如何求三角函數(shù)的周期

1、 如何求三角函數(shù)的周期三角函數(shù)的的周期是三角函數(shù)的重要性質(zhì)，對(duì)于不同的三角函數(shù)式，如何求三角函數(shù)的周期也是一個(gè)難點(diǎn)，下面通過幾個(gè)例題談?wù)勅呛瘮?shù)周期的求法1、根據(jù)周期性函數(shù)的定義求三角函數(shù)的周期2x例1求下列函數(shù)的周期ysin2x,(2)y=tan.(1)分析：根據(jù)周期函數(shù)的定義，問題是要找到一個(gè)最小正數(shù)T,對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的每一個(gè)x值都能使sin2(x+T尸sin2x成立，同時(shí)考慮到正弦函數(shù)y=sinx的周期是2,.解：Tsin2xsin(2x+2,)=sin2(x+,),即sin2(x+,)=sin2x.當(dāng)自變量由x增加到x+兀時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因此ysin2x的周期是,.(2)分析：根

2、據(jù)周期函數(shù)的定義，問題是要找到一個(gè)最小正數(shù)T,對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的每一個(gè)x值都能使tan3(x+T)=tan成立，同時(shí)考慮到正切函數(shù)y=tanx的周期TOC o 1-5 h z2x2x23232x解：Ttan=tan(+,)=tan(x+,),即tan(x+,)=tan-.33323232x3函數(shù)y=tan_的周期是2兀注意：1、根據(jù)周期函數(shù)的定義，周期T是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x的增加值，如f(2x+T)=f(2x),周期不是T，而是2T；2、“f(x+T)=f(x)是定義域內(nèi)的恒等式，即對(duì)于自變量x取定義域內(nèi)的每個(gè)值時(shí)，上式都成立.2、根據(jù)公式求周期2,對(duì)于函數(shù)y=Asin(x+申)+B或

3、y=ACOs(x如+B的周期公式是T=而|，對(duì)于函數(shù)y=Atan(x+申)+B或y=cot(x+申)+B的周期公式是T=-|例3求函數(shù)y=3sin(3x-：)的周期262,4,解：T=.23、把三角函數(shù)表達(dá)式化為一角一函數(shù)的形式，再利用公式求周期例4求函數(shù)y=23sinxcosx-2sin2x的周期解:y=23sinxcosx-2sin2x=3sin2x+cos2x-1，2(fsin2x+2cos2x)-1，2sin(2xG)-1xxx例5已知函數(shù)f(x)，sin3(sin3+3S3),求周期TOC o 1-5 h zxxx12x12x解：Tf(x)，sin2+sincos，(1一cos)+s

4、in-33323231.2x2x、12.,2x兀、，+(sincos)，+sin()23322344、遇到絕對(duì)值時(shí)，可利用公式IaI，a2,化去絕對(duì)值符號(hào)再求周期 # #1+cos2x2例6求函數(shù)y，IcosxI的周期解：Ty，IcosxI，cos2x，例7求函數(shù)y，IsinxI+IcosxI的周期解:Ty，IsinxI+1cosxI，sinxI+1cosxI2，1+1sin2xI，1+sin22x,1+1cos4x,1+1(1cos4x)222兀兀函數(shù)y，IsinxI+IcosxI的最小正周期T，可，25、若函數(shù)y，f1(x)+f2(x)+fk(x)，且f1(x)，f2(x)，fk(x)，都

5、是周期函數(shù),且最小正周期分別為T1，。匚，如果找到一個(gè)正常數(shù)使T，n17；，n2T2，叭，(n1，nk均為正整數(shù)且互質(zhì))，則丁就是y，f1(x)+小)+fk(x)的最小正周期1例8求函數(shù)y，sinx+cos-x的周期 # #解：Tsinx的最小正周期是T1，2兀，cos2x的最小正周期是T2，4兀 #函數(shù)y的周期T，n17；，叭，把T,T代入得2兀n，4兀n,即n，2n,12121 2,32,的最小正周期是T3,cosx的最小正周期是T243因?yàn)閚,n為正整數(shù)且互質(zhì)，所以n2,n.22函數(shù)ysinx+cosx的周期T=nT=2x2,=4,.21123例9求函數(shù)ysinx+cos丁x的周期34解

6、：2sinx3 # 由n1T1所以3,nn,9n32n8,n92231得nT，22Bn?（n“2為正整數(shù)且互質(zhì)）,函數(shù)ysm3x+COS4xnT8x3,24,.11 函數(shù)的周期性-函數(shù)的周期性不僅存在于三角函數(shù)中，在其它函數(shù)或者數(shù)列中突然出現(xiàn)的周期性問題更能考查你的功底和靈活性，本講重點(diǎn)復(fù)習(xí)一般函數(shù)的周期性問題明確復(fù)習(xí)目標(biāo)理解函數(shù)周期性的概念，會(huì)用定義判定函數(shù)的周期；理解函數(shù)的周期性與圖象的對(duì)稱性之間的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用函數(shù)的周期性處理一些簡單問題。二、建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的周期性定義：若T為非零常數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任一x,使恒成立，則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期。周期函數(shù)定義域必是無

