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1、第三節(jié) 無(wú)窮小與無(wú)窮大二 無(wú)窮小與無(wú)窮大和極限的關(guān)系三 無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)一 無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念一、無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念極限為零的變量稱為無(wú)窮小。1.無(wú)窮小例如,注意1)無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆；2)零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)。2.無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大。定義2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M（不論它多么大），總存在正數(shù) （或正數(shù)X），使得對(duì)于適合不等式 （或|x|X）的一切 x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 f ( x )都滿足不等式 則稱函數(shù) f ( x ) 當(dāng) 或 時(shí)的無(wú)窮大。記作 或特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大。注意1) 無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆；3) 無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界
2、變量,但是 無(wú)界變量未必是無(wú)窮大。),3,2,1,0(221kL=+=kkxpp(1)不是無(wú)窮大,2)(kp+=kxy),3,2,1,0(kL=kx(2)證：1. 無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系證：二、無(wú)窮小與無(wú)窮大和極限的關(guān)系2. 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系即： 無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小，非零無(wú)窮 小的倒數(shù)是無(wú)窮大。0)(,0)( =xfxf且設(shè) 證：(1)證：(2)意義 1.將一般的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊的極限 問(wèn)題(無(wú)窮?。?； 2.給出了函數(shù) 在 附近的近似 表達(dá)式 注 關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于 無(wú)窮小的討論。三、 無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理3同一過(guò)程中，有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù) 和仍是無(wú)窮小。證：注意 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的和不一定是無(wú)窮小。例如定理4 有界函數(shù)與無(wú)窮小量的積仍是無(wú)窮小。證： 又設(shè) 是當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮小，取則當(dāng)時(shí)恒有 恒有使得當(dāng)時(shí),推論1 在同一過(guò)程中，有極限的變量與 無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘
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