概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法課件

1、概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法概率模型（一）報(bào)童的訣竅概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法確定性因素和隨機(jī)性因素隨機(jī)因素可以忽略隨機(jī)因素影響可以簡(jiǎn)單地以平均值的作用出現(xiàn)隨機(jī)因素影響必須考慮概率模型統(tǒng)計(jì)回歸模型馬氏鏈模型隨機(jī)模型確定性模型隨機(jī)性模型概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布為則隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望值為連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為則隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望值為期望值反映了隨機(jī)變量取值的“平均”意義！概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法報(bào)童的訣竅問題：報(bào)童每天清晨從報(bào)社購(gòu)進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒有賣掉的報(bào)紙退回。設(shè)報(bào)紙每份的購(gòu)進(jìn)價(jià)為b，零售價(jià)為a，退回價(jià)為c，假設(shè)abc。即報(bào)童售出一份

2、報(bào)紙賺a- b，退回一份賠b-c。報(bào)童每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙?zhí)?，賣不完會(huì)賠錢；購(gòu)進(jìn)太少，不夠賣會(huì)少掙錢。試為報(bào)童籌劃一下每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，以獲得最大收入。概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法1.確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)變量2.確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式每天的總收入為目標(biāo)變量每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)為設(shè)計(jì)變量3.尋找約束條件尋找設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)變量之間的關(guān)系設(shè)計(jì)變量所受的限制問題分析概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法若每天購(gòu)進(jìn) 0 份，則收入為 0。若每天購(gòu)進(jìn) 1 份，售出，則收入為 a-b。退回，則收入為 (b-c)。若每天購(gòu)進(jìn) 2 份，售出1份，則收入為 a-b (b-c) 。退回，則收入為 2(b-c)。售出2份，則收入為 2(a-b)

3、 。收入還與每天的需求量有關(guān)，而需求量是隨機(jī)變量則收入也是隨機(jī)變量，通常用均值，即期望表示。概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法1 設(shè)每天購(gòu)進(jìn) n 份，日平均收入為 G(n)3 每天需求量為 r 的概率 f(r), r=0,1,22 售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c模型假設(shè)與符號(hào)說明概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法求 n 使 G(n) 最大每天的收入函數(shù)記為U(n)，則收入函數(shù)的期望值為建模概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法將r視為連續(xù)變量模型求解概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法使報(bào)童日平均收入達(dá)到最大的購(gòu)進(jìn)量應(yīng)滿足上式。因?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法售完的概率因?yàn)楫?dāng)購(gòu)進(jìn)份報(bào)紙時(shí)，是需求量不超過的概率是需求量 超過的概率售不完

4、的概率上式意義為：購(gòu)進(jìn)的份數(shù)之比，恰好等于賣出一份賺的錢與退回一份賠的錢之比。應(yīng)該使賣不完與賣完的概率概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法根據(jù)需求量的概率密度的圖形可以確定購(gòu)進(jìn)量在圖中用分別表示曲線下的兩塊面積，則O n r當(dāng)報(bào)童與報(bào)社簽訂的合同使報(bào)童每份賺錢與賠錢之比越大時(shí)，報(bào)童購(gòu)進(jìn)的份數(shù)就應(yīng)該越多。結(jié)論求解的幾何意義概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法注意求解技巧：連續(xù)化建模方法：從特殊到到一般歸納抽象1998年B題 災(zāi)情巡視路線單旅行商到多旅行商1999年B題 鉆井布局網(wǎng)格的平行移動(dòng)到旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)2000年B題 鋼管的訂購(gòu)與運(yùn)輸線形到樹形2000年C題 飛越北極球形到橢球形人口模型，戰(zhàn)爭(zhēng)模型隨機(jī)變量的目標(biāo)函數(shù)：期望

5、值航空公司的超額訂票模型概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法 利用上述模型計(jì)算，若每份報(bào)紙的購(gòu)進(jìn)價(jià)為元，售出價(jià)為1元，退回價(jià)為元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布，報(bào)童每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)多少份報(bào)紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？舉例概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法查概率積分表得概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法航空公司的西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法1 問題的提出航空公司為了提高經(jīng)濟(jì)效益開展了一項(xiàng)預(yù)訂票業(yè)務(wù)。隨之帶來一系列的問題：若預(yù)訂票的數(shù)量恰等于飛機(jī)的容量，則由于總會(huì)有部分已訂票的乘客不按時(shí)前來登機(jī)，致使飛機(jī)因不滿員而利潤(rùn)降低，或虧本；若不限制訂票的數(shù)量，那些本已訂好了某家航空公司的某趟航班的乘客，卻