7、界的若T是周期，則kT(k#0,kez)也是周期，所有周期中最小的正數(shù)叫最小正周期。一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期。周期函數(shù)并非所都有最小正周期。如常函數(shù)f(x)=C；若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(xa),則2a為函數(shù)f(x)的周期。(若f(x)滿足f(a+x)=f(ax)則f(x)的圖象以x=a為圖象的對(duì)稱軸，應(yīng)注意二者的區(qū)別)若函數(shù)f(x)圖象有兩條對(duì)稱軸x=a和x=b,(a0,使,則的一個(gè)周期是,f(px)的一個(gè)正周期是；5.數(shù)列中簡答精講：1、B;2、A；3、993；因(-1,0)是中心，x=0是對(duì)稱軸，則周期是4；4、，；5、；由已知，周期為6。經(jīng)典例題

8、做一做【例1】已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)xW(O,l)時(shí)，f(x)=x+l.求f(x)在(1,2)上的解析式。解法1：(從解析式入手，由奇偶性結(jié)合周期性，將要求區(qū)間上問題轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上。)xe(i,2),貝0-xe(-2,-1),2-xW(0,1),T=2，是偶函數(shù)：f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.x(1,2).解法2(從圖象入手也可解決，且較直觀)f(x)=f(x+2)如圖：xW(0,1),f(x)=x+1.是偶函數(shù).*.x(-1,0)時(shí)f(x)=f(-x)=-x+1.又周期為2,xe(1,2)時(shí)x-2E(-1,0)f(x)=f(x-2)=-(x

9、-2)+1=3-x.提煉方法：1.解題體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上轉(zhuǎn)化;用好數(shù)形結(jié)合,對(duì)解題很有幫助.【例2】f(x)的定義域是R,且f(x+2)1-f(x)=1+f(x)，若f(0)=2008,求f(2008)的值。解：周期為8，法二：依次計(jì)算f(2、4、6、8)知周期為8,須再驗(yàn)證。方法提煉：求周期只需要弄出一個(gè)常數(shù);注意既得關(guān)系式的連續(xù)使用.【例3】若函數(shù)在R上是奇函數(shù),且在上是增函數(shù),且.求的周期；證明f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2k,0)中心對(duì)稱;關(guān)于直線x=2k+l軸對(duì)稱,(kez);討論f(x)在(1,2)上的單調(diào)性；解：由已知f(x)=f(x+2)

10、=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.設(shè)P(x,y)是圖象上任意一點(diǎn)，則y=f(x)，且P關(guān)于點(diǎn)(2k,0)對(duì)稱的點(diǎn)為P1(4k-x,-y).P關(guān)于直線x=2k+1對(duì)稱的點(diǎn)為P2(4k+2-x,y).f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,點(diǎn)P1在圖象上，圖象關(guān)于點(diǎn)(2k,0)對(duì)稱.又f(x)是奇函數(shù),f(x+2)=-f(x)=f(-x)f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y,點(diǎn)P2在圖象上,圖象關(guān)于直線2k+1對(duì)稱.設(shè)Ivxlvx2v2，則-2v-x2v-xlv-l,0v2-x2v2-xlvl.f(x)在(-1,0)上遞增，f(2-xl)vf(2-x2)(*)又f(x

11、+2)=-f(x)=f(-x)f(2-xl)=f(xl),f(2-x2)=f(x2).(*)為f(x2)vf(xl),f(x)在(l,2)上是減函數(shù).提煉方法：總結(jié)解周期性、單調(diào)性及圖象對(duì)稱性的方法?！狙芯?欣賞】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)y=f(x)(-lWxWl)是奇函數(shù).又知y=f(x)在0,l上是一次函數(shù)，在l,4上是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值-5.證明：；求的解析式；求在上的解析式.解：.是以為周期的周期函數(shù)，且在-l,l上是奇函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，由題意可設(shè)，由得，.是奇函數(shù)，又知在上是一次函數(shù)，可設(shè)，而，當(dāng)時(shí)，從而時(shí)，故時(shí)，.當(dāng)時(shí)，有，.當(dāng)時(shí)，

12、五提煉總結(jié)以為師函數(shù)的周期性及有關(guān)概念;用周期的定義求函數(shù)的周期;函數(shù)的周期性與圖象的對(duì)稱性之間的關(guān)系;同步練習(xí)27函數(shù)的周期性【選擇題】f(X)是定義在R上的奇函數(shù)，它的最小正周期為T,則f()的值為A.0B.C.TD.(2004天津)定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).若f(x)的最小正周期是n，且當(dāng)xE0,時(shí)，f(x)=sinx，則f()的值為A.B.C.D.【填空題】設(shè)是定義在上，以2為周期的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，在區(qū)間2，3上，=,則=已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且等式f(4+x)=f(4-x)，對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，寫出f(x)的一個(gè)最小正周對(duì)任意xWR,f(x)=f(x-l

