高階線性微分方程匯總課件

1、第六節(jié)高階線性微分方程 一、函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)三、線性微分方程解的結(jié)構(gòu) *四、常數(shù)變易法 二、二階線性微分方程舉例 第1頁，共24頁。一、函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)定義:是定義在區(qū)間 I 上的 n 個函數(shù),使得則稱這 n個函數(shù)在 I 上線性相關(guān), 否則稱為線性無關(guān).若存在不全為 0 的常數(shù)例如，故它們在整個數(shù)軸上是線性相關(guān)的第2頁，共24頁。又如，若在某區(qū)間 I 上則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點 ,必需全為 0 ,可見在任何區(qū)間 I 上都 線性無關(guān).特別地，兩個函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)例如，線性無關(guān)線性無關(guān).線性相關(guān)第3頁，共24頁。二、二階線性微分方程舉例 當重力與彈性力抵消時, 物體

2、處于 平衡狀態(tài), 例1. 質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復運動,解:阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標系如圖.設(shè)時刻 t 物位移為 x(t).(1) 自由振動情況.彈性恢復力物體所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反.建立位移滿足的微分方程.第4頁，共24頁。據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動方程:阻力(2) 強迫振動情況.若物體在運動過程中還受鉛直外力則得強迫振動方程:第5頁，共24頁。求電容器兩兩極板間電壓 例2. 聯(lián)組成的電路, 其中R , L , C 為常數(shù) ,所滿足的微分方程

3、.提示: 設(shè)電路中電流為 i(t),上的電量為 q(t) ,自感電動勢為由電學知根據(jù)回路電壓定律:設(shè)有一個電阻 R , 自感L ,電容 C 和電源 E 串極板在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0第6頁，共24頁。串聯(lián)電路的振蕩方程:如果電容器充電后撤去電源 ( E = 0 ) , 則得化為關(guān)于的方程:故有 第7頁，共24頁。n 階線性微分方程的一般形式為方程的共性 為二階線性微分方程. 例1例2 可歸結(jié)為同一形式:時, 稱為非齊次方程 ; 時, 稱為齊次方程. 如果一個微分方程是關(guān)于未知函數(shù)及其各階導數(shù)的一次方程，把它定義作線性方程（二階線性齊次微分方程）例如，（三階非線性微分方程）第8頁

4、，共24頁。三、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)復習: 一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y先討論二階線性微分方程通解:？如何構(gòu)成？第9頁，共24頁。1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.定理1.證畢證:代入方程左邊, 得第10頁，共24頁。問題:不一定！例如,顯然不是(1)的通解定理說明齊次方程的解符合疊加原理第11頁，共24頁。定理 2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解, 則數(shù)) 是該方程的通解.推論. 是 n 階齊次方程 的 n 個線性無關(guān)解, 則方程的通解為第12頁，共24頁。2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)是二階非齊次方程的一個特解, Y (x) 是

5、相應(yīng)齊次方程的通解,定理 3.則是非齊次方程的通解 .證: 將（3）代入方程（2）, （3）（2）左=右故（3）是非齊次方程的解,又Y 中含有兩個獨立的任意常數(shù),證畢因而 （3） 也是通解 .第13頁，共24頁。例如, 方程有特解因為常數(shù),故方程的通解為若方程有特解 ，則該方程的通解為第14頁，共24頁。定理 4.分別是方程的特解,是方程的特解. (非齊次方程之解的疊加原理) 例如, 第15頁，共24頁。定理 5.是對應(yīng)齊次方程的 n 個線性無關(guān)特解, 給定 n 階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程

6、. 第16頁，共24頁。例3. 已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解 .解:是對應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三 第17頁，共24頁。常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解, 是任意例4.第18頁，共24頁。*四、常數(shù)變易法復習: 常數(shù)變易法: 對應(yīng)齊次方程的通解: 設(shè)非齊次方程的解為 代入原方程確定 對二階非齊次方程 情形1. 已知對應(yīng)齊次方程通解: 設(shè)的解為 由于有兩個待定函數(shù), 所以要建立兩個方程:第19頁，共24頁。令于是將以上結(jié)果代入方程 : 得故, 的系數(shù)行列式是對應(yīng)齊次方程的解第20頁，共24頁。積分得: 代入 即得非齊次方程的通解: 于是得 說明: 將的解設(shè)為 只有一個必須滿足的條件即方程, 因此必需再附加一 個條件, 方程的引入是為了簡化計算.第21頁，共24頁。情形2.僅知的齊次方程的一個非零特解 代入 化簡得設(shè)其通解為 積分得(一階線性方程)由此得原方程的通解: 第22頁，共24頁。例5.的通解為 的通解.解: 將所給方程化為:已知齊次方程求利用,建立方程組: 積分得故所求通解為第23頁，