理論力學8-點合成運動課件

1、第 8 章點的合成運動8.1 相對運動牽連運動絕對運動8.2 點的速度合成定理一、方法及思想起源 運動合成的思想我們大家都很熟悉，比如說右邊直升飛機螺旋槳端的P點，其運動就可以分解為：“隨螺旋槳一起相對飛機機身的運動”和“隨機身一起在空中的移動”。8.1 相對運動牽連運動絕對運動二、兩點兩系圖中轉(zhuǎn)輪繞固定軸o轉(zhuǎn)動，輪上有一直線槽，動點A沿槽向外運動。轉(zhuǎn)輪Aoxyoxy在地面上建立一個坐標架xoy，用此標架代表地面這個參考系。在輪上固定一個坐標架xoy，用它表示轉(zhuǎn)輪（及其擴展部分，可以擴展為整個空間）。 動點A相對于坐標架xoy的運動（螺旋線），可以分解為動點相對于坐標架xoy的運動（直線運動）

2、和坐標架xoy相對于坐標架xoy的運動（定軸轉(zhuǎn)動）。 這里涉及“一點”（動點A）、“兩系”（xoy和xoy），下面給出具體定義。轉(zhuǎn)輪Aoxyoxy動點：有待研究的運動點動（參考）系：參考系之一，固定在相對于靜系有運動的物體上，且動點有相對此參考系的運動。靜（參考）系：參考系之一，動點和動系有相對此參考系的運動。注：其實運動都是相對的，動系有相對靜系的運動，靜系則必有相對動系的運動。但我們通常將靜系固定在一個便于觀察的物體上（例如，工程中靜系一般取為地球），就好象此物體不動，故有上述說法。上面定義了“一點”和“兩系”，還有“一點”要定義。上面兩種情況，假設(shè)轉(zhuǎn)輪的角速度和動點相對轉(zhuǎn)輪的速度u相同，

3、問動點相對地面的速度哪個更大？轉(zhuǎn)輪Aoxyoxyu轉(zhuǎn)輪Aoxyoxyu當然是右圖中的動點速度更大。為什么呢？因為轉(zhuǎn)輪上有一點牽著動點，右圖中那個牽著動點運動的點速度更大。牽連點：動系上的一點，與動點的空間位置重合。轉(zhuǎn)輪Aoxyoxyu三、三種運動絕對運動：動點相對靜系的運動右圖中A相對地面的運動，軌跡為螺旋線相對運動：動點相對動系的運動右圖中A相對轉(zhuǎn)輪的運動，軌跡為直線牽連運動：動系相對靜系的運動右圖中轉(zhuǎn)輪相對地面的運動，為定軸轉(zhuǎn)動注意：牽連運動是整個動系的運動，也就是說，指的是整個空間相對靜系的運動。例中所指為：繞o定軸轉(zhuǎn)動的整個空間。因為空間上各點的速度一般不同（除非動系相對定系作平動），

4、故不同牽連點的速度不同。 (1) 動點相對于定參考系的速度、加速度和軌跡，稱為動點的絕對速度va、絕對加速度aa和絕對軌跡。 (2) 動點相對于動參考系的速度、加速度和軌跡，稱為動點的相對速度vr、相對加速度ar和相對軌跡 。 動系是剛體的運動，不是一個點的運動，所以除非動參考系作平動，否則其上各點的運動都不完全相同。動系與動點直接相關(guān)的是動系上與動點相重合的那一點(牽連點)，因此定義：動點的牽連速度(ve)：牽連點的速度。牽連加速度(ae) ：牽連點的加速度如果沒有牽連運動，則動點的相對運動就是它的絕對運動；如果沒有相對運動，則動點隨同動參考系所作的運動就是它的絕對運動；動點的絕對運動既取決

5、于動點的相對運動，也決定于動參考系的運動即牽連運動，它是兩種運動的合成。例 如圖桿長l，繞O軸以角速度 轉(zhuǎn)動，圓盤半徑為r，繞 軸以角速度 轉(zhuǎn)動。求圓盤邊緣 和 點的牽連速度和加速度。 解：靜系取在地面上，動系取在桿上，則重點要弄清楚牽連點的概念 動點在某一瞬時的絕對速度等于它在該瞬時的牽連速度與相對速度的矢量和。8.2 點的速度合成定理處理具體問題時應注意：(1) 選取動點、動參考系和定參考系。 (2) 應用速度合成定理時,可利用速度平行四邊形中的幾何關(guān)系解出未知數(shù)。也可以采用投影法：即等式左右兩邊同時對某一軸進行投影，投影的結(jié)果相等。 動點和動系應分別選擇在兩個不同的剛體上。 動點和動系的

