高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)排列與組合蘇教版

1、高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：排列與組合蘇教版【本講教育信息】一.教學(xué)內(nèi)容：排列與組合.教學(xué)目標：.進一步加深對排列、組合意義理解的基礎(chǔ)上，掌握有關(guān)排列、組合綜合題的基本解法, 提高分析問題和解決問題的能力，學(xué)會分類討論的思想.正確理解二項式定理，能準確地寫出二項式的展開式。.會區(qū)分項的系數(shù)與項的二項式系數(shù)。.掌握二項式定理在近似計算及證明整除性中的應(yīng)用。.熟練掌握二項式定理的基本問題一一通項公式及其應(yīng)用。.知識要點：(一)排列與組合.排列的概念：從 n個不同元素中，任取 m (mWn)個元素(這里的被取元素各不相 同)按照一定的順序 排成一列，叫做從 n個不同元素中取出 m個元素的一個排列。.排列數(shù)的

2、定義：從 n個不同元素中，任取 m (mWn)個元素的所有排列的個數(shù)叫做從n個元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號 A表示。.排列數(shù)公式：Am =n(n1)(n2)|(nm+1) (m,nwN*,mEn).階乘：n!表示正整數(shù)1到n的連乘積，叫做 n的階乘規(guī)定0!=1.n!.排列數(shù)的另一個計算公式：Am=.(n -m)!.組合的概念：一般地，從 n個不同元素中取出 m (mWn)個元素并組成一組，叫做從 n個不同元素中取出 m個元素的一個組合.組合數(shù)的概念：從n個不同元素中取出 m (mn )個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出 m個元素的組合數(shù).用符號C：表示.8.組合數(shù)公式:C”n

3、(n-1)(n-2)H(n-m 1)m!或cmn!m!(n -m)!(n,me N”,且m En)。.組合數(shù)的性質(zhì)1： cm=c：引.規(guī)定：c0=1；.組合數(shù)的性質(zhì)2： cn=cm+cnm，(二)二項式定理1,二項式定理及其特例:(1) (a+b)n =C：an +C：anb+|+C：anbr +| + C：bn(nw N*),(2)(i+x)n =1+Cnx+|+C；xr +| + xn。2,二項展開式的通項公式：書=C；anbr (r = 0,1,2，n)。3,常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項：r的限制；求有理項時要求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時，要根據(jù)通項公式討論對 注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)

4、性。4,二項式系數(shù)表(楊輝三角)(a +b)n展開式的二項式系數(shù)，當(dāng)n依次取1,2,3時，二項式系數(shù)表表中每行兩端都是1,除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和。2n rCn ,，Cn . Cn可以看成以為自變量的5,二項式系數(shù)的性質(zhì)：(2+坊”展開式的二項式系數(shù)是 C：, C：,函數(shù)f(r),定義域是0,1, 2,|,n,例當(dāng)n=6時，其圖象是7個孤立的點(如圖)20-: TOC o 1-5 h z J * - * * 14-：-r:-f二* 1 :7% TOC o 1-5 h z 6-/4匕 :二 r：Ol 36r(1)對稱性，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等(cm二c：e)直線

5、r =口是圖象的對稱軸。2(2)增減性與最大值:n -1當(dāng)n是偶數(shù)時，中間一項 Cn2取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項 Cn2 , Cn2取得 最大值。(3)各二項式系數(shù)和：(1 +x)n =1 +x + I|+C：xr +川+ xn,令 x =1 ,則 2n =C： +C： +C； +III + C： +UI + Cnn【典型例題】例1.分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)6名學(xué)生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；6名學(xué)生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；(3)從6名運動員中選出4人參加4X100米接力賽，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；6人排成一排，甲、乙必須相鄰；6人排成一排，甲、乙不相

6、鄰；6人排成一排，限定甲要排在乙的左邊，乙要排在丙的左邊(甲、乙、丙可以不 相鄰)。解：(1)分排坐法與直排坐法一一對應(yīng)，故排法種數(shù)為A =7201甲不能排頭尾，讓受特殊限制的甲先選位置，有A種選法，然后其他5人選，有-5.1.5A5種選法，故排法種數(shù)為 A4 A5 =480(3)有兩棒受限制，以第一棒的人選來分類：乙跑第一棒，其余棒次則不受限制，排法數(shù)為a3；乙不跑第一棒，則跑第一棒的人有A4種選法，第四棒除了乙和第一棒選定的人外，也有a4種選法，其余兩棒次不受限制，故有a4 A：A2種排法，由分類計數(shù)原理，共有 A + A4 A4 A2 =252種排法(4)將甲乙“捆綁”成“一個元”與其他

7、4人一起作全排列共有 &A； =240種排法(5)甲乙不相鄰，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙選擇已排好的4人的左、右及之間的空擋插位，共有 AA (或用6人的排列數(shù)減去問題(2)后排列數(shù)為 A -240 =480)(6)三人的順序定，實質(zhì)是從6個位置中選出三個位置，然后排按規(guī)定的順序放置這三人，其余3人在3個位置上全排列，故有排法 C；A； =120種點評：排隊問題是一類典型的排列問題，常見的附加條件是定位與限位、相鄰與不相鄰例2.假設(shè)在100件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任意抽取 5件，求下列抽取方法各有多少 種？（1）沒有次品；（2）恰有兩件是次品；（3）至少有兩件是次品。解：

