研究生入學(xué)考試研究生翻譯第1章課件

1、課程名稱：數(shù)值分析或計(jì)算方法第一章 數(shù)值計(jì)算中的誤差分析（緒論）內(nèi)容提要 1.1 計(jì)算方法的任務(wù)與特點(diǎn) 1.2 誤差與誤差估計(jì)(誤差知識(shí)) 1.3 選用算法時(shí)應(yīng)遵循的原則1.1計(jì)算方法的任務(wù)與特點(diǎn)科學(xué)與工程計(jì)算過程：實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)值問題算法程序調(diào)試結(jié)果建立數(shù)學(xué)模型： 辨析實(shí)際問題其中的主要矛盾和次要矛盾，并在合理假設(shè)的條件下，運(yùn)用各種數(shù)學(xué)理論、工具和方法，建立起問題中不同量之間的聯(lián)系 ，即得到數(shù)學(xué)模型。計(jì)算機(jī)用途分類：科學(xué)計(jì)算、數(shù)據(jù)處理提出數(shù)值問題 數(shù)值問題是指有限個(gè)輸入數(shù)據(jù)（問題的自變量、原始數(shù)據(jù)）與有限個(gè)輸出數(shù)據(jù)（待求解數(shù)據(jù)）之間函數(shù)關(guān)系的一個(gè)明確無歧義的描述。這正是數(shù)值分析所研究的對(duì)

2、象。 數(shù)值問題舉例 是用一階常微分方程初值問題表示的數(shù)學(xué)模型，要求無窮多個(gè)輸出，因而它不是數(shù)值問題 。但當(dāng)我們要求出有限個(gè)點(diǎn)處函數(shù)值的近似值時(shí)，便成為一數(shù)值問題。 設(shè)計(jì)高效可靠的算法 計(jì)算方法的任務(wù)之一就是提供求得數(shù)值問題近似解的方法算法。 算法：指把對(duì)數(shù)學(xué)問題的解法歸結(jié)為只有加、減、乘、除等基本運(yùn)算，并確定運(yùn)算次序的完整而準(zhǔn)確的描述。算法分類: 從算法執(zhí)行所花費(fèi)的時(shí)間角度來講，若算術(shù)運(yùn)算占絕大多數(shù)時(shí)間則稱其為數(shù)值型算法，否則為非數(shù)值型算法。 本課程介紹數(shù)值型串行算法。（其它類型算法參閱數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、并行算法等課程。） 算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收斂性、穩(wěn)定性、誤差估計(jì)等幾個(gè)方面。這些是

3、數(shù)值分析研究的第二個(gè)任務(wù)。 一個(gè)算法在保證可靠的大前提下再評(píng)價(jià)其優(yōu)劣才是有價(jià)值的。算法的優(yōu)劣評(píng)價(jià)：可靠算法的優(yōu)劣，應(yīng)該考慮其時(shí)間復(fù)雜度（計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間）、空間復(fù)雜度（占據(jù)計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間的多少）以及邏輯復(fù)雜度（影響程序開發(fā)的周期以及維護(hù)）。這是數(shù)值分析研究的第三個(gè)任務(wù)。計(jì)算方法的特點(diǎn)嚴(yán)密的科學(xué)性、操作的實(shí)踐性、高度抽象性、應(yīng)用的廣泛性、提供算法、算法分析、兼顧計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)：有效數(shù)字（精度）、運(yùn)算量、存儲(chǔ)量等。算法應(yīng)用狀態(tài) 計(jì)算方法研究對(duì)象以及解決問題方法的廣泛適用性，著名流行軟件如Maple、Matlab、Mathematica等已將其絕大多數(shù)內(nèi)容設(shè)計(jì)成函數(shù)，簡(jiǎn)單調(diào)用之后便可以得到運(yùn)行結(jié)果。 但

4、由于實(shí)際問題的具體特征、復(fù)雜性， 以及算法自身的適用范圍決定了應(yīng)用中必須選擇、設(shè)計(jì)適合于自己特定問題的算法，因而掌握數(shù)值方法的思想和內(nèi)容是至關(guān)重要的?？茖W(xué)與工程計(jì)算過程小結(jié)提出實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型提出數(shù)值問題設(shè)計(jì)可靠、高效的算法程序設(shè)計(jì)、上機(jī)實(shí)踐計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果的可視化 在具體問題的求解過程中，上述步驟形成一個(gè)循環(huán)。 科學(xué)計(jì)算（數(shù)值模擬）已經(jīng)被公認(rèn)為與理論分析、實(shí)驗(yàn)分析并列的科學(xué)研究三大基本手段之一。 鑒于實(shí)際問題的復(fù)雜性，通常將其具體地分解為一系列子問題進(jìn)行研究，本課程主要涉及如下幾個(gè)方面問題的求解算法：函數(shù)的插值和曲線擬合數(shù)值積分和數(shù)值微分線性方程組求解、非線性方程（組）求解代數(shù)特征值問題

