常數(shù)項級數(shù)概念與性質(zhì)

1、關(guān)于常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)第一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月為什么要研究無窮級數(shù)是進(jìn)行數(shù)值計算的有效工具(如計算函數(shù)值、出它的威力. 在自然科學(xué)和工程技術(shù)中, ?無窮級數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式.因無窮級數(shù)中包含有許多非初等函數(shù),故它在積分運算和微分方程求解時,也呈現(xiàn)如諧波分析等.造函數(shù)值表).級數(shù)來分析問題,也常用無窮第二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月2常數(shù)項級數(shù)的概念收斂級數(shù)的基本性質(zhì)柯西審斂原理 小結(jié) 思考題 第12章 無窮級數(shù)constant term infinite series12.1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)第三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月3

2、引例 依次作圓內(nèi)接正邊形, 這個和逼近于圓的面積 A .即設(shè)a0表示內(nèi)接正三角形面積, ak表示邊數(shù)增加時增加的面積, 則圓內(nèi)接正一、常數(shù)項級數(shù)的概念用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.邊形面積為第四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月41. 級數(shù)的定義(常數(shù)項)無窮級數(shù)一般項如 以上均為(常)數(shù)項級數(shù).(1)第五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月5這樣, 級數(shù)(1)對應(yīng)一個部分和數(shù)列:稱無窮級數(shù)(1)的2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散概念按通常的加法運算一項一項的加下去,為級數(shù)(1)的無窮級數(shù)定義式(1)的含義是什么?也算不完,永遠(yuǎn)那么如何計算?前n項和部分和.(1)從無限到有限, 再從有限

3、(近似)到無限(精確)第六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月6部分和數(shù)列可能存在極限,也可能不存在極限.定義12.1則稱無窮級數(shù)并寫成即常數(shù)項級數(shù)收斂(發(fā)散).(不存在)存在當(dāng)n無限增大時,部分和數(shù)列sn有極限s,如果sn沒有極限,第七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月7對收斂級數(shù)(1),為級數(shù)(1)的余項或余和.顯然有當(dāng)n充分大時,級數(shù)的斂散性它與部分和數(shù)列是否有極限是等價的.(1)稱差誤差為第八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月8例而所以,的部分和 級數(shù)級數(shù)發(fā)散.第九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月9解(重要)例討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))的收斂性. 級數(shù)收斂

4、; 因為 所以第十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月10級數(shù)發(fā)散;級數(shù)發(fā)散;級數(shù)發(fā)散. 綜上:級數(shù)變?yōu)?因為 所以 所以第十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月11解例 判定級數(shù)的收斂性.因為所以第十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月12其余項為即所以所以級數(shù)收斂,第十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月13例 因為后式減前式, 得證證明級數(shù)并求其和.收斂,第十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月14故 所以, 此級數(shù)收斂,且其和為 2.第十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月15的部分和分別為 則于是也不存在極限.證性質(zhì)12.1設(shè)常數(shù)則有相同

5、的斂散性.所以, 有相同的斂散性.結(jié)論: 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), 斂散性不變.二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)16第十六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月討論級數(shù)的斂散性.解例因為為公比的等比級數(shù),是以故級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.第十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月17性質(zhì)12.2設(shè)有兩個級數(shù)發(fā)散.收斂,發(fā)散,均發(fā)散,斂散性不確定.證極限的性質(zhì)即證.級數(shù)的部分和結(jié)論: 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.第十八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月18 例都收斂.無窮遞減等比數(shù)列的和第十九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月19都發(fā)散.但級數(shù)收斂.例若兩級數(shù)都發(fā)散,不一定