6、選擇應使相對運動的軌跡簡單直觀。8.2 點的速度合成定理在有的機構(gòu)中，一個構(gòu)件上總有一個點被另一個構(gòu)件所約束。這時，以被約束的點作為動點，在約束動點的構(gòu)件上建立動系，相對運動軌跡便是約束構(gòu)件的輪廓線或者約束動點的軌道。通常選動點和動系主要有以下幾種情況：1. 有一個很明顯的動點，在題中很容易發(fā)現(xiàn)；2. 有一個不變的接觸點，可選該點為動點；3. 沒有不變的接觸點，此時應選相對軌跡容易確定的點為動點；4. 必須選某點為動點，而動系要取兩次；5. 根據(jù)題意，必須取兩次動點和動系；6. 兩個不相關(guān)的動點，可根據(jù)題意來確定；8.2 點的速度合成定理例1 如圖所示，偏心距為e、半徑為R的凸輪，以勻角速度w

7、 繞O軸轉(zhuǎn)動，桿AB能在滑槽中上下平動，桿的端點A始終與凸輪接觸，且OAB成一直線。求在圖示位置時，桿AB的速度。 ABeCOqwvevavrq解：因為桿AB作平動。選取桿AB的端點A作為研究的動點，動系隨凸輪一起繞O軸轉(zhuǎn)動。點A絕對運動：直線運動相對運動：以C為圓心的圓周運動，牽連運動：凸輪繞O軸的轉(zhuǎn)動。例2 刨床的急回機構(gòu)如圖所示。曲柄OA的角速度為w，通過滑塊A帶動搖桿O1B擺動。已知OA=r，OO1=l，求當OA水平時O1B的角速度w1。解： 在本題中應選取滑塊A作為研究的動點，把動參考系固定在搖桿O1B上。 點A的絕對運動是以點O為圓心的圓周運動，相對運動是沿O1B方向的直線運動，而

8、牽連運動則是搖桿繞O1軸的擺動。jAO1OwBvevavrj例3 水平直桿AB在半徑為r的固定圓環(huán)上以勻速u豎直下落，如圖。試求套在該直桿和圓環(huán)交點處的小環(huán)M的速度。 解：以小環(huán)M為動點，定系取在地面上，動系取在AB桿上，動點的速度合成矢量圖如圖。由圖可得：uABOMrjvrvave例4 求圖示機構(gòu)中OC桿端點C的速度。其中v與已知，且設(shè)OA=a, ACb。 解：取套筒A為動點，動系與OC固連，分析A點速度，有vAqBCOvavevrvCwOC例5 圖示平底頂桿凸輪機構(gòu)，頂桿AB可沿導軌上下平動，偏心凸輪以等角速度w繞O軸轉(zhuǎn)動，O軸位于頂桿的軸線上，工作時頂桿的平底始終接觸凸輪表面，設(shè)凸輪半徑

9、為R，偏心距OC=e ，OC 與水平線的夾角為a，試求當a =45時，頂桿AB的速度。 解：以凸輪圓心C為動點，靜系取在地面上，動系取在頂桿上，動點的速度合成矢量圖如圖。vavevr例6 AB桿以速度v1向上作平動，CD桿斜向上以速度v2作平動，兩條桿的夾角為a，求套在兩桿上的小環(huán)M的速度。MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va解 取M為動點，AB為動坐標系，相對速度、牽連速度如圖。取M為動點，CD為動坐標系，相對速度、牽連速度如圖。由上面兩式可得：其中將等式兩邊同時向y軸投影：則動點M的絕對速度為：MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2vay例7 在水面上有兩只艦艇A 和 B均以

10、勻速度v =36 km/h 行駛，A 艦艇向東開，B 艦艇沿以 O 為圓心、半徑R =100 m的圓弧行駛。在圖示瞬時，兩艇的位置S=50m, =30 ，試求：（1） B艇相對 A艇的速度。（2）A艇相對B艇的速度。 東北BAROS東北=30BAROSVe1Va1Vr13030(1) 求B艇相對于是A艇的速度。以 B為動點，動系固連于A艇。由圖（b）的速度矢量 (2) 求A相對于B的速度，以A為動點，動系固連于B艇。東北=30BAROSVa2Vr2Ve2可見，A相對B的速度并不一定等于B相對A的速度。例9 如圖車A沿半徑為150m的圓弧道路以勻速 行駛，車B沿直線道路以勻速 行駛 ，兩車相距3

11、0m，求：（1）A車相對B車的速度；（2）B車相對A車的速度。 解：（1）以車A為動點，靜系取在地面上，動系取在車B上。動點的速度合成矢量圖如圖。由圖可得：（2）以車B為動點，靜系取在地面上，動系取在車A上。動點的速度合成矢量圖如圖。二、動點、動系選取的一般原則1、動點與動系不能選在同一物體上遵循這兩條原則，具體問題具體選取。下面分情況討論動點、動系的選取方法。2、要使動點的相對軌跡易于確定1、有明顯的動點例如，礦砂從傳送帶A落入到另一傳送帶B上，如圖所示。再例如，在運動的車上看雨滴的運動。礦砂與雨滴都是明顯的動點。有明顯動點時，就選該點為動點，動系與另一運動著的物體固連。解：1 運動分析 牽