5、常微分方程數(shù)值解法 本課程主要內(nèi)容1.2 誤差知識(shí)（誤差與數(shù)值計(jì)算中的誤差估計(jì)） 內(nèi)容提要：誤差的來源及其分類誤差的度量（誤差與有效數(shù)字）數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)一、誤差來源及其分類1)模型誤差（描述誤差） 反映實(shí)際問題有關(guān)量之間的計(jì)算公式（數(shù)學(xué)模型）通常是近似的。2）觀測(cè)誤差 數(shù)學(xué)模型中包含的某些參數(shù)是通過觀測(cè)得到的。 在計(jì)算方法中不研究這兩類誤差，總是假定數(shù)學(xué)模型是正確合理的反映了客觀實(shí)際問題。3）截?cái)嗾`差（方法誤差） 數(shù)值方法精確解與待求解模型的理論分析解之間的差異。 這是由于我們需要將無窮過程截?cái)酁橛邢捱^程，而使得算法必須在有限步內(nèi)執(zhí)行結(jié)束而導(dǎo)致的。例如：4）舍入誤差 在實(shí)現(xiàn)數(shù)值方法的過程中

6、，由于計(jì)算機(jī)表示浮點(diǎn)數(shù)采用的是有限字長(zhǎng)，因而僅能夠區(qū)分有限個(gè)信息，準(zhǔn)確表示某些數(shù)，不能準(zhǔn)確表示所有實(shí)數(shù)，這樣在計(jì)算機(jī)中表示的原始輸入數(shù)據(jù)、中間計(jì)算數(shù)據(jù)、以及最終輸出結(jié)果必然產(chǎn)生誤差，稱此類誤差為舍入誤差。 如利用計(jì)算機(jī)計(jì)算e的近似值en時(shí)，實(shí)際上得不到en的精確值，只能得到en的近似e*；這樣e*作為e的近似包含有舍入誤差和截?cái)嗾`差兩部分： 二、誤差的度量絕對(duì)誤差相對(duì)誤差有效數(shù)字度量間的關(guān)系1. 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差定義：準(zhǔn)確值 x 減近似值 x* 絕對(duì)誤差限：書上有錯(cuò)！改正2.相對(duì)誤差Remark: 絕對(duì)誤差限雖然能夠刻劃對(duì)同一真值不同近似的好壞，但它不能刻劃對(duì)不同真值近似程度的好壞 。有效數(shù)：

7、當(dāng)x*為四舍五入得到的近似數(shù)，則稱x*為有效數(shù)。有效數(shù)的絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差限，有效數(shù)字位數(shù)例：若有效數(shù)x*=1.02,則絕對(duì)誤差限 (x*)=0.005，相對(duì)誤差限 (x*)= (x*)/| x*|= 0.0049，x*具有3位有效數(shù)字.若有效數(shù)x*= 2500，則絕對(duì)誤差限 (x*)=0.5，相對(duì)誤差限 (x*)= (x*)/| x*|= 0.0002x*具有4位有效數(shù)字.若x*= 25102，則 (x*)=50 ，(x*)= (x*)/| x*|= 0.02，x*具有2位有效數(shù)字. 2900=29.00102 29102關(guān)于某一位的半個(gè)單位3.有效數(shù)字（教材第6頁(yè)中間）：若近似數(shù)x*的絕

8、對(duì)誤差限是（不超過）某一位的半個(gè)單位，則稱其精確到這一位，且從該位到x*的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱近似數(shù)x*具有n位有效數(shù)字.分兩種情況：有效數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)若既知道x*，又知道x時(shí)，如何求有效數(shù)字位數(shù)？見下例：舉例：x=3.1415926,近似數(shù) x1*=3.14102, x2*=3.1423位有效數(shù)字，非有效數(shù)4位有效數(shù)字，有效數(shù) 數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式Remark1: 有效數(shù)的誤差限是末位數(shù)單位的一半，可見有效數(shù)本身就體現(xiàn)了誤差界。Remark2: 對(duì)真值進(jìn)行四舍五入得到有效數(shù)。Remark3:準(zhǔn)確數(shù)字有無窮多位有效數(shù)字。Remark4: 從實(shí)驗(yàn)儀器所讀的近似數(shù)（最后一為是估計(jì)位）不是有效數(shù)，

