分?jǐn)?shù)幾個問題

1、分?jǐn)?shù)概念教學(xué)中不可疏忽的幾個問題分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)中的核心概念，也是小學(xué)階段比較抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念。筆者聽課調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有些教師對分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵及思想方法的理解往往模糊不清，有的甚至存在一些錯誤觀點(diǎn)，值得重視和研究。一、不可淡化經(jīng)歷等分單位（整體）的過程分?jǐn)?shù)的原始意義，產(chǎn)生于“等分割及再合成其份數(shù)的活動”，這是分?jǐn)?shù)概念發(fā)展的基石。分?jǐn)?shù)是一個過程性概念。因此，在分?jǐn)?shù)概念中，我們一定要讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際操作或心理操作等分割及再合成其份數(shù)的活動。特別是分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識階段，要充分運(yùn)用直觀和形象的手段，讓學(xué)生在具體的情境中動手操作，感悟意義。為了讓學(xué)生更好地形成分?jǐn)?shù)概念，深刻地了解分?jǐn)?shù)的意義，操作活動注意“三變?nèi)?/p>

2、變”。一是改變分割的方式，不改變平均分的實(shí)質(zhì)。如，把平均分一張長方形紙平均分成2份，可以橫著對折，也可以豎著對折，還可以沿對角線斜著折，但只要分的每份的大小都相等。二是改變分割的對象，不改變整體的實(shí)質(zhì)。第一階段分割不同的連續(xù)量，如平均分割一個蛋糕、一張紙（可改變其形狀、大小）；第二階段分割不同的離散量，如一盤、一筐蘋果（可改變?nèi)萜鳌?shù)量）；第三階段綜合對比分割不同的量，如把一個蘋果、一筐蘋果、一條線段都平均分成4份，取1份。三是改變平均分的份數(shù)和取的份數(shù)，不改變部分與整體的關(guān)系，如把一張圓形的紙平均分成2份，取1份；平均分成4份，取2份；平均分成8份，取4份通過這些有目的、有重點(diǎn)、有層次的操作

3、活動，經(jīng)歷平均分一個量，建立部分與整體之間的關(guān)系，逐步形成、完善對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，正確建立分?jǐn)?shù)的概念。二、分?jǐn)?shù)不僅僅是部分與整體的關(guān)系小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)中往往只關(guān)注和強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系。其實(shí)，分?jǐn)?shù)具有多重意義：一是表示部分與整體的關(guān)系，二是表示兩個量相除的結(jié)果（商），三是表示子集與集合的關(guān)系，四是表示兩個量的比較結(jié)果（比值），五是表示數(shù)軸上的一個數(shù)值或點(diǎn)。分?jǐn)?shù)具有多重意義，并不意味著要讓學(xué)生一下子認(rèn)識。在實(shí)施分?jǐn)?shù)概念教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)按照教材的安排，夯實(shí)基礎(chǔ)，突出重點(diǎn)，分步推進(jìn)，逐步擴(kuò)充分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵，不斷完善分?jǐn)?shù)的意義。表示部分與整體的關(guān)系是分?jǐn)?shù)的基本意義，務(wù)必要教扎實(shí)。分?jǐn)?shù)的這一意義也是分步擴(kuò)展、逐

4、步抽象概括的。在此基礎(chǔ)上，要引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度，全方位地認(rèn)識分?jǐn)?shù)。引導(dǎo)學(xué)生在不同意義情境下，體會分?jǐn)?shù)概念共有“除的意涵”的不變性，了解其各種不同的表征方式，全面、深刻領(lǐng)會分?jǐn)?shù)的意義，正確地建立分?jǐn)?shù)概念，以后遇到分?jǐn)?shù)能夠根據(jù)其在具體情境中的意義，理解其不同的內(nèi)涵，靈活地解決有關(guān)分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題。三、單位“1”不能重“1”輕“單位”單位“1”是給分?jǐn)?shù)定義、建立分?jǐn)?shù)概念的重要前提。正確地認(rèn)識單位“1” ，對于建立分?jǐn)?shù)概念至關(guān)重要。但是，在分?jǐn)?shù)意義教學(xué)中，有些教師重“1”不重“單位”，單位“1”的1不加引號，甚至誤認(rèn)為單位“1”就是自然數(shù)“1”。其實(shí)，1979年版的辭海就將“分?jǐn)?shù)”定義為：“把單位分成