6、被意外地告知此趟航班已滿，公司不管以什么方式補(bǔ)救總會(huì)引起乘客的抱怨，導(dǎo)致榮譽(yù)受損。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系試建立航空公司訂票決策的數(shù)學(xué)模型，解決以上的問題。 概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法2 問題分析公司的經(jīng)濟(jì)利益公司的社會(huì)聲譽(yù)利潤(rùn) = 收入-成本-賠償金已訂票但被擠掉的乘客的數(shù)量怎樣確定預(yù)訂票數(shù)量限額，使得利潤(rùn)最大，同時(shí)被擠掉的乘客的數(shù)量盡可能小。問題轉(zhuǎn)化為以預(yù)訂票數(shù)量為決策變量的雙目標(biāo)隨機(jī)規(guī)劃問題。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系訂票策略：為了航空公司的經(jīng)濟(jì)利益與社會(huì)聲譽(yù)，確定預(yù)訂票的最佳數(shù)量。概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法3 模型假設(shè)飛機(jī)容量為常數(shù) n，機(jī)票價(jià)格為常數(shù) g，飛行 費(fèi)用為常數(shù) r。機(jī)票價(jià)格按照 來制訂，其中 是利

7、潤(rùn)調(diào)節(jié)因子，如 表示飛機(jī)60%滿員就不虧本。預(yù)訂票數(shù)量的限額為常數(shù) m(n) ，每位乘客不按時(shí)前來登機(jī)的概率為 p，各位乘客是否按時(shí)登機(jī)是相互獨(dú)立的。每位被擠掉的乘客獲得的賠償金為常數(shù)b。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法4 模型建立先不考慮社會(huì)聲譽(yù)的影響。公司的經(jīng)濟(jì)利益用平均利潤(rùn)（數(shù)學(xué)期望）S 來衡量訂票的總?cè)藬?shù)是 ，有可能超出 航空公司可能從航班中得到的利潤(rùn)為當(dāng)有 個(gè)人誤機(jī)時(shí)，西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法個(gè)人誤機(jī)的概率是 ，由假設(shè)2 平均利潤(rùn) 即 ( 數(shù)學(xué)期望值)，設(shè)有 由得當(dāng) 給定后，可以求 m 使 最大。 西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)

8、據(jù)擬合方法考慮到社會(huì)聲譽(yù)，應(yīng)該要求被擠掉的乘客不能太多。而由于被擠掉者的數(shù)量是隨機(jī)的。用被擠掉的乘客數(shù)超過若干人的概率作為衡量標(biāo)準(zhǔn)。設(shè)被擠掉的乘客數(shù)超過 人的概率為 ，則被擠掉的乘客數(shù)超過 j 人等價(jià)于m位預(yù)訂票的乘客中不按時(shí)前來登機(jī)的不超過 m-n-j 人。從社會(huì)聲譽(yù)和經(jīng)濟(jì)利益兩方面考慮nm-njm-n-j西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法所建模型為雙目標(biāo)的優(yōu)化模型模型變形航空公司綜合考慮大量的因素，得出的臨界人數(shù)大約是航班載客量的60%，即西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法計(jì)算一架載客量為300的飛機(jī)所能得到的預(yù)期利潤(rùn)，假設(shè) 5 模型求解m30

9、0302304306308310312314316P5000000.00050.00440.02320.0791J10.58330.59390.60440.61500.62540.63550.64450.65190.6568m318320322324326328330332334P50.19310.36270.55580.72950.85650.93350.9730J10.65940.66000.65920.65770.65580.65370.6517西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法結(jié)果表明：當(dāng)超額訂票的乘客數(shù)分別為20和39時(shí)，可以達(dá)到最大的預(yù)期利潤(rùn)。有超過5名乘客發(fā)生座位沖撞的概率分

10、別為36%和54%。當(dāng)超額訂票的乘客數(shù)分別為18和36時(shí)，可以達(dá)到較大的預(yù)期利潤(rùn)。有超過5名乘客發(fā)生座位沖撞的概率卻分別為20%和30%。m300302304306308310312314316P5000000000J20.50000.51000.52000.53000.54000.55000.56000.57000.580031832032232432632833033233433600.00020.00080.00300.00930.02430.05470.10740.18690.29220.59000.59990.60970.61930.62830.63650.64360.64920.6

