高中數(shù)學導(dǎo)數(shù)經(jīng)典題型解題技巧運用方法

1、高中數(shù)學導(dǎo)數(shù)經(jīng)典題型解題技巧 (運用方法)高中數(shù)學導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高中數(shù)學考試的必考內(nèi)容， 而且是這幾 年考試的熱點跟增長點，無論是期中期末還是會考高考，都是高 中數(shù)學的必考內(nèi)容之一。因此，針對這兩各部分的內(nèi)容和題型總結(jié)歸 納了具體的解題技巧和方法，希望能夠幫助到高中的同學們有更 多更好更快的方法解決高中數(shù)學問題。好了，下面就來講解常用 邏輯用語的經(jīng)典解題技巧。春CP婁女字號存女第一認識導(dǎo)數(shù)概念和幾何意義.導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景。(2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。.導(dǎo)數(shù)的運算能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y C(C為常數(shù)),y x, y x2,y x3,y 1, y 豉的導(dǎo)數(shù)。 x(2)能利用

2、給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算 法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(3)能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax b)的復(fù)合函數(shù))的 導(dǎo)數(shù)。.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單 調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)。了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo) 數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)；會求閉區(qū)間了函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).生活中的優(yōu)化問題會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題.定積分與微積分基本定理了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定 積分的概念。了解微積分基本定理的

3、含義?？偨Y(jié)：先搞清楚導(dǎo)數(shù)概念以及幾何意義，才能更好地運用其解題 技巧！導(dǎo)激運用于。解題方茫第二導(dǎo)數(shù)運用和解題方法一、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線考情聚焦：1.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線y f(x)的切線是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng) 用，為近幾年各省市高考命題的熱點。2.常與函數(shù)的圖象、性質(zhì)及解析幾何知識交匯命題，多以選擇、 填空題或以解答題中關(guān)鍵一步的形式出現(xiàn)，屬容易題。解題技巧：1 .導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y f (x)在a處的導(dǎo)數(shù)f (x)的幾何意義是：曲線y f(x)在點s(t)對時間t的導(dǎo)P(%, f (x0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)數(shù))。2.求曲線切線方程的步驟：(1)求出函數(shù)y f(x)在點x x。的導(dǎo)

4、數(shù)，即曲線y f(x)在點P(%, f(xo)處切線的斜率;(2)在已知切點坐標P(x。, f(x。)和切線斜率的條件下，求得切線 方程為 y y。f (xo)(x x。)。注：當曲線y f(x)在點P(x。, f(x。)處的切線平行于y軸(此時 導(dǎo)數(shù)不存在)時，由切線定義可知，切線方程為x x。；當切點坐標未知時，應(yīng)首先設(shè)出切點坐標，再求解。例1： (2。1。海南高考理科T3)曲線y 上在點1, 1處x 2的切線方程為()(A) y 2x 1(B) y 2x 1(C) y 2x 3(D) y 2x 2【命題立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及熟練運用導(dǎo)數(shù)的運 算法則進行求解.【思路點撥】先

5、求出導(dǎo)函數(shù)，解出斜率，然后根據(jù)點斜式求出切線方 程.一 ，2 ，【規(guī)范解答】選A.因為 y ，所以，在點 1, 1處的切線斜率(x 2)22 一，一k y x 1( 202 ,所以，切線萬程為 y 1 2(x 1),即y 2x 1 ,故選A.利用導(dǎo)教研究與數(shù)的單調(diào)性二、利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性考情聚焦：1.導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性有力的工具，近幾年各省 市高考中的單調(diào)性問題，幾乎均用它解決。2.常與函數(shù)的其他性質(zhì)、方程、不等式等交匯命題，且函數(shù)一 般為含參數(shù)的高次、分式或指、對數(shù)式結(jié)構(gòu)，多以解答題形式考查， 屬中高檔題目。解題技巧：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟。(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求

6、導(dǎo)數(shù)f (x);(3)若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式f (x) 0或f (x) 0,此時f x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞減；當x 1, 時，g x 0,此時f x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞增.1(2)當 a 0時，由 f x 0,即 ax2 x 1 a 0 ,解得 x 1,x2 1. a1當a 2時，x x2 , g x 0怛成立，止匕時f x 0,函數(shù)f x在(0, +)上單調(diào)遞減；當0 a 1時，-110, 2 ax 0,1時，g x 0,此時f x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞減x 1,1 1時，g x 0,此時f x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞增 ax 1 1,