13、)+f(x+l)且f(0)=6,f(4)=3,則f(69)=設(shè)f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且,又當(dāng)x三(0,3時(shí),f(x)=2x,則f(2007)=。答案提示：1、A；由f()=f(+T)=f()=f(),知f()=0.(或取特殊函數(shù)f(x)=sinx)2、D；f()=f(2n)=f()=f()=sin=.3、;4、8；5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),：f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)=-f(x+3)f(x)=-f(x+3)=f(x+6).周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)=-f(-3+3)=-66、，周期T=6,F(2007)=

14、f(3)=6【解答題】設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為2002，并且f(1001+x)=f(1001x)對(duì)一切xWR均成立，試討論f(x)的奇偶性.解：周期是2002,Af(2002+x)=f(x),又由f(1001+x)=f(1001x)得f(2002-x)=f(x)對(duì)任意的x都有f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函數(shù).設(shè)f(x)為定義在實(shí)數(shù)集上周期為2的函數(shù)，且為偶函數(shù)，已知xW2,3時(shí)f(x)=x，求x-2,0時(shí)f(x)的解析式。 分析：由T=2可得xW-2,-l和xWO,l時(shí)的解析式；再由奇偶性可得-1，0上的解析式。解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是T=2的周期函數(shù)，所以f(x+

15、2)=f(x).又由于f(x)為偶函數(shù)，故所以解析式為設(shè)f(x)是定義在(-I+8)上的函數(shù)，對(duì)一切xWR均有f(x)+f(x+2)=0，當(dāng)-lvxWl時(shí)，f(x)=2x-1,求當(dāng)lvxW3時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式。思路分析：Jf(x)+f(x+2)=0f(x)=-f(x+2)/該式對(duì)一切xER成立，以x-2代x得：f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x)當(dāng)lvxW3時(shí)，-lvx-2Wl，.f(x-2)=2(x-2)-l=2x-5f(x)=-f(x-2)=-2x+5，:f(x)=-2x+5(lvxW3)評(píng)注：在化歸過程中，一方面要轉(zhuǎn)化自變量到已知解析式的定義域，另一方面要保持對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有

16、一定關(guān)系。在化歸過程中還體現(xiàn)了整體思想。(2005廣東)設(shè)函數(shù)在上滿足，f(7-x)=f(7+x)，且在閉區(qū)間0，7上，只有f(l)=f(3)=0。(I)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性；(II)試求方程f(x)=O在閉區(qū)間-2005,2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論解：由得即由已知易得,所以,而,從而且故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(II)由,從而知函數(shù)的周期為當(dāng)時(shí),由已知,又,則當(dāng)時(shí)，只有.方程=0在一個(gè)周期內(nèi)只有兩個(gè)解而函數(shù)在閉區(qū)間-2005，2005共含有401個(gè)周期，所以方程=0在閉區(qū)間-2005，2005共含有802個(gè)解【探索題】對(duì)于kZ,用Ik表示區(qū)間(2k-l,2k+l。已知xwIk

17、時(shí)，f(x)=(x-2k)2,當(dāng)kWN*時(shí),求集合Mk=a丨使方程f(x)=ax在Ik上有兩個(gè)不相等的實(shí)根的a的值(2)并討論f(x)的周期性。解：y=f(x)圖像就是將y=x2(xW(-1,1)向右平移2k個(gè)單位所得，其中kWN設(shè)y1=f(x),y2=ax,由集合Mk可知，若aWM，則函數(shù)yl=f(x)與y2=ax圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)x=2k+1時(shí)，0Vy2W1OVaWMk=a丨OVaW,kN,即Mk=(O,對(duì)任意，所以f(x)是2為周期的周期函數(shù)。思路點(diǎn)拔：化簡集合，弄清圖像變換規(guī)律，數(shù)形結(jié)合求解周期性的的討論注要是看你運(yùn)用定義的意識(shí)和能力函數(shù)f(x)g(x)最小正周期的求法若f(x)和g

18、(x)是三角函數(shù)，求f(x)g(x)的最小正周期沒有統(tǒng)一的方法，往往因題而異，現(xiàn)介紹幾種方法：一、定義法例1求函數(shù)y=丨sinx|+|cosx丨的最小正周期.解：Tf(x)=|sinx|+|cosx|=|sinx|+|cosx|=|cos(x+)|+|sin(x+)|=|sin(x+)|+|cos(x+)|=f(x+牛對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)X,當(dāng)X增加到x+時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因此函數(shù)的最小正周期是-.二、公式法這類題目是通過三角函數(shù)的恒等變形，轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一種函數(shù)的形式，用公式去求2其中正余弦函數(shù)求最小正周期的公式為T=両，正余切函數(shù)T=両例2求函數(shù)y=cotxtanx的最小正周期.11一tanx21一tan2x解：y=一tanx=2=2cot2xtanxtanx2tanxT=2三、最小公倍數(shù)法設(shè)f(x)與g(x)是定義在公共集合上的兩個(gè)三角周期函數(shù)，、-分別是它們的周期，且TT2,則f(x)g(x)的最小正周期、-的最小公倍數(shù)