11、5330.6559西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法6 模型推廣1）酒店酒店接受房間預(yù)訂主要是建立在誠(chéng)信之上，因此通常不會(huì)再接受有過失信記錄的顧客的預(yù)訂。一些酒店在接受預(yù)訂時(shí)會(huì)要求顧客交納押金，以此來確保顧客住房的概率（施行這種方案的一般是低價(jià)酒店，因?yàn)樗鼈兊闹苻D(zhuǎn)資金往往不多），而另一些酒店則可能會(huì)給長(zhǎng)期訂房或是預(yù)付房費(fèi)的顧客打折。這種多價(jià)格系統(tǒng)的經(jīng)營(yíng)方式是可以考慮的。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法3）圖書館圖書館都有可能購(gòu)買一些暢銷書籍的多種版本。特別是在學(xué)院或大學(xué)圖書館里，時(shí)常購(gòu)買一系列課本。某些版本極有可能僅限在圖書館內(nèi)，以方便學(xué)生們的使用?？梢試L試建立書籍使用的模型。2）汽

12、車出租公司汽車出租公司一般會(huì)保留固定數(shù)量的汽車（至少在短期內(nèi)）以出租給顧客。出租公司可能會(huì)為頻繁租借汽車的顧客打折，以此來確保公司能有最低量的收入。而一些長(zhǎng)期出租品（一次出租一周或一個(gè)月）也會(huì)標(biāo)上優(yōu)惠的價(jià)格，因?yàn)檫@給出了一個(gè)至少確定了未來的一段日子會(huì)有收入的策略。在預(yù)測(cè)一些車輛的預(yù)訂可能會(huì)被取消的情況下，一間公司有可能充分地留出比它們計(jì)劃中要多的汽車。 西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法求解雙（多）目標(biāo)的優(yōu)化模型根據(jù)對(duì)多目標(biāo)的偏好程度，通過加權(quán)組合形式，化為單目標(biāo)規(guī)劃問題。把一個(gè)目標(biāo)作為約束條件，解另一個(gè)目標(biāo)的規(guī)劃問題。7 注意西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法 假設(shè)在某一高校里只有兩

13、類餐廳，一類是學(xué)校公辦餐廳，另一類是私人的承包餐廳，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在公辦餐廳就餐的學(xué)生有60%會(huì)回到這類餐廳，而在承包餐廳就餐的學(xué)生有50%的回頭率，試建立數(shù)學(xué)模型求解學(xué)生在每類餐廳長(zhǎng)期就餐的百分比。 課堂練習(xí)學(xué)生就餐問題概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法 數(shù)據(jù)擬合方法最小二乘法概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法數(shù)據(jù)擬合建模 給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)，這些點(diǎn)可以是從實(shí)驗(yàn)中測(cè)量得到的，也可以是設(shè)計(jì)員給出的。 構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。構(gòu)造插值曲線所采用的數(shù)學(xué)方法稱為曲線插值法。希望概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法 測(cè)量所得或設(shè)計(jì)員給出的數(shù)據(jù)點(diǎn)本身就很粗糙，要求構(gòu)造一條曲線嚴(yán)

14、格通過給定的一組數(shù)據(jù)點(diǎn)就沒有什么意義。注意到 構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)將更為合理，稱之為對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行曲線逼近。構(gòu)造逼近曲線所采用的數(shù)學(xué)方法稱為曲線逼近法。相應(yīng)的有曲面插值（逼近）問題。概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法 常用的擬合方法有： 1、一般插值法 2、樣條插值法 3、最小二乘法 概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法最小二乘法的基本原理在實(shí)驗(yàn)中收集到一組數(shù)據(jù)可以由這組數(shù)據(jù)分析出一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式：其中 為一組待定參數(shù)，使得取到最小值，從而確定出參數(shù) 的值。這樣就得到由這組數(shù)據(jù)確定的擬合函數(shù)。概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法 假設(shè)我們預(yù)想到一個(gè)確定形式的模型，并且已經(jīng)收集了數(shù)據(jù)并進(jìn)行分析。在這里用最小二