8、（1）沒有次品的抽法就是從 97件正品中抽取5件的抽法，共有C；7 = 64446024種（2）恰有2件是次品的抽法就是從 97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽2件的抽法，共有 C；7C； =442320種（3）至少有2件次品的抽法，按次品件數(shù)來分有二類：第一類，從97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽取2件，有C；7C；種。第二類從97件正品中抽取2件，并將3件次品全部抽取，有 C；7c；種。按分類計數(shù)原理有 C；7C； +c97c； =446976種。點評：此題是只選“元”而不排“序”的典型的組合問題，附加的條件是從不同種類的 元素中抽取，應(yīng)當(dāng)注意：如果第（3）題采用先從3件次品抽取2件

9、（以保證至少有 2件是次品），再從余下的98件產(chǎn)品中任意抽取 3件的抽法，那么所得結(jié)果是 C，C：8 =466288種， 398其結(jié)論是錯誤的，錯在“重復(fù)”：假設(shè)3件次品是A、B、C,第一步先抽 A、B,第二步再 抽C和其余2件正品，與第一步先抽 A、C （或B、C）,第二步再抽B （或A）和其余2件23正品是同一種抽法，但在算式C3 c98中算作3種不同抽法。例3.有13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生 6人.現(xiàn)從中抽調(diào)5名醫(yī)生組成醫(yī)療小組前往災(zāi)區(qū)，若醫(yī) 療小組至少有2名男醫(yī)生，同時至多有 3名女醫(yī)生，設(shè)不同的選派方法種數(shù)為P,則下列等式（1）c1-c7c：；c；c； +c；c； +c；c； +c；514

10、5C13 -C7c6 - C6 ；其中能成為P的算式有 種.分析： 交換醫(yī)療小組的兩成員順序是同一選派方法，故為組合問題。用直接法解：選派5名醫(yī)生分為2男3女，3男2女，4男1女，5男這四類，故（2）正確；5用間接法解：不考慮限制條件，選派萬法有C13種，需剔除的有1男4女，5女兩類，故（3）正確。因此結(jié)論為：（2） （3）.點評：本例要特別防止誤選(4).例4.對某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品，一一進行測試，到區(qū)分出所有次品為 止.若所有次品恰好在第五次測試被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有 種解：在各次測試結(jié)果中交換其中兩者的順序，成為兩種不同的測試方法，因此是排列問題 . 故所有測試方

11、法是6件不同正品取出1件與4件次品排成一列且最后一件是次品：C6A1A4 =576 種.例5.某班新年聯(lián)歡會原定的 5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個新節(jié)目，如果將這兩個節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為 .解：實質(zhì)是7個節(jié)目的排列，因原定的5個節(jié)目順序不改變，故排這 5個節(jié)目是一個組合，有 C；種方法，再排新插入的兩個節(jié)目有A；種方法，故C；A；=42.點評：分清是排列還是組合問題排列與組合的根本區(qū)別是元素之間是否有順序.若元素之間交換次序后是兩種不同的情形，則是排列問題；若元素之間交換次序后是相同的情形， 則是組合問題；另外若元素之間已經(jīng)規(guī)定了順序，則仍是組合問題。6個不同的瓶子

12、中展出,)種.如果甲、乙兩種種子例6.從10種不同的作物中選出 6種放入 不能放入第1號瓶內(nèi)，那么不同的放法共有(a. MNc；Ac8Ac8A1種有c8種方法，再排解：先排第1號瓶，從甲、乙以外的 8種不同作物種子中選出其余各瓶，有 8種方法，故不同的放法共有 C8A5.故選Co點評：這樣解分步合理、過程簡捷.但本題更容易想到先從 10種不同的作物種子中選出6種，然后排列.由于選出的6種種子中是否含甲、 乙不確定，導(dǎo)致后繼排列也不確定， 這時 就要分類了 .選出的6種種子中只含甲或只含乙的不同放法都為 C；a5a5種，選出的6種種子中，同時含甲與乙的不同放法有 CAfAj種；選出的6種種子中，

13、都不含甲與乙的不同放法有A6種.故不同的放法共有2c；a1a5 +c；a2A4 + a6 =c8A1種.例7.求不同的排法種數(shù)：6男2女排成一排，2女相鄰；6男2女排成一排，2女不能相鄰；4男4女排成一排，同性者相鄰；4男4女排成一排，同，f者不能相鄰 .解：(1)是“相鄰”問題，用捆綁法解決：a2a7.(2)是“不相鄰”問題，可以用插空法直接求解.6男先排實位，再在7個空位中排2女，即用插孔法解決：解a2.另法：用捆綁與剔除相結(jié)合：a8 a2A.（3）是“相鄰”問題，應(yīng)先捆綁后排位：AAA2. 是“不相鄰”問題，可以用插空法直接求解：A4A3A1.i例8.求x2 I展開式中x9的系數(shù)18_3