6、發(fā)散.第二十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月20將級數(shù)的前 k 項去掉,的部分和為級數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級數(shù)收斂時, 其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項的情況 .極限狀況相同, 故新舊兩所得新級數(shù)性質(zhì)12.3 添加、去掉或改變有限項不影響證一個級數(shù)的斂散性.推論11.2 在級數(shù)中添加、去掉或改變有限項不影響一個級數(shù)的斂散性.第二十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月21性質(zhì)11.4設(shè)級數(shù)收斂,在此收斂級數(shù)內(nèi)可以任意加(有限個或無限個)括號, 一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散, 注則原級數(shù)發(fā)散.事實上,加括后的級數(shù)就應(yīng)該收斂了.設(shè)原來的級數(shù)收斂,則根據(jù)性質(zhì)11.4, 收斂 發(fā)散 一

7、個級數(shù)加括號后收斂,原級數(shù)斂散性不確定.收斂于原級數(shù)的和所得新級數(shù)仍要強(qiáng)調(diào)的是,收斂級數(shù)一般不能去掉無窮多個括號;發(fā)散級數(shù)一般不能加無窮多個括號.(這個性質(zhì)也稱無窮和的結(jié)合律).第二十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月22性質(zhì)12.4 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.設(shè)收斂級數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級數(shù)的部分和數(shù)列 為原級數(shù)部分和數(shù)列 的一個子數(shù)列,因此必有例如證第二十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月23證此定理是級數(shù)收斂的必要條件.設(shè)則所以定理12.5則注(1) 此定理常用來判別級數(shù)發(fā)散;(3) 此定理是必要條件而不是充分條件.(2) 也可用此定理求或驗

8、證極限為“0”的極限;即如調(diào)和級數(shù)但級數(shù)是卻是發(fā)散的.(后面將給予證明)第二十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月24例判別下列級數(shù)的斂散性級數(shù)收斂的必要條件常用判別級數(shù)發(fā)散.解題思路第二十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月25解由于發(fā)散解由于發(fā)散第二十六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月26 解而級數(shù)所以這個等比級數(shù)發(fā)散.由性質(zhì)11.1知,發(fā)散.因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,為公比的等比級數(shù),是以收斂.由性質(zhì)11.2知,第二十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月27練習(xí)為收斂級數(shù),a為非零常數(shù),試判別級數(shù)的斂散性.解因為收斂,故從而故級數(shù)發(fā)散.級數(shù)收斂的必要條件:第二十八

9、張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月28三、柯西審斂原理（柯西準(zhǔn)則） 定理12.6(判別級數(shù)收斂性的柯西收斂原理)有證 設(shè)所給級數(shù)部分和數(shù)列為sn由判斷數(shù)列收斂性的柯西準(zhǔn)則知,對于任意正整數(shù)p,柯西收斂準(zhǔn)則數(shù)列xn收斂的充要條件是:有數(shù)列sn收斂的充要條件是:有顯然,可改寫為當(dāng)有有第二十九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月29利用柯西收斂原理證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散.例證考慮此級數(shù)的一段顯然,這說明:不論n多么大,調(diào)和級數(shù)的這一段的絕對值都不可能任意小,由柯西收斂原理得知,調(diào)和級數(shù)發(fā)散.柯西收斂準(zhǔn)則數(shù)列xn收斂的充要條件是:有第三十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月30利用柯西收斂原理判定級數(shù)例解的收斂性.因?qū)θ我庹麛?shù)p, 都有第三十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月31有對于任意正整數(shù)p,按柯西收斂原理,所以取正整數(shù)成立.柯西收斂準(zhǔn)則數(shù)列xn收斂的充要條件是:有第三十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月32則下列結(jié)論正確的是研究生考題(數(shù)學(xué)三) 選擇, 4分練習(xí)(D)對 因為即所以有極限,有極限,所以(D)成立.(C) 錯因為所以即(A)錯 則則與(D)正確矛盾.同理(B)錯.第三十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月33常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法:(3) 按基本性質(zhì);則級數(shù)收斂;由定義,(2)則級數(shù)發(fā)散;一般項、部分和、收斂、發(fā)