12、連運動：繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動 相對運動：沿半圓環(huán)的圓周運動絕對運動：未知曲線運動 動系：與半圓環(huán)固連動點：小圓環(huán)M定系：與地基固連例1、半徑r=1m的半圓環(huán)以轉(zhuǎn)動方程= t- t2 繞O軸轉(zhuǎn)動，小圓環(huán)套在半圓環(huán)上，以相對運動方程s=r(t- t2) 運動。試求t=1s時，小圓環(huán)的速度。33 t=1s時， =23 = =sr23 所以vr= =dsdt3vrveve= OM =ddt332 速度分析大小 方向va= ve + vr? ? va2、主、從二件在接觸點處有相對運動，且有不變的接 觸點。例如，圖中對O1A來講，始終是O1A 上的A點與AB桿接觸。 O1A 上的A點就是不變的接觸點。此時，選

13、不變的接觸點為動點，動系與另一物體固連。解：1 運動分析 牽連運動：OA桿繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動 相對運動：沿OA的直線運動絕對運動：水平直線運動 動系：與OA桿固連動點：BC桿B端定系：與地基固連例2、桿OA長l，由推桿推動在圖面內(nèi)繞O點運動，已知圖示瞬時推桿的速度為u，彎頭長為a，OC=s。求該瞬時桿端A的速度。 于是 所以2 速度分析大小 方向va= ve + vr? u? 如圖畫出速度平行四邊形。由圖中的幾何關(guān)系得：vavrveve = va sin= ua s2+a2OA= ve OB= ua s2+a2vA= OA l = ual s2+a2vA3、主、從二件在接觸點處有相對運動，沒有不

14、變的接 觸點。例如，圖中的接觸點對主、從二件來講，時時刻刻在改變，沒有不變的接觸點。此時，不能選接觸點為動點。應選機構(gòu)上某一特殊點為動點。（相對軌跡比較明顯）解：1 運動分析 牽連運動：頂桿的直線平動 相對運動：平行于MN的直線運動絕對運動：以O(shè)為圓心、e為半徑的圓周運動動系：與頂桿AB桿固連動點：輪心C定系：與地基固連例3、已知、R、e，O、A、B在一條鉛直線上。求圖示瞬時，AB桿的速度。2 速度分析大小 方向va= ve + vr? e? 如圖畫出速度平行四邊形。由圖中的幾何關(guān)系得：vavrveve = va cos= e cos類似的有4、求兩個不相關(guān)物體間的相對運動。動點、動系要依據(jù)題

15、意選取。例4、如圖A車、B車，vA=vB=v、R求AO=s、=30瞬時（1）B車相對于A車的速度（2）A車相對于B車的速度解（1）B車相對于A車的速度 牽連運動：A車的直線平動 相對運動：未知的曲線運動絕對運動：以O(shè)為圓心，R為半徑的圓周運動動系：與A車固連動點：B車定系：與地基固連vavrve如圖畫出速度平行四邊形。由圖中的幾何關(guān)系得：vr = 3 v=30（2） 牽連運動：繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動 相對運動：未知的曲線運動絕對運動：水平向右的直線運動動系：與B車固連動點：A車定系：與地基固連va1vr1ve1如圖畫出速度平行四邊形。由圖中的幾何關(guān)系得：vr1 = v1+s2R2=arcsinsR2

16、 +s25、已知兩物體均在運動，求交點的運動。動點為交點，動系選取兩次，進行兩次運動分析，聯(lián)立求解。分析：交點M既不在AB上，也不在CD上，為便于想象，可以把交點假想為套在兩物體上的小環(huán)。例5、已知兩直線速度為v1、v2，求圖示瞬時交點M的速度。解：動系：與AB桿固連動點：交點M定系：與地基固連第一次運動分析第一次速度分析大小 方向va1= ve1 + vr1? v1（1）? ? ve1vr1動系：與CD桿固連動點：交點M定系：與地基固連第二次運動分析第二次速度分析大小 方向va2= ve2 + vr2? v2（2）? ? ve2vr2（1）、（2）式聯(lián)立得：畫出速度矢量圖如圖a所示。 方向v

17、2（3）? 大小 = ve2 + vr2 ve1 + vr1v1? 將（3）式向y軸取投影得ve1 = ve2 cos+ vr2 sin解得vr2 = v1 - v2 cossin（4）ve2vr2ve1vr1y圖a將（4）式代入（2）式得由圖中得幾何關(guān)系得 vM = va = v22 + vr22 = v12 + v22 -2v1v2cos1sin畫出速度平行四邊形如圖b所示大小 方向va2= ve2 + vr2vM? v2? vM方向 = arctanv1 - v2 cosv2 sinve2vr2va 圖b 類似的有例2.半圓輪沿斜坡向下滑動,圖示時刻速度和加速度已知，試求此刻AB桿的速度和加速度AB300600RCABC1.確定動點動系以AB桿上的A為動點，動系固定在半圓輪上2.運動分析絕對運動：鉛垂方向直線運動，速度、加速度方向已知，大小待定牽連運動：隨半圓輪直線平行移動，速度、加速度方向大小已知相對運動： A點相對半圓輪的圓周運動，速度、加速度大小待定，方向已知解：3. 速度合成求得例15 牛