5、若干等分，表示這樣的一份或幾份的數(shù)稱為分?jǐn)?shù)?！薄?單位1”應(yīng)為“單位”。 單位“1”實(shí)際是指“整體量”或“單位量”。一個物體、一個圖形、一個計量單位，一些物體等等，都可以看著一個整體，我們稱它為單位“1”。 單位“1”不僅表示一個，也可以表示由多個事物組成的整體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)高度抽象概括的特征。教學(xué)分?jǐn)?shù)時，我們特別要注意引導(dǎo)學(xué)生從微觀世界到宏觀世界去認(rèn)識單位“1”，不要僅局限于學(xué)生熟悉的、常見的的事例，還要適當(dāng)從宏觀世界舉些例子，如一個國家、全世界、整個地球，不論其數(shù)量多少、體積大小、質(zhì)量輕重都可以把它看作一個整體，用單位“1”表示。強(qiáng)化學(xué)生的整體意識、單位意識，為牢固地建立分?jǐn)?shù)概念夯實(shí)基礎(chǔ)。

6、四、不要讓學(xué)生走進(jìn)分?jǐn)?shù)單位的誤區(qū)教學(xué)分?jǐn)?shù)單位，不少教師以為簡單，往往輕描淡寫，以致學(xué)生產(chǎn)生一些模糊認(rèn)識。例如，把4個桃子平均分給4只，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？學(xué)生寫出1/4，當(dāng)問他這里的“1”表示什么？不少學(xué)生回答是“1個”；12個小方塊，每行4個，有3行。當(dāng)要求學(xué)生看圖涂色表示1/4時，有些只在一行4個方塊中涂了1個。說明學(xué)生對分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)單位并沒有真正理解。沒有弄清分?jǐn)?shù)單位的數(shù)字與所分實(shí)物個數(shù)的關(guān)系。不知道分母是指分割的所有份數(shù)而不指個數(shù)，分子是指所取得的份數(shù)而不指個數(shù)。分?jǐn)?shù)單位的意義是“把單位1平均分成若干份，其中的一份叫作這個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位”，但不宜簡單說“分子是1的分?jǐn)?shù)是分

7、數(shù)的單位”。又如，有些學(xué)生以為分?jǐn)?shù)單位像整數(shù)單位一樣是固定不變的。其實(shí)，分?jǐn)?shù)單位是可以再分割或再復(fù)制的?？梢詫⒛硞€分?jǐn)?shù)單位分割成為數(shù)個等價的低價分?jǐn)?shù)單位，也可以將數(shù)個該分?jǐn)?shù)單位集聚成為一個高價的分?jǐn)?shù)單位。再如，在比較分?jǐn)?shù)大小時，學(xué)生往往會認(rèn)為比2/5大又比3/5小的分?jǐn)?shù)是沒有的，其實(shí)，任意兩個分?jǐn)?shù)中間是存在無限多個分?jǐn)?shù)的。最大的分?jǐn)?shù)單位是1/2，而不是1/1，因?yàn)橐话愕卣f，分?jǐn)?shù)單位定義中所說的“若干份”不包括“1份”，否則就難以說清。分?jǐn)?shù)單位沒有最小的。五、不要忽視分?jǐn)?shù)獨(dú)特的性質(zhì)特點(diǎn)不同的分?jǐn)?shù)，可以有相等的值；相同的分?jǐn)?shù)，實(shí)際大小可能不等值。例如，在比較1/2和2/4的大小時，常常有學(xué)生誤以為

8、分母大的分?jǐn)?shù)，其值比較大。其實(shí)，由于分?jǐn)?shù)是表示部分與整體的關(guān)系，如果等分整體的方法不同，分割的所有份數(shù)和所取得的份數(shù)會發(fā)生變化，會得到不同的分?jǐn)?shù)，但是它們的量沒有變化，其值是相等的。也就是說，分?jǐn)?shù)可以有不同的名字，但卻代表相同的量，這就體現(xiàn)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，這是與整數(shù)完全不同的。另一方面，有些學(xué)生誤以為分?jǐn)?shù)相同，其表示的實(shí)際大小是相同的。其實(shí)，相同分?jǐn)?shù)表示的實(shí)際大小并不一定相等。六、不要忽視分?jǐn)?shù)符號、名稱、讀寫順序與分?jǐn)?shù)意義的一致性教學(xué)分?jǐn)?shù)時，有些教師不太關(guān)注分?jǐn)?shù)符號、名稱、讀寫順序與分?jǐn)?shù)意義的一致性。學(xué)生受已有知識和經(jīng)驗(yàn)的影響，往往發(fā)生錯誤。如，把一個分?jǐn)?shù)符號看成是兩個孤立的數(shù)，寫分?jǐn)?shù)從上往下

