單自由度體系的振動(dòng)

1、10.1 概 述一、靜荷載和動(dòng)荷載(1)靜荷載：荷載的大小和方向不隨時(shí)間變化 （如梁板自重）(2)動(dòng)荷載：荷載的大小和方向隨時(shí)間變化。第10章 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算二、動(dòng)荷載的分類 (1) 周期荷載 (2) 沖擊荷載 (3) 隨機(jī)荷載 三、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)四、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的任務(wù) （1）結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算中需要考慮結(jié)構(gòu)質(zhì)量的慣性力的作用。 這是結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算與靜力計(jì)算的主要區(qū)別。 （2）質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程為微分方程。 在數(shù)學(xué)處理上要比結(jié)構(gòu)靜力計(jì)算問題復(fù)雜一些。 （3）結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反映不僅與動(dòng)荷載的大小有關(guān)， 還與動(dòng)荷載的變化規(guī)律及結(jié)構(gòu)本身的動(dòng)力特性 （自振頻率、振型、阻尼）有關(guān)。 自由度的簡(jiǎn)化-集中質(zhì)量法將實(shí)際結(jié)構(gòu)

2、的質(zhì)量看成（按一定規(guī)則）集中在某些幾何點(diǎn)上，除這些點(diǎn)之外物體是無質(zhì)量的。這樣就將無限自由度系統(tǒng)變成一有限自由度系統(tǒng)。10.2 振動(dòng)體系的自由度 （1）并非一個(gè)質(zhì)量集中點(diǎn)一個(gè)自由度。 （2）結(jié)構(gòu)的自由度與是否超靜定無關(guān)。2個(gè)自由度2個(gè)自由度4個(gè)自由度靜定結(jié)構(gòu)6次超靜定結(jié)構(gòu)3次超靜定結(jié)構(gòu) （3）可用加鏈桿的方法確定自由度。自由度的確定 要了解結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的規(guī)律，首先建立描述結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的（微分）方程 建立運(yùn)動(dòng)方程的方法很多，常用的有虛功法、變分法等 這里介紹建立在達(dá)朗泊爾原理基礎(chǔ)上的“動(dòng)靜法”10.3.1 自由振動(dòng)微分方程的建立 1.剛度法（列動(dòng)平衡方程） 彈性力（恢復(fù)力）慣性力-質(zhì)點(diǎn)的自由振動(dòng)微分方

3、程取出質(zhì)點(diǎn)研究：在質(zhì)量上加慣性力， 令質(zhì)點(diǎn)平衡。10.3 單自由度體系的自由振動(dòng) 2. 柔度法（列位移方程）- 此式就是應(yīng)用柔度法建立的 質(zhì)點(diǎn)的自由振動(dòng)微分方程。在質(zhì)點(diǎn)上沿位移正向加慣性力；求外力和慣性力引起的位移；建立微分方程的步驟剛度法步驟：1.在質(zhì)量上加慣性力；2.求發(fā)生位移y所需之力；3.令該力等于體系外力和慣性力。柔度法步驟：1.在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力；2.求外力和慣性力引起的位移；3.令該位移等于體系位移。mEIlEIl1練習(xí)：列運(yùn)動(dòng)方程例1.剛度法列方程在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力-發(fā)生位移y時(shí)所需之力恢復(fù)力k11y體系在恢復(fù)力、慣性力和外力作用下平衡k11y=P(t)mEIl

4、/2EIl/2例2.剛度法列方程加慣性力-計(jì)算恢復(fù)力-k11y質(zhì)點(diǎn)在恢復(fù)力、慣性力和外力作用下平衡由于荷載沒有作用在質(zhì)點(diǎn)上，將其等價(jià)平移到質(zhì)點(diǎn)上FEFE =P/2例3.柔度法列方程mEIlEIl=1l例4.柔度法列方程=1lmEIlEIl/2l/2P(t)Pl/4加慣性力求外力和慣性力引起的位移： y=11(P - )由于荷載沒有作用在質(zhì)點(diǎn)上，單獨(dú)計(jì)算外荷載引起的位移10.3.2 自由振動(dòng)微分方程的求解 令 二階線性齊次常微分方程其通解為由初始條件得令得10.3.3 振動(dòng)分析簡(jiǎn)諧振動(dòng)自振周期自振園頻率(自振頻率)與外界無關(guān),體系本身固有的特性振幅初相位角ty(t)幾個(gè)術(shù)語： （1）周期：振動(dòng)一

