，已知 ，求通項(xiàng)公式。解：兩邊取倒數(shù)遞推式化為： ，即所以, 將以上個(gè)式子相加，得：即故（二）利用等式性質(zhì)兩邊同除(形如型)1.已知數(shù)列中，則的通項(xiàng)公式為 【詳解】由題意可知 兩邊同時(shí)除以，得，且，故數(shù)列是