14、rX3212 2xJ令18-3r =9,則r =3,故x9的系數(shù)為：C91 i 2）r n _r _ r_ n點評：Cna b是（a+bj展開式中的第r+1項，r =0,1,2,n注意二項式系數(shù)與某項系數(shù)的區(qū)別在本題中，第4項的二項式系數(shù)是 C；,第4項x9的系數(shù)為C；11：二者并不相同。 2J4例 9.已知（2x + a3 ） = a0 +a1x + a2x + a3x + a4x ,求（a。+a2 + a4 2 一（a1十% f。解： 令 x =1 時，有（2 + 氏 f = a0 + a1 +a2 + a3 + a4令 x = 1 時,有（2 十n3，= a。 a + a2 -a3 +a

15、4=-1 4 =1fa。,a1a2a3a4a。-a1 .a2- a3a4（a。+a2 +a42 （a1 +a3 f =（2 +3 ） （-2 + 3 ）點評：賦值法是由一般到特殊的一種處理方法，在高考題中屢見不鮮， 特別在二項式定理中的應(yīng)用尤為明顯賦值法是給代數(shù)式（或方程或函數(shù)表達式）中的某些字母賦予一定的 特殊值，從而達到便于解決問題的目的望同學(xué)們在學(xué)習(xí)中舉一反三。例10.求（x+2y 7展開式中系數(shù)最大的項解：設(shè)第r+1項系數(shù)最大,丁4項系數(shù)占Tr項系數(shù)4項系數(shù)之電項系數(shù)c72r之C；2r，即J 7072r 之C；*2T7!2r7!2r7!)!2rr -1 ! 7-r 1 !7!21r!

16、7 -r !r 1 ! 7 -r -1 !21里r 8-r7 - r r 1又 0 Mr 三7, r N,. r = 5故系數(shù)最大項為T6 =C5x2 25y5 = 672x2y5點評：二項式系數(shù)最大的項與系數(shù)最大的項不同，二項式系數(shù)最大的項也即中間項：當(dāng)n為偶數(shù)時中間項Tn的二項式系數(shù)最大；當(dāng) n為奇數(shù)時，中間兩項 - 1 2系數(shù)相等且為最大。一T4的二項式22【模擬試題】1.將3封不同的信投入 4個不同的郵筒，則不同的投法的種數(shù)是（34,34c. a3d. c3.某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場，得 3分；平一場，得1分；負一場，得0分; TOC o 1-5 h z 一球隊打完15場，積

17、33分，若不考慮順序，該隊勝、負、平的情況共有（）A. 3種B. 4種C. 5種D. 6種.若 A3i =6C：,則 m=()A. 9B. 8C. 7D. 6.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆 4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊地上， 其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（）A. 24 種B. 18 種C. 12 種D. 6 種.從6臺原裝計算機和 5臺組裝計算機中任意選取 5臺，其中至少有原裝與組裝計算機 各2臺，則不同的選取法有 種（結(jié)果用數(shù)值表示）.在一塊并排10壟的田地中，選擇 2壟分別種植 A、B兩種作物，每種作物種植一壟， 為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于 6壟

18、，則不同的選壟方法共有 種。（作數(shù)字作答）.有n（n=N 腫不同的產(chǎn)品排成一排，若其中 A、B兩件產(chǎn)品排在一起的不同排法有48種，則n =.將3種作物種植在如圖的 5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植 同一種作物，不同的種植方法共有一種（以數(shù)字作答）.把6名同學(xué)排成前后兩排，每排 3人，則不同排法的種類有（A. 36B. 120C.7206個人排成一排，其中甲、乙不相鄰的排法種數(shù)是（）A. 288B. 480C. 60012名同學(xué)分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查，若每個路口 方案共有（）C4 c 4c 44 c 4c 44 c 4 3 r12C8 c4 種B. 3 C12C

19、8 c4 種 C. C12C8 A3 種D.1440D. 6404人，則不同的分配D.A；.從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，其中甲、 TOC o 1-5 h z 乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則選派方案共有（）種A. 280B. 240C. 80D. 96.用1, 2, 3, 4, 5這五個數(shù)字組成比 20000大，且百位數(shù)不是 3的，無重復(fù)數(shù)字的個 數(shù)是（）A. 64B. 72C. 78D. 96.從某班學(xué)生中，選出四個組長的不同選法有m種，選出正、副組長各一名的不同選法有n種，若m： n=13 : 2,則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A. 10B. 15C. 20D.22.如圖所示，為某市的四個小鎮(zhèn)，現(xiàn)欲修建三條公路，將這四個鎮(zhèn)連接起來，則不同的 修路方案種數(shù)為（） A. 6B. 12C. 16D.24.從1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中每次取出兩個不重復(fù)的數(shù)字分別作為對數(shù)式中的底和真數(shù)，共可得到不同的對數(shù)值（）A. 53 個B. 55 個C. 57 個D. 59 個. 8名世界網(wǎng)球頂級選手在上海大師賽上分成兩組，每組各 4人，分別進行了單循環(huán)賽， 每組決出前兩名，再由每組的第一