5、次所需的時(shí)間（2）工程頻率： 單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù) 與周期互為倒數(shù) （3）頻率（圓頻率）：旋轉(zhuǎn)向量的角速度， 即體系在2秒內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)。 自由振動(dòng)時(shí)的圓頻率稱為“自振頻率”。頻率定義頻率計(jì)算式周期計(jì)算式自振頻率是體系本身的固有屬性， 與體系的剛度、質(zhì)量有關(guān)，與激發(fā)振動(dòng)的外部因素?zé)o關(guān)。自振頻率和周期的計(jì)算由定義例1.求圖示體系的自振頻率和周期mEIlEIlFP=1F1=1ll/2l解:例2.求圖示體系的自振頻率和周期=1解:mEIllm/2EIEIll例3.質(zhì)點(diǎn)重W,求體系的頻率和周期解:EIkl1k10.3.4 考慮阻尼作用的自由振動(dòng)1.運(yùn)動(dòng)方程m令2. 方程的解設(shè) y=C etm其中-有阻尼

6、的自振頻率 -阻尼比-臨界阻尼系數(shù)代入初始條件得3. 振動(dòng)分析yk對(duì)數(shù)衰減率運(yùn)動(dòng)分析小阻尼情況臨界阻尼情況不振動(dòng)大阻尼情況不振動(dòng)由特征方程10.4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)一、運(yùn)動(dòng)方程mEIlP(t)F -荷載幅值-荷載頻率FP(t)=F -二階線性非齊次常微分方程二、 方程的解在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)由初始條件決定的自由振動(dòng)與初始條件無關(guān)而伴隨干擾力的作用發(fā)生的振動(dòng)-伴隨振動(dòng)按干擾力的頻率振動(dòng)的純強(qiáng)迫振動(dòng) 三、振動(dòng)分析當(dāng)不計(jì)阻尼時(shí) 純強(qiáng)迫振動(dòng) 不計(jì)阻尼時(shí)純強(qiáng)迫振動(dòng)分析-動(dòng)力系數(shù)與/的函數(shù)關(guān)系對(duì)于結(jié)構(gòu)內(nèi)力也存在與結(jié)構(gòu)位移相似的情況其中注意則動(dòng)力系數(shù) 時(shí)max并不出現(xiàn)在/=1處。其它與無阻尼類似計(jì)入阻尼時(shí)純強(qiáng)迫振動(dòng)分析討論： 為靜力荷載 動(dòng)力位移與動(dòng)力荷載同向動(dòng)力位移與動(dòng)力荷載反向質(zhì)點(diǎn)只在靜平衡位置附近作極微小的振動(dòng) （1）當(dāng) 時(shí)（2）當(dāng) 時(shí)（5）當(dāng) 時(shí)產(chǎn)生共振算例: 求圖示梁中最大彎矩和跨中點(diǎn)最大位移Ql/2l/2已知:四、動(dòng)位移、動(dòng)內(nèi)力幅值計(jì)算解: l/4Ql/2l/2振幅動(dòng)彎矩幅值動(dòng)力系數(shù)跨中最大位移其中重力引起的位移跨中最大彎矩其中重力引起的彎矩 討論: 干擾力 不直接作用于質(zhì)點(diǎn)上的情況（如圖）質(zhì)點(diǎn)處位移10.5 一般動(dòng)荷載作用時(shí)的受迫振動(dòng)分析將荷載看成是連續(xù)作用的一系列沖量，求出每個(gè)沖量引起的位移后將這些位移相加即為動(dòng)荷載引起的位移。m一、瞬時(shí)沖量的反應(yīng)1