高中數(shù)學(xué)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示知識(shí)講解與典型例題蘇教版必修4

1、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（知識(shí)講解與典型例題）本周重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；兩個(gè)向量垂直的充要條件。本周難點(diǎn)：利用向量的數(shù)量積解決具體問題。本周內(nèi)容：上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律，而向量是可以用坐標(biāo)來表示的，那么向量數(shù)量積是如何用坐標(biāo)表示呢？下面我們來學(xué)習(xí)這部分知識(shí)。我們給出兩個(gè)非零向量 _（用坐標(biāo)給出），我們知道坐標(biāo)是與從原點(diǎn)出發(fā)的向量對(duì)應(yīng)。如圖不妨設(shè)：:二潟=（以乃）則有A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（X1, yi）,（X2,y2）,又設(shè)x,y軸上的單位向量為! J則有丁=可丁十乂7 , 了=十必7,是互相垂直的單位向量，71? = 0=1w瓦。i十肛2 十4乃/-十九乃/、也就是說，

2、兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和（結(jié)果是數(shù)量），即77 =）5切=邛2+了仍若 一則-，a,a =|7|1|7|=17|2.，薩J+H ,評(píng)曲7上圖中 A(Xi,yi),B(X 2,y2),則 u j .二 I：則扁卜府二產(chǎn)Gm二本r了+僅73。這就是我們已經(jīng)使用過的平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式（不用向量你會(huì)推導(dǎo)嗎）。上圖中若設(shè)/ AOB菽，則屋方以,TCQ bcos a = 即 I向111為I“一叱+乎由此可得到兩個(gè)向量的夾角。特別地，當(dāng)a =90時(shí)，cos a =0即XiX2+yiy2=0。由此知：0 =（小Ji）與丁 二（各，乃）垂直的充要條件是 XiX2+yiy2=0o這個(gè)充要條件

3、在今后解決問題中十分重要。下面我們通過例題用坐標(biāo)的形式再一次驗(yàn)證。例。,4）,：=（-2,。（。4F（1）求：口 b，b 口；（2）求： q b，屋b ；（T +7 ,t T C +T C（3）求：1。白。b c（T.T 產(chǎn) .口？（4）求：口 b，r，白c .= （3,4） （-2）= -6 + 28=22解：（i）口 匕 二（-2力（3,4）=-6 +28 22T7 T TT T， S I由此可見證 b 3 日。（嚴(yán)格證明需要把 3的坐標(biāo)一般化，但方法是一樣的。） 30。3（3僅-2,7）=陽2（-2加66（3。（-62） = 78 + 84 = 66-7?二 M -3) + (-28(0

4、獷-12 - 21 二-33。由此可證:(?/=22(。,-3產(chǎn)(。.66)?。力電4)(-21)二(第-84)由此可驗(yàn)證：向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即（才與；C不-定相等。例2.試判斷滿足下列條件的三角形的形狀。AABC 中，A(1,-2), B (-3, -1), C (5, -1)AABC 中，A(1,2), B (2, 3) ,C (-2, 5)AABC 中，A(0,3), B (4, 0) ,C (7, 4)解：(1)7=E)品卜而(41) &卜而晶=(&0)由=8由此可知 A ABC為等腰三角形。(2) NYU)品卜也N=(-3,3) |= 3/2彘=(-4,2) 6|=2出%工=

5、-3 + 3 =。?/1月噎廟+島2=就， A ABC為直角三角形。小出血二5法=(3,4)宸 |=5露=。，. ABXBC,. A ABC為等腰直角三角形。,求：向量q與向量b例3,已知：向量白，b滿足白十方 =（2-即7-7=（-6,-4）的夾角Oo解：設(shè)白一（工，J/ 一 （乙，% ）,則 J ： 一 ，一，二”力丁-7 二。1-孫為-力）=（-6,-4）?】十乙一=-6乙一乙 卜-2.1= （-2,-6）； = （4,-2）, 川*2同祚2后則:cosa =T、T0 bI 4 11 5 4=72而而而垃a = arccos 10 |T + =|T _T例4.求證：非零向量 口 ? b垂

6、直的充要條件是 口 bb證明設(shè)丁=佃加7=（均為）（1）充分性：: /+/ =（甬+人/+為）7一/二偽一孫兇-乃）. |7+7/=（11+工2）。&1+為尸 . 5 + 比)2 + 01 + 乃)2 =(均 F)2 + 01 -乃)即 XiX2+yiy2=0,(2)必要性：0 方，-1- XiX2+yiy2=0,.(斗+與尸+ 01 +乃)2 = / -+ Or4|T + 二口.T.h b I 口 b例5.已知:Rt A ABC中，羔- Q9AC QM ,求m的值。解：AB當(dāng)/A=90時(shí),2=2 + 3加=0 =限=一一 3當(dāng)/B=90時(shí),AB BC=-2+ 3/?- 9 = 0? = 3當(dāng)

7、/0=90時(shí),附2 _蘇_1 = 0 =切=當(dāng)叵即一.由（1） （2） （3）知：用=-2麗上或常在姮例6.已知：?二四岫公；二（。雄劍型仆）(i)求證：由 8 r q b垂直；(2)若同+ b卜% I俄R且0),求(a的值(1)證明：1(8孫疝吟+(8m血61: = =： - - 1J： Q. =1T _T(2+；)W -；I:s 二:：s，“)=(cos a + cosmos a - cos + (sin a + sm 6)迎 d-sin 6)2 o 2, 2 ocos a - cos p + sin ce - sin ,= 1-1 = 0與 _T,.& 4方垂直產(chǎn)+畤正一畤又證： 二 門