7、 時，g x 0,此時f x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞減 a當a 0時，由于1 1 0, ax 0,1時，g x 0,此時f x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞減：x 1, 時，g x 1 時，2x-20,從而e 10,又ex 0,所以一(x)0,從而函數(shù)F(x)在1,+ )是增函數(shù)。-1又 F(1)= ee-1 0,所以x1時，有F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x).(田)證明:(1)若(xi 1)(x21) 0,由()及心1) f(x 2),則為x2若(x11)(x2 1) 0,由()及 f(x 1) f(x 2)，得X*2與為x2矛盾。根據(jù)(1) (2)得(x1 1)(x2 1) 0，不妨設(shè) x

8、1 1，x2 由(H)可知，f(x 2)g(x2),則 g(x2)=f(2-x 2),所以 f(x 2)f(2-x 2),從而,又由(I )可知函數(shù)f(x)在f(x 1 ) f(2-x 2).因為 x2 1 ,所以 2x21區(qū)間(-s, 1)內(nèi)是增函數(shù)，所以x12 x2,即x1 x22。利用導(dǎo)激研究函 數(shù)的象四、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象考情聚焦：1.該考向由于能很好地綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、零點及數(shù)形結(jié)合思想等重要考點，而成為近幾年高考命題專家 的新寵。2.常與函數(shù)的其他性質(zhì)、方程、不等式、解析幾何知識交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式、指、對數(shù)式結(jié)構(gòu)，多以解答題中壓軸部分出現(xiàn)

9、。屬于較難題。例4: (2010 福建高考理科 T 20) (I )已知函數(shù)f(x)=x3x,其圖像 記為曲線C. 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(ii)證明：若對于任意非零實數(shù)x1,曲線C與其在點P1 (x1,f(x1) 處的切線交于另一點P2(x2,f(x2).曲線C與其在點P2處的切線交于另 一點P3 (x3 f(x3),線段P1P2,P2P3W曲線C所圍成封閉圖形的面包積分別記為S1,S2則比為定值：(H )對于一般的三次函數(shù) g (x) =ax3+bx2+cx+d(a 0),請給出類似 于(I )(ii)的正確命題，并予以證明。【命題立意】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識，考查

10、 抽象概括、推理論證、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié) 合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般的思想?！舅悸伏c撥】第一步(1)利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，(2)利用 導(dǎo)數(shù)求解切線的斜率，寫出切線方程，并利用定積分求解S及其比 值；第二步利用合情推理的方法對問題進行推廣得到相關(guān)命題， 并利 用平移的方法進行證明【規(guī)范解答】(I)(i)f(x) 3x2 1 (、取1)(岳1),x 4或x 令 f(x) 0 得到43M3 ,令 f(x) 0 有 TOC o 1-5 h z 1M X6,因此原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,1 、，1、，11、(,)(,)(,)3和，3;單調(diào)遞減區(qū)間為3 J3 ；一2_3-2

11、(jj)f(x) 3x 1, P1(x1,x1x1) ,f(x1) 3x1 1,因此過點P1的切線方程為：y3x12 1 x x1M ” ,即2,y3x11 xy2x13 占,由3x12 1 x 2x1333y x x 得x x3x12 1 x 2*所以x x1 或 x2x1,故 x2cS12x1 ,進而有2 x1323x3x1 x 2K dxx1143 2x 為x42232x1 xS2得x32x2和22x1X27 4 Zx1,用x2代替”,重復(fù)上面的計算，可27 4x2 一 、，4 ，又 x22x1 0S227 16 4一“(II)【命題】若對于任意函數(shù)g (x) ax3,2bx cx d的