9、寫，等。分?jǐn)?shù)是一個過程概念，簡單地說，就是先分后數(shù)，具體地說，先等分整體，再數(shù)一數(shù)分了多少份，取了多少份。通俗地說，分?jǐn)?shù)就是表示等分整體所取部分結(jié)果的數(shù)。分?jǐn)?shù)符號由三部分組成一個整體，它包含了分法、總份數(shù)、表示的份數(shù)這三個要素，比較形象、直觀地體現(xiàn)分?jǐn)?shù)的意義。分?jǐn)?shù)的寫法是與分?jǐn)?shù)形成的程序及意義是一致的。寫分?jǐn)?shù)不能按照漢字書寫筆順從上往下寫，而應(yīng)先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最后寫分子。這樣寫有三個好處：一是與分?jǐn)?shù)意義相一致，先要表示平均分，再表示平均分了多少份，最后表示取了多少份，有利于理解分?jǐn)?shù)的意義；二是與分?jǐn)?shù)的讀法（順序）保持一致，便于讀得準(zhǔn)，讀得快。三是便于確定分?jǐn)?shù)線的位置，易于居中，在一行中不

10、會因?qū)懙闷匣蚱露幻烙^。分?jǐn)?shù)的讀法，也是與分?jǐn)?shù)形成及意義是一致的，先讀分母上的數(shù)，再讀分子上的數(shù)，而且要讀出“分”，而不能讀成“份”。七、不能忽視分?jǐn)?shù)概念蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想有些教師在分?jǐn)?shù)概念教學(xué)中往往忽視分?jǐn)?shù)概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，這樣不僅不利于學(xué)生正確地建立分?jǐn)?shù)概念，而且不利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。分?jǐn)?shù)概念蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)換思想、等價類思想、公理化思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想等。我們特別要關(guān)注它所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)換思想、等價類思想。分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)換思想體現(xiàn)在分?jǐn)?shù)的化聚，通分等方面。如3個1/4可以合成3/4，3/4可以看作是3個1/4合成的結(jié)果。又如，比較3/4和5/8的大小，要將3/4轉(zhuǎn)換為6/8再比較。再如，分?jǐn)?shù)

11、與除法、比的溝通，就涉及到表現(xiàn)形式的轉(zhuǎn)換。分?jǐn)?shù)具有無量綱性（不帶單位的量）它們是等價的。根據(jù)分?jǐn)?shù)的等價思想，可以把許多不可比的狀態(tài)變成可比的狀態(tài)，比如，一盒餅干的1/2與一張紙的1/2，雖然它們所代表的實(shí)際意義是不相同的，但是從部分與整體的關(guān)系來看，卻是等價的。八、不可忘卻分?jǐn)?shù)的文化因素分?jǐn)?shù)是人類文明的產(chǎn)物，我國很早就有了分?jǐn)?shù)，最初用分成上下兩部分的算籌表示一個分?jǐn)?shù)。后來，印度人發(fā)明了數(shù)字，用和我國相似的方法，以上下兩部分的數(shù)字表示一個分?jǐn)?shù)。再往后，阿拉伯人借用除號中間的短橫線，放在上下兩部分?jǐn)?shù)字的中間，變成現(xiàn)在這樣形式的分?jǐn)?shù)。這樣讓學(xué)生了解分?jǐn)?shù)的發(fā)展史，有利于學(xué)生知道分?jǐn)?shù)是不斷簡化、優(yōu)化的，分?jǐn)?shù)是表現(xiàn)較為復(fù)雜過程最簡明的符號。分?jǐn)?shù)的讀法隱含了古漢語的知識，如“二分之一”就是一個古漢語詞語，其中“分”是“等分”的意意思，“之”是“的”的意思，整個詞語就是“等分成二份中的一份”的意思，教學(xué)時可以先說具體完整的意思，再用“二分之一”來概括，這樣既有利于學(xué)生真正了解“二分之一”的含義，又能讓學(xué)生從中體會古漢語的簡練。分?jǐn)?shù)各部分的名稱蘊(yùn)含現(xiàn)實(shí)生活和漢語修辭的元素，表示(取)的份數(shù)與分的份數(shù)之間的關(guān)系，好像孩子與母親之間關(guān)系，有了母親才有孩子，孩子是母親身上掉下的肉。前人借用