齊魯醫(yī)學(xué)傳染病傳播模型

1、傳染病傳播模型 人們不可能去做傳染病傳播的試驗(yàn)以獲取數(shù)據(jù)，從醫(yī)療衛(wèi)生部門得到的資料也是不完全和不充分的。不同類型的傳染病的傳播過(guò)程有其各自不同的特點(diǎn)，弄清這些特點(diǎn)需要相當(dāng)多的病理知識(shí)，這里更不可能從醫(yī)學(xué)的角度來(lái)分析各種傳染病的傳播，所以，我們只能按照一般的傳播機(jī)理建立模型。12021/10/23 星期六 傳染病傳播問(wèn)題和自然科學(xué)中一些已經(jīng)有確定規(guī)律的問(wèn)題不同，不可能立即對(duì)它做出恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，建立完善的模型，只能先做出最簡(jiǎn)單的假設(shè)，建立模型，得出結(jié)果，分析是否符合實(shí)際，然后針對(duì)其不合理或不完善處，進(jìn)行修改或補(bǔ)充假設(shè)，逐步得到較為合理的模型。 22021/10/23 星期六模型 1（SI 模型） 假

2、設(shè)條件 (1) 人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類，以下簡(jiǎn)稱健康者和病人。時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別記為s(t) 和 i(t)。 (2) 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，并且時(shí)間以天為計(jì)量單位。 (3) 每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù) ， 稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕?32021/10/23 星期六 根據(jù)假設(shè)，每個(gè)病人每天可使 s(t) 個(gè)健康者變?yōu)椴∪恕Ｒ驗(yàn)椴∪藬?shù)為Ni(t)，所以每天共有 Ns(t)i(t) 個(gè)健康者被感染，即病人數(shù)Ni(t) 的增加率為 N

3、s(t)i(t)。于是得到人員流程圖如下42021/10/23 星期六進(jìn)而有再設(shè)初始時(shí)刻（t = 0）病人的比例為i0，則由 s(t) + i(t) = 1，得到初值問(wèn)題 Logistic 模型52021/10/23 星期六初值問(wèn)題的解為 62021/10/23 星期六可畫出 i(t) t 和 di/dt i 的圖形為 i(t) t 的圖形72021/10/23 星期六di/dt i 的圖形82021/10/23 星期六于是可知： 當(dāng) t 時(shí)，i1，即所有人終將被傳染，全變?yōu)椴∪耍@顯然不符合實(shí)際情況。其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會(huì)再變成健康者。 9

4、2021/10/23 星期六 然而，這個(gè)模型在傳染病流行的前期還是可用的，可用它來(lái)預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來(lái)：當(dāng) i = 1/2時(shí)，di/dt 達(dá)到最大值 (di/dt)m，這個(gè)時(shí)刻為 這時(shí)病人增加得最快，可以認(rèn)為是醫(yī)院的門診量最大的一天，預(yù)示著傳染病高潮的到來(lái)，是醫(yī)療衛(wèi)生部門關(guān)注的時(shí)刻。 102021/10/23 星期六 還可以看出，tm 與 成反比。因?yàn)槿战佑|率 表示給定地區(qū)的衛(wèi)生水平， 越小衛(wèi)生水平越高，所以改善保健設(shè)施、提高衛(wèi)生水平可以推遲傳染病高潮的到來(lái)。 112021/10/23 星期六模型 2（不考慮出生和死亡的 SIS 模型） 有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等治愈后免疫力很低，可以假定無(wú)免疫

5、性，于是病人被治愈后變成健康者，健康者還可以被感染再變成病人，所以在 SI 模型的基礎(chǔ)上，增加一個(gè)假設(shè)條件就會(huì)得到 SIS 模型。 假設(shè)條件 (1) 人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類，以下簡(jiǎn)稱健康者和病人。時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別記為 s(t) 和 i(t)。 122021/10/23 星期六 (2) 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù) N不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，并且時(shí)間以天為計(jì)量單位。 (3) 每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù) ， 稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕?(4) 每天被治愈的病人

6、數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù) ，稱為日治愈率。病人被治愈后稱為仍可被感染的健康者，1/ 稱為這種傳染病的平均傳染期。 132021/10/23 星期六如果考慮到假設(shè)條件 (4)，則人員流程圖如下 于是有142021/10/23 星期六記初始時(shí)刻的病人的比例 i0（i0 0），從而 SI模型可以修正為我們稱之為 Bernolli（貝努里）方程的初值問(wèn)題，其解析解為152021/10/23 星期六其中 = /。 由 和 1/ 的含義可知， 是整個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，稱為接觸數(shù)。于是有162021/10/23 星期六我們畫出 di/dt i 和 i t 的圖形為 di/dt i 的圖形（