9、估計(jì)最后一位是為了確保對(duì)最后一位進(jìn)行四舍五入得到有效數(shù)。例 從最小刻度為厘米的標(biāo)尺讀得的數(shù)據(jù)123.4cm是為了得到有效數(shù)123.cm,讀得數(shù)據(jù)156.7cm是為了得到有效數(shù)157.cm。4.誤差度量間的聯(lián)系絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差絕對(duì)誤差與有效數(shù)字（教材第7頁(yè)1.2.2式）相對(duì)誤差與有效數(shù)字（教材第8頁(yè)1.2.3式）定理證明證畢Remark1、該定理實(shí)質(zhì)上給出了一種求相對(duì)誤差限的方法。2、僅從 并不能保證x*一定具有n位有效數(shù)字。如 設(shè)其近似值a=0.484，其相對(duì)誤差為：我們并不能由此斷定a有兩位有效數(shù)字，因?yàn)槔}解：三、數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)概念：近似數(shù)參加運(yùn)算后所得之值一般也是近似值，含有誤差，

10、將這一現(xiàn)象稱為誤差傳播 。誤差傳播的表現(xiàn)：算法本身可能有截?cái)嗾`差； 初始數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)的浮點(diǎn)表示一般有舍入誤差； 每次運(yùn)算一般又會(huì)產(chǎn)生新的舍入誤差，并傳播以前各步已經(jīng)引入的誤差；誤差有正有負(fù)，誤差積累的過程一般包含有誤差增長(zhǎng)和誤差相消的過程，并非簡(jiǎn)單的單調(diào)增長(zhǎng)； 運(yùn)算次數(shù)非常之多，不可能人為地跟蹤每一步運(yùn)算。 初值誤差傳播：假設(shè)每一步都是準(zhǔn)確計(jì)算，即不考慮截?cái)嗾`差和由運(yùn)算進(jìn)一步引入的舍入誤差，僅介紹初始數(shù)據(jù)的誤差傳播規(guī)律。研究方法：泰勒（Taylor）方法 n元函數(shù)復(fù)習(xí)泰勒公式泰勒公式分析初值誤差傳播相對(duì)誤差（教材第9頁(yè)1.2.6式）：進(jìn)而得到如下絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限傳播關(guān)系： 二元函數(shù)算術(shù)

11、運(yùn)算誤差傳播規(guī)律絕對(duì)誤差限相對(duì)誤差限例題：參見教材第10頁(yè)例3選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法。定義：一個(gè)算法, 如果在運(yùn)算過程中舍入誤差在一定條件下能夠得到控制, 或者舍入誤差的增長(zhǎng)不影響產(chǎn)生可靠的結(jié)果, 則稱該算法是數(shù)值穩(wěn)定的, 否則稱其為數(shù)值不穩(wěn)定.例：計(jì)算如下積分近似值的兩種方案比較方法1：1.3 選用算法應(yīng)遵循的原則方法1計(jì)算結(jié)果方法一結(jié)果分析方法一分析：計(jì)算結(jié)果表明, 舍入誤差的傳播近似依5的冪次進(jìn)行增長(zhǎng), 因而是一種不穩(wěn)定的方法。 方法二：由此分析知，該方法是穩(wěn)定的。關(guān)于初值的近似可由下面式子得到：方法2計(jì)算結(jié)果簡(jiǎn)化計(jì)算步驟以減少運(yùn)算次數(shù)。例1例2 秦九韶算法 例盡量避免相近的數(shù)相減 例 x=52.127 x*=52.129 四位有效數(shù)字 y=52.123 y*=52.121 四位有效數(shù)字 A=x-y=0.004 A*=x*-y*=0.008 零位有效數(shù)字結(jié)論：避免相近數(shù)相減合理安排量級(jí)相差很大的數(shù)之間的運(yùn)算次序, 盡可能避免大數(shù)“吃掉”小數(shù)。一些避免相近數(shù)相減示例當(dāng)|x|1時(shí)當(dāng)|x|1時(shí)盡可能避免絕對(duì)值很小的數(shù)做分母，防止出現(xiàn)溢出。當(dāng)a,b中有近似值時(shí)，由若 ，則 可能很大。當(dāng)a,b都是準(zhǔn)確值時(shí)，