12、圖像為曲線C,b其類似于(i)(ii)的命題為：若對任意不等于3a的實數(shù)x1,曲線與其在點以為露國)處的切線交于另一點之x2,g(x2),曲線C與其在點 RNgd)處的切線交于另外一點R(x3,g(x3)，線段PR、P2P3與曲線CS所圍成面積為&、S2 ,則8 16。3.2【證明】對于曲線y ax bx cx d,無論如何平移，其面積值是恒3,2、八 2 一定的，所以這里僅考慮y ax bx cx的情形，y 3ax 2bx c, TOC o 1-5 h z 322P(x1,ax1bx1cx1), f(x1)3axi2bxic,因此過點P1的切線方程為：23,2y (3ax1 2bx1 c)x

13、 2x bx13,232y (3axf 2bx1 c)x 2x； bx2 ,聯(lián)立 y ax bx cx,得,2223至lj. ax bx3ax1 2bx x bx2x10化簡：得到2,22b 2ax1 2b 4a Xi 6abx ac從而(x x1)2(ax b 2a%) 0 所以 2 a 一,a)同一 E q、上岸,口 1 X34X12X2樣運用中方法便可以得到a61 所以8 16?！痉椒记伞亢瘮?shù)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容在歷屆高考中主要切線方程、導(dǎo)數(shù)的計 算，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等問題，試題還與不等式、 三角函數(shù)、數(shù)列、立幾、解幾等知識的聯(lián)系，類型有交點個數(shù)、恒成 立問題等，其中滲透并充分

14、利用構(gòu)造函數(shù)、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、 數(shù)形結(jié)合等重要的思想方法，主要考查導(dǎo)數(shù)的工具性作用。例5. (2010 江西高考理科 T 1 2 )如圖，一個正五角星薄片(其對稱軸與水面垂直)勻速地開出水面，記 寸刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0) 0),則導(dǎo)函數(shù)y S的圖像大致為【命題立意】本題將各知識點有機結(jié)合，屬創(chuàng)新題型，主要考查對函 數(shù)的圖像識別能力，靈活分析問題和解決問題的能力，考查分段函數(shù), 考查分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考查分類討論的數(shù)學思想，考查函數(shù)的應(yīng)用,考查平面圖形面積的計算，考查數(shù)形結(jié)合的思維能力.【思路點撥】本題結(jié)合題意及圖像的變化情況可用排除法； 也可先求 面積的函數(shù)，再

15、求其導(dǎo)數(shù)，最后結(jié)合圖像進行判斷 .【規(guī)范解答】選A.方法一：在五角星勻速上升過程中露出的圖形部 分的面積共有四段不同變化情況，第一段和第三段的變化趨勢相同， 只有選項A、C符合要求，從而先排除B、D,在第二段變化中，面積 的增長速度顯然較慢，體現(xiàn)在導(dǎo)函數(shù)圖像中其圖像應(yīng)下降， 排除選項C,故選A.方法二：設(shè)正五角星的一個頂點到內(nèi)部較小正五邊形的最近邊的距離肥)=且設(shè)tan18。 m , 則依意可得t - 2mr = mr2m +- 3) + m.m(m +-4Vl +)mx + -：12/w(I/+1V1 + tn22tn . 一-y) + V1 + )Lt +I十獷tn: - 4SJ + 柳

16、+1)71 +J +加 2t2+S(t)2mt2_(.1 m m)( 2t2mt4)2.1 m2t 4( . 1 m2 m)1 t 1 _2m_ ,1 m21 2m2 m其導(dǎo)函數(shù)2m.1 m2選A.【方法技巧】從題設(shè)條件出發(fā)，結(jié)合所學知識點，根據(jù)“四選一”的 要求，逐步剔除干擾項，從而得出正確的判斷 .這種方法適應(yīng)于定性 型或不易直接求解的選擇題.當題目中的變化情況較多時，先根據(jù)某些條件在選擇支中找出明顯與之矛盾的， 予以排除，再根據(jù)另一些條 件在縮小的選擇支的范圍內(nèi)找出矛盾， 這樣逐步篩選，直到得出正確 的選擇.它與特例法、圖解法等結(jié)合使用是解選擇題的常用方法，近 幾年高考選擇題中考查較多.11 a,a 2例6. (2010 全國高考卷II理科10)若曲線y x在點 處 的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18,則a 來(A) 64(B)32(C) 16(D)8【命題立意】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程求法, 考查考生的運算求解能力.【思路