7、 1） 172021/10/23 星期六i(t) t 的圖形（ 1） 182021/10/23 星期六di/dt i 的圖形（ 1） 192021/10/23 星期六i(t) t 的圖形（ 1） 202021/10/23 星期六模型 3（考慮出生和死亡的 SIS 模型） 當(dāng)傳染病的傳播周期比較長(zhǎng)時(shí)，若不考慮出生和死亡因素顯然不妥，接下來(lái)考慮帶有出生和死亡情況的 SIS 模型。 假設(shè)條件 (1) 人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類，以下簡(jiǎn)稱健康者和病人。時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別記為 s(t) 和 i(t)。212021/10/23 星期六

8、 (2) 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)為N，總認(rèn)為人口的出生率與死亡率相同，并且新生嬰兒全為易感染者。記平均出生率為 ，則人口的平均壽命為 1/。 (3) 每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù) ， 稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕?(4) 每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù) ，稱為日治愈率。病人被治愈后稱為仍可被感染的健康者，1/ 稱為這種傳染病的平均傳染期。222021/10/23 星期六在上述的假設(shè)條件下，人員流程圖如下 232021/10/23 星期六于是有242021/10/23 星期六 記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是 s0（s0 0）和

9、 i0（i0 0），從而考慮出生和死亡的 SIS 模型為252021/10/23 星期六而由 s + i = 1 有 ds/dt = di/dt，于是，上式的第二個(gè)方程變?yōu)楹愕仁?，從而模型?jiǎn)化為 如果令 = /(+)，則 仍表示整個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，即接觸數(shù)。于是，以下的求解與討論與不考慮出生和死亡的 SIS 模型相同。 262021/10/23 星期六模型 4（不考慮出生和死亡的 SIR 模型） 許多傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），它們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng)。272021/10/23 星期六 模型的

10、假設(shè)條件為 (1) 人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三類，三類人在總?cè)藬?shù)N中占的比例分別為 s(t)，i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接觸率為 ，日治愈率為 ，傳染期接觸數(shù)為 = /。 (3) 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù) N不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，并且時(shí)間以天為計(jì)量單位。282021/10/23 星期六在上述的假設(shè)條件下，人員流程圖如下 292021/10/23 星期六由假設(shè)條件顯然有s(t) + i(t) + r(t) = 1 302021/10/23 星期六 記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是s0（s0 0）和 i0（i0 0）（不妨設(shè)移

11、出者的初始值 r0 = 0），于是得到 SIR 模型為如下的初值問(wèn)題312021/10/23 星期六而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = di/dt ds/dt ，于是，上式的第三個(gè)方程變?yōu)楹愕仁?，從而模型?jiǎn)化為 上述的初值問(wèn)題無(wú)法求出解析解，只能通過(guò)數(shù)值解法求出數(shù)值解。322021/10/23 星期六 例如，取 = 1， = 0.3，i(0) = 0.02，s(0) = 0.98，則求得數(shù)值解如下表，相應(yīng)的 i(t)、s(t) 曲線和 i s 曲線如下圖。 t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34

12、440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398332021/10/23 星期六SIR 模型的i(t)、s(t) 曲線 342021/10/23 星期六SIR 模型的 i s 曲線352021/10/23 星期六 在實(shí)際應(yīng)用 SIR 模型時(shí)，模型中的參數(shù)經(jīng)常

13、通過(guò)一些統(tǒng)計(jì)資料來(lái)估計(jì)。 事實(shí)上，能夠求出解析解的微分方程模型是非常有限的，所以人們經(jīng)常利用定性理論從方程本身推出解的相關(guān)性質(zhì)。 對(duì)于上述的 SIR 模型，就可以采用相軌線分析的方法，來(lái)獲得i(t)、s(t) 的一般變化規(guī)律。（參教案，略）362021/10/23 星期六模型 5（考慮出生和死亡的 SIR 模型） 模型的假設(shè) (1) 人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三類，三類人在總?cè)藬?shù) N 中占的比例分別為 s(t)，i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接觸率為 ，日治愈率為 ，傳染期接觸數(shù)為 = /。 (3) 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)為N，總認(rèn)為人口的出生率與死亡率相同，并且新生嬰兒全為易感染者。記平均出生率為 ，則人口的平均壽命為 1/。 372021/10/23 星期六在上述的假設(shè)條件下，人員流程圖如下 382021/10/23 星期六此時(shí)由假設(shè)條件有s(t) + i(t) + r(t) = 1 392021/10/23 星期六 記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是s0（s0 0）和 i0（i0 0）（不妨設(shè)移出者的初始值 r0 = 0），于是得到考慮出生和死