材料力學(xué)第三章課件

1、第 3 章 扭 轉(zhuǎn)3-1 概述3-2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)3-3 傳動(dòng)軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖3-4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 強(qiáng)度條件3-5 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 剛度條件3-6 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能3-7 等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形*3-8 開(kāi)口和閉口薄壁截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形13-1 概 述M23變形特點(diǎn): . 相鄰橫截面繞桿的軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；. 桿表面的縱向線(母線)變成螺旋線；受力特點(diǎn)：圓截面直桿在與桿的軸線垂直的平面內(nèi)受外力偶?？v向線43-2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒通常指 的圓筒當(dāng)其兩端面上作用有外力偶時(shí)，任一橫截面上的內(nèi)力偶矩扭矩(torque)5 . 薄壁圓筒橫截面上各點(diǎn)切

2、應(yīng)力的變化規(guī)律表面變形情況：(1) 周向線繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng),形狀及尺寸不變(2)周向線間的距離保持不變(3) 縱向線仍為直線,但發(fā)生傾斜周向線縱向線軸線6推論：(1) 橫截面形狀和大小不變，即橫截面象剛性平面一樣(平截面假定)繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)；(2) 橫截面間的距離不變。7橫截面上的應(yīng)力：(1) 只有與圓周相切的切應(yīng)力( shearing stress )，且圓周上所有點(diǎn)的切應(yīng)力相同；(2) 對(duì)于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布；(3) 橫截面上無(wú)正應(yīng)力，處于純剪切狀態(tài)。8令，上式可寫(xiě)為. 薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力計(jì)算公式由 并結(jié)合應(yīng)力均勻分布的特點(diǎn)得 ，于是有9. 剪切胡克定律(Hookes law

3、in shear)(1) 薄壁圓筒表面格子的直角均改變了g,這種直角改變量稱(chēng)為切應(yīng)變(shearing strain).(2) 圓筒兩個(gè)端面繞軸線產(chǎn)生了相對(duì)扭轉(zhuǎn)動(dòng)角j.(3) 在假定切應(yīng)力均勻分布情況下,切應(yīng)變也均勻,故有g(shù) =j r0/l,此處r0為薄壁圓筒的平均半徑.10實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)橫截面上切應(yīng)力t 不超過(guò)材料的剪切比例極限tp時(shí)，外力偶矩Me(數(shù)值上等于扭矩T )與相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j 成線性關(guān)系,從而可知t 與g 亦成線性關(guān)系，即：剪切胡克定律G材料的切變模量(shear modulus)。113-3 傳動(dòng)軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖. 傳動(dòng)軸的外力偶矩P 轉(zhuǎn)軸上輸入或輸出功率n 轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速外力偶

4、矩Me亦稱(chēng)為轉(zhuǎn)矩12. 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力扭矩Me1Me2Me3Me4Me5Me1Me2Me3扭矩符號(hào)規(guī)定：面對(duì)選定單元體的截面,逆時(shí)針轉(zhuǎn)的扭矩為正,順時(shí)針轉(zhuǎn)的扭矩為負(fù).習(xí)慣假定扭矩為正.T視線Me4Me5T視線13III. 扭矩與外力偶矩的關(guān)系 取截面左邊的單元體： 面對(duì)選定單元體的截面,順時(shí)針轉(zhuǎn)的外力偶在截面上產(chǎn)生正的扭矩,逆時(shí)針轉(zhuǎn)的外力偶在截面上產(chǎn)生負(fù)的扭矩.扭矩的大小等于外力偶矩的大小.截面上總的扭矩等于該單元體上所有外力偶單獨(dú)作用時(shí)在截面上產(chǎn)生的扭矩的代數(shù)和.Me1Me2Me3T視線以橫坐標(biāo)表示截面位置,縱坐標(biāo)表示各截面扭矩大小,并按適當(dāng)比例繪制出的二維圖形.IV. 扭矩圖Me41

5、234Me1Me2Me3n【例3-1 】 轉(zhuǎn)速 n = 300 r/min ,主動(dòng)輪1輸入功率為P1 = 500 kW ,從動(dòng)輪輸出功率分別為P2 = 150 kW ,P3 = 150 kW , P4 = 200 kW. 試畫(huà)扭矩圖.2）畫(huà)扭矩圖 4774.5 Nm9549 Nm 6366 Nm+-Me41234Me1Me2Me3n【解】1） 計(jì)算外力偶矩【課堂練習(xí)】若將從動(dòng)輪3與4對(duì)調(diào)如圖,試作扭矩圖.這樣布置是否合理？4774.5 Nm11140.5 Nm4774.5 Nm+_對(duì)調(diào)后4774.5 Nm9549 Nm 6366 Nm+_對(duì)調(diào)前Me31243Me1Me2Me4n對(duì)調(diào)后17m=k

6、 xxO【例3-2】圖示桿受矩集度m=k x的線性分布力偶作用，試畫(huà)出桿的扭矩圖.Txm=kxT(x)T(x)+dT(x)dx(1)變形幾何關(guān)系 圓軸扭轉(zhuǎn)前的橫截面,變形后仍保持為平截面,其形狀和大小不變,半徑仍保持為直線,橫截面象剛性平面一樣繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度.從受扭圓軸上同軸截出半徑為的微段dx,設(shè)微段左右端面相對(duì)轉(zhuǎn)角為d,其端面上承受的扭矩為T(mén),縱向線AB轉(zhuǎn)角為 .OdTTdxBAB. 橫截面上的應(yīng)力3-4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度條件OdTTdxBAB因故即受扭圓軸橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)的半徑成正比當(dāng)=R時(shí)，得max=R即橫截面邊沿上各點(diǎn)的切應(yīng)變最大令單位長(zhǎng)度相對(duì)扭轉(zhuǎn)角,同一截