15、 乘準(zhǔn)則來估計(jì)各種類型曲線的參數(shù)。擬合直線 用 記作 的最小二乘估計(jì)。這時(shí)運(yùn)用最小二乘準(zhǔn)則 ，則要求極小化概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法最優(yōu)的必要條件是改寫為將 和 的值全部代入，方程組就變?yōu)槎淮未鷶?shù)方程組概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法斜率截距概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法例1 在鋼線碳含量對(duì)電阻的效應(yīng)研究中，得到以下數(shù)據(jù)： 碳含量 x0.1 0.3 0.4 0.55 0.7 0.8 0.95電阻效應(yīng)y15 18 19 21 22.6 23.8 26試求其線性擬合曲線 ，并估計(jì)在碳含量的這一改變過程中對(duì)電阻的總效應(yīng)。對(duì)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)集用最小二乘準(zhǔn)則擬合直線設(shè)A與B最小二乘估計(jì)為 a ，b計(jì)算得概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)

16、擬合方法最小二乘近似模型為利用Mathematics 軟件，可得概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法擬合冪曲線 對(duì)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)集用最小二乘準(zhǔn)則擬合形式的曲線， 為確定的數(shù)，現(xiàn)在來估計(jì) 的值 即研究模型 的最小二乘估計(jì)。運(yùn)用最小二乘準(zhǔn)則要求極小化最優(yōu)的必要條件是概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法為確定的數(shù)注意 類似的，可以將最小二乘準(zhǔn)則用于其它模型。應(yīng)用該方法的限制在于計(jì)算最優(yōu)化過程中要求的各種導(dǎo)數(shù)，令這些導(dǎo)數(shù)為零，解這些方程組，求出模型類型中的參數(shù)。概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法例2 用下表給出的數(shù)據(jù)擬合二次曲線 ，并預(yù)測(cè) x=時(shí) y 的值。 x0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 y0.7 3

17、.4 7.2 12.4 20.1最小二乘估計(jì) a ，由 確定。計(jì)算得概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法最小二乘近似模型為由此模型可計(jì)算當(dāng) x=2.25 時(shí)，預(yù)測(cè) y 的值為概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法經(jīng)變換的最小二乘擬合例如，用最小二乘準(zhǔn)則擬合模型 最優(yōu)化的必要條件是 在理論上最小二乘準(zhǔn)則很易應(yīng)用，但在實(shí)踐上可能是有困難的。研究模型的最小二乘估計(jì) 概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法許多簡(jiǎn)單的模型會(huì)產(chǎn)生很復(fù)雜的求解過程，或者很難解的方程組?；谶@一原因，我們要使用變換，得出近似的最小二乘模型。解這個(gè)非線性方程組是不容易的。概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法通過對(duì)數(shù)據(jù)分析研究，發(fā)現(xiàn)先變換數(shù)據(jù)再對(duì)變換后的數(shù)據(jù)

18、擬合直線很方便。例如，圖形擬合 ，可以作變換而對(duì)于 和x的圖卻是直線。對(duì)變換后的數(shù)據(jù)擬合直線，可用于最小二乘準(zhǔn)則，簡(jiǎn)化擬合過程的計(jì)算。特別地，如果找到一個(gè)方便的變換，問題變成在變換后的變量X和Y間采用 的形式。概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法方程兩邊取對(duì)數(shù)得假設(shè)我們想對(duì)這數(shù)據(jù)點(diǎn)集擬合冪曲線 用 記的估計(jì)， 記的估計(jì)。在變量對(duì) 的圖中，上方程構(gòu)成一條直線。是此直線的截距， 是此直線的斜率。用變換后變量和個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，有 x0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 y0.7 3.4 7.2 12.4 20.1對(duì)于數(shù)據(jù)概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法從所給的數(shù)據(jù)得到概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法所以方程的最小二乘最佳擬合為產(chǎn)生由此模型可計(jì)算當(dāng) x=2.25 時(shí)，預(yù)測(cè) y 的值為概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法假設(shè)仍想對(duì)這數(shù)據(jù)點(diǎn)集擬合二次曲線 仍用 記的估計(jì)，對(duì)方程 兩邊取對(duì)數(shù)得 x0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 y0.7 3.4 7.2 12.4 20.1對(duì)于數(shù)據(jù)在變量對(duì) 的圖中，上方程是一條斜率為2截距為 的直線。利用最小乘法計(jì)算得概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法所以方程的最小二乘最佳擬合為由此模型可計(jì)算當(dāng) x=2.25 時(shí)，預(yù)測(cè)思考：沒有變量代換經(jīng)變量代換這兩個(gè)模型哪個(gè)更好？概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)據(jù)擬合方法2001