8、 i我-前cos a + sin a;- (cos + sin 日)=0+今與 _T b & b垂直。J(露位 + ccs份)+ (A:sin a + sin = (icoso; - cos?)2 + (isin a - sin )0)2kcos a cos B +2ksin a sin-2keos a cos崔ksin a sin p2kcos(住 0 )=0kw 0,.1. cos( a 0 )=0J-置0 a 3 砧=二D點(diǎn)分RC的比為2,1 + 231 + 23 ,山-5-芋+(+2 =(松(3) / ABC是BA與8c的夾角，而.二-l 二,.人62=里-5). 52將+ (的舊+(

9、-5/。炳點(diǎn)評(píng)：向量的數(shù)量積運(yùn)算常用來解決有關(guān)長(zhǎng)度和角度問題， 式和夾角公式.例2. AABC的三個(gè)頂點(diǎn)是 A (4, 8) , B (0, 0) , C(1) AABC的三邊的長(zhǎng)；(2) AABC的AB邊上的中線 的坐標(biāo).26a145反映在坐標(biāo)上應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公(6, -4) .求：CD的長(zhǎng)；(3) AABC的重心G解：招-0)2+(8-0)2 =4指息局6-0人(+02/ 亡”(6-4)2+(+。=2歷.4 + 0元二亍，48 + 0、兒 一一y=r(2)設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)是(x, y),則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得 I 乙.，D (2, 4),.總卜牙+A 用=7 = 2.(3)設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,y

10、),則OG乙GD .6 + 2X2 10 TOC o 1-5 h z 工=,1+23_ -4 + 2x4 _40 4y . * 一)由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得1+23即重點(diǎn) 33 .例3. (1)已知a=(6,2), b=(-3,9)，判斷a與b是否垂直？(2)判斷以O(shè)(0,0),A(a,b),B(a+b, b-a)為頂點(diǎn)的三角形的形狀 .解：(1)由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得a b=6X(-3)+2 9=0, .向量a與b垂直.(2)由向量的坐標(biāo)表示，得= (o -o) - (0,0) = (a +bfi -a W = 3 +辦”)- (%方)=0r)所以， 這個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為:，舒加+

11、獷+0-0)2 =松2 +陰，扁=4所以，A OAB的三邊滿足下列關(guān)系:向* ,且肅卡加喘f ,因此，以0、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形(其中，/A=90 , / 0= / B=45 ).例4、以原點(diǎn)0和點(diǎn)A (4, 2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB, / B=90 ,求點(diǎn)B的坐標(biāo)和二.解:再設(shè)如圖，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(x ,y)，則OR = Uji/=(1-4廠2)B=90 , OB AS ,x(x-4)+y(y-2)=0,即 x2+y2=4x+2y.OA的中點(diǎn)為D,則D的坐標(biāo)是(2,1).連結(jié)BD,則猛. 4(2-x)+2(1-y)=0.即 2x+y=5 工2 .3,解、聯(lián)立的

12、方程組，得點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1, 3)或(3, -1).當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3)時(shí),當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,-1)時(shí),例5、已知點(diǎn)A (1, 2)和B(4, -1),問能否在 y軸上找到一點(diǎn) C,使/ ACB=90 ,若不能，說明理由；若能，求 c點(diǎn)坐標(biāo).T解：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,y),由/ ACB=90知這二，而 *(-1/-2),浸=(-4門1)=047 BC ,即(-1) 4)+(y-2)(y+1)=0, y 2-y+2=0無解.故不能找到滿足條件的點(diǎn)課外練習(xí):1、已知。_ 點(diǎn),薩7 + 2/，新丁+1在x軸上有一點(diǎn)p,T使j4PRP取最小值，求 P點(diǎn)的坐標(biāo)及此時(shí)的/ APB的大小.y = -x

13、+ 22、已知兩點(diǎn) A(-2,0),B(4,0)，點(diǎn)C在直線 2上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為 m,若 A ABC為直角三角形，求實(shí)數(shù) m的值.3、已知 j =+ / ,當(dāng) a,b R 且 a*h 求證：|f(a)-f(b)|=|a-b|.參考答案：1、設(shè) P(x,0),則(L 2J - 2)1=(工2)(7 - 4) + (-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3) 2+1.當(dāng)x=3時(shí)取得最小值，此時(shí) P點(diǎn)的坐標(biāo)為P(3,0),COS &PBAPBP/ioTo加乙iPB=arccos10說明：通過坐標(biāo)運(yùn)算將數(shù)量積的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值是解答本題的關(guān)鍵/ m 小(泡不+ 2)f =o2、設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為工 ,當(dāng)C為直角時(shí)，AC BC ,即佃+ 2,巴+ 2 (現(xiàn) 7,2 + 2) = 0 (朋 + 2)伽 7) +r + 2)2 = 0 m = -522,2，解得 5.T，T=0 佃+ 2丁+2)當(dāng)A為直角時(shí)，AC AS ，即上 (6,0)=0, 6(m+2)=0,解得m=-2.當(dāng)B為直角冽f = n佃-4,_)00) = 0,6(制-4) = 0時(shí)，BU口，即