7、面其為常數(shù)則（2）物理關(guān)系 圓軸處于比例極限內(nèi),由胡克定律知即受扭圓軸橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)的半徑成正比當(dāng)=R時(shí),得max=GR即橫截面邊沿上各點(diǎn)的切應(yīng)力最大TmaxmaxmaxmaxmaxTmaxmaxmax(3) 靜力學(xué)關(guān)系dAORT圓截面的極慣性矩,它是一個(gè)與圓面積有關(guān)的幾何量則即抗扭剛度 考慮到令22令 抗扭截面模量 將 代入 得令 =R,則則 TmaxmaxmaxmaxmaxTmaxmaxmax23.極慣性矩IP和抗扭截面模量WP(1)空心圓截面OdD其中(2)實(shí)心圓截面ddA=2d24MeMeOzxydxdzdy右左上下FS上=上dxdzFS下=下dxdz FS左=左dydz

8、 FS右=右dydz . 切應(yīng)力互等定理 切應(yīng)力互等定理 ：在互相垂直的兩個(gè)平面上,切應(yīng)力必然成對(duì)存在且數(shù)值相等;二者都垂直于兩平面的交線,共同指向或共同背離兩平面的交線.該定理在任意應(yīng)力狀態(tài)下均成立.xyzxyyxxzzxzyyzxy=yxyz=zyzx=xz思考：為什么竹竿受扭后先沿縱向（母線）破環(huán)？(1)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的破壞現(xiàn)象 塑性材料如低碳鋼在受扭過(guò)程中先屈服,如繼續(xù)增大載荷,試件將沿橫截面破壞. 脆性材料如鑄鐵等在受扭過(guò)程中,變形始終很小,試件沿與軸線成45的螺旋面破壞.I. 強(qiáng)度條件低碳鋼鑄鐵對(duì)塑性材料： u s對(duì)脆性材料： u b(2)許用切應(yīng)力和安全系數(shù) 1.剪切極限應(yīng)力構(gòu)件扭轉(zhuǎn)

9、時(shí)，產(chǎn)生過(guò)大塑性變形或斷裂時(shí)橫截面上的切應(yīng)力稱(chēng)為剪切極限應(yīng)力.用 u表示.2.許用切應(yīng)力 軸能安全工作時(shí)橫截面上的最大切應(yīng)力. n安全系數(shù) 許用切應(yīng)力, (3)圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件 和拉壓強(qiáng)度條件一樣，解決強(qiáng)度計(jì)算的三類(lèi)問(wèn)題.強(qiáng)度條件 強(qiáng)度校核設(shè)計(jì)截面求許可載荷【例3-3】圖示階梯軸，AB段直徑d1=120 mm，BC段直徑d2=100 mm。MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的許用切應(yīng)力t =80 MPa。試校核該軸的強(qiáng)度。31【解】1）繪扭矩圖MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm32AB段內(nèi)：2）求每段最大切應(yīng)力AB段直徑d1=

10、120 mm，BC段直徑d2=100 mm33BC段內(nèi)：AB段直徑d1=120 mm，BC段直徑d2=100 mm3）校核強(qiáng)度t2,max t1,max且t2,maxt = 80MPa,滿(mǎn)足強(qiáng)度條件.343-5 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形剛度條件. 扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓桿的扭轉(zhuǎn)變形可用兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角(相對(duì)角位移) j 來(lái)度量。MeADBCMejg35若圓軸在標(biāo)距為l的兩橫截面間G、IP、T為常數(shù)，則相對(duì)扭轉(zhuǎn)角： 單位為弧度(rad) 單位為度 ()若圓軸的G(x)、IP (x) 、T (x)為橫截面位置x的連續(xù)函數(shù)，則相對(duì)扭轉(zhuǎn)角： 若圓軸在第i段標(biāo)距l(xiāng)i內(nèi)Gi、IPi、Ti為常數(shù)，則相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

11、： 單位為弧度(rad) 單位為度 ()(a)【例3-4】鋼制實(shí)心圓軸中,M1=1 592 Nm,M2 = 955 Nm,M3 = 637 Nm,lAB = 300 mm,lAC = 500 mm,d = 70 mm ,切變模量G = 80 Gpa.試求橫截面C 相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角jBC .【解】1）求I、II兩段的扭矩38(a)2）設(shè)A截面固定,分別求B、C截面相對(duì)于A截面的扭轉(zhuǎn)角jAB、jAC39(a)3）求C截面相對(duì)于B截面的扭轉(zhuǎn)角【思考】C截面相對(duì)于B截面的轉(zhuǎn)向？ B截面相對(duì)于C截面的轉(zhuǎn)向？40【例3-5】圖示有錐度的實(shí)心圓軸長(zhǎng)為l,兩端直徑分別為D和d,沿軸線承受矩集度為m的均布力偶,軸材料的剪切彈性模量為G.【解】1）求x截面的扭矩ldDm寫(xiě)出軸x截面上半徑為的點(diǎn)(x,)的切應(yīng)力 (x,) 及x截面的扭轉(zhuǎn)角.T(x)dxmT(x)+d T(x)xdx2）求x截面的極慣性矩x截面的直徑x截面極慣性矩3）求 (x,)點(diǎn)的應(yīng)力ldDx4）求x截面的扭轉(zhuǎn)角ldDx軸單位長(zhǎng)度最大扭轉(zhuǎn)角(/m).軸單位長(zhǎng)度許用扭轉(zhuǎn)角(/m).和強(qiáng)度條件一樣，可解決剛度計(jì)算的三類(lèi)問(wèn)題 .剛度校核設(shè)計(jì)截面求許可載荷. 剛度