彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題

1、關(guān)于彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題第一張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第一節(jié) 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題第二節(jié) 平衡微分方程第三節(jié) 平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)第四節(jié) 幾何方程 剛體位移第五節(jié) 物理方程第六節(jié) 邊界條件第二章 平面問題的基本理論第二張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 平面問題的基本理論第七節(jié) 圣維南原理及其應(yīng)用第八節(jié) 按位移求解平面問題第九節(jié) 按應(yīng)力求解平面問題 相容方程第十節(jié) 常應(yīng)力情況下的簡化 應(yīng)力函數(shù)第三張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 彈性力學(xué)平面問題共有應(yīng)力、應(yīng)變和位移8個未知函數(shù)，且均為 。2-1平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問

2、題 彈性力學(xué)空間問題共有應(yīng)力、應(yīng)變和位移15個未知函數(shù)，且均為 ；平面應(yīng)力第四張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月=第五張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月=第六張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月兩類特殊問題1、平面應(yīng)力問題yxyzt/2t/2第七張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 （4）約束作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變。 （3）面力作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變； （2）體力作用于體內(nèi)，平行于板的中面，沿板厚不變；條件是： 第一種：平面應(yīng)力問題 平面應(yīng)力 （1）等厚度的薄板；第八張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 坐標(biāo)

3、系如圖選擇。平面應(yīng)力第九張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月簡化為平面應(yīng)力問題： 故只有平面應(yīng)力 存在。 由于薄板很薄，應(yīng)力是連續(xù)變化的，又無z向外力，可認(rèn)為：平面應(yīng)力（1）兩板面上無面力和約束作用，故第十張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 所以歸納為平面應(yīng)力問題：a.應(yīng)力中只有平面應(yīng)力 存在；b.且僅為 。平面應(yīng)力（2）由于板為等厚度，外力、約束沿z向不變，故應(yīng)力 僅為 。第十一張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月如：弧形閘門閘墩計算簡圖：平面應(yīng)力深梁計算簡圖：F第十二張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月因表面無任何面力，平面應(yīng)力AB例題1：試分析A

4、B薄層中的應(yīng)力狀態(tài)。故接近平面應(yīng)力問題。故表面上，有：在近表面很薄一層內(nèi)：第十三張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第二種：平面應(yīng)變問題縱向軸壓力管道縱向軸水壩第十四張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 （2）體力作用于體內(nèi)，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；平面應(yīng)變第二種：平面應(yīng)變問題條件是： （1）很長的常截面柱體； （3）面力作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變； （4）約束作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變。第十五張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月坐標(biāo)系選擇如圖：平面應(yīng)變對稱面第十六張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 故任何

5、z 面（截面）均為對稱面。 平面應(yīng)變（1）截面、外力、約束沿z 向不變，外力、約束 平行xy面，柱體非常長；簡化為平面應(yīng)變問題：第十七張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月（2）由于截面形狀、體力、面力及約束沿 向均不變，故應(yīng)力、應(yīng)變和位移均為 。平面應(yīng)變第十八張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 所以歸納為平面應(yīng)變問題： a.應(yīng)變中只有平面應(yīng)變分量 存在； b.且僅為 。平面應(yīng)變第十九張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例如：平面應(yīng)變隧道擋土墻oyxyox第二十張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月且僅為 。故只有 ，本題中：平面應(yīng)變oxyz例題2：試分析

6、薄板中的應(yīng)變狀態(tài)。故為平面應(yīng)變問題。第二十一張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月22平衡微分方程定義 平衡微分方程-表示物體內(nèi)任一點的微分體的平衡條件。第二十二張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 在任一點（x，y）取出一微小的平行六面體 ,作用于微分體上的力：體力： 。定義應(yīng)力：作用于各邊上， 并表示出正面上 由坐標(biāo)增量引起 的應(yīng)力增量。第二十三張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月應(yīng)用的基本假定：連續(xù)性假定應(yīng)力用連續(xù)函數(shù)來表示。小變形假定用變形前的尺寸代替變 形后的尺寸。 第二十四張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月列出平衡條件：合力 = 應(yīng)力面積，體

7、力體積； 以正向物理量來表示。平面問題中可列出3個平衡條件。平衡條件第二十五張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月其中一階微量抵消，并除以 得： ，同理可得：平衡條件第二十六張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 當(dāng) 時，得切應(yīng)力互等定理,得平衡條件第二十七張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 適用的條件-連續(xù)性，小變形；說明對平衡微分方程的說明： 代表A中所有點的平衡條件， 因位（ ，）A； 應(yīng)力不能直接求出； 對兩類平面問題的方程相同。第二十八張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月理論力學(xué)考慮整體 的平衡（只決定整體的運動狀態(tài)）。 說明比較:材料力學(xué)考慮有

8、限體 的平衡（近似）。 彈性力學(xué)考慮微分體 的平衡（精確）。第二十九張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 當(dāng) 均平衡時，保證 ， 平衡；反之則不然。 說明 所以彈力的平衡條件是嚴(yán)格的，并且是精確的。 第三十張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月理力（ V ）材力（ ）彈力（ ）hV dxdy dx第三十一張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題1.試檢查，同一方程中的各項，其量綱 必然相同（可用來檢驗方程的正確性）。2.將條件 ,改為對某一角點的 ，將得出什么結(jié)果？3.微分體邊上的應(yīng)力若考慮為不均勻分布， 將得出什么結(jié)果？第三十二張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2

9、022年6月 已知坐標(biāo)面上應(yīng)力 ， 求斜面上的應(yīng)力。問題的提出：23平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)問題第三十三張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月求解：取出一個三角形微分體（包含 面， 面， 面）， 邊長問題斜面應(yīng)力表示：第三十四張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月yxPAPBppxpyNNn2、平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài) 幾何參數(shù)：設(shè)AB面面積=ds， PB面積=lds， PA面積=mds。斜面上應(yīng)力分解為：由Y=0得：（2-3）第三十五張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月由平衡條件，并略去高階分量體力項，得(1)求（ , ）(a)斜面應(yīng)力其中：l=cos(n,x),

10、m=cos(n,y)。第三十六張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月2、平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài) yxPAPBppxpy斜面上應(yīng)力分解為：NN（2-4）（2-5）已知P點應(yīng)力xyxy可求出過P點任意斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力（NN） 利用（2-4）（2-5）應(yīng)力在x，y軸上的投影（px，py） 利用（2-3）n第三十七張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月(2)求（ ）將 向法向，切向投影，得斜面應(yīng)力第三十八張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月主平面主應(yīng)力：剪應(yīng)力等于零的平面叫主平 主平面上的應(yīng)力叫主應(yīng)力。 pxpyyxAPBn2(x+y)+(xy2xy)=0第三十九張，

11、PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè)某一斜面為主面，則只有由此建立方程，求出:(3)求主應(yīng)力斜面應(yīng)力(c)第四十張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月主平面主應(yīng)力：剪應(yīng)力等于零的平面叫主平面， 主平面上的應(yīng)力叫主應(yīng)力。 pxpyyxAPBn注意:平面應(yīng)力狀態(tài)下,任一點一般都存在 兩個主應(yīng)力。二者方向互相垂直。 1+2=x+y任一點主應(yīng)力值是過該點各截面上正應(yīng)力中的極值。最大剪應(yīng)力所在平面與主平面相交45，其值為主平面上剪應(yīng)力等于零，但max 作用面上正應(yīng)力一般不為零。而是： 第四十一張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月將x，y放在 方向，列出任一斜面上應(yīng)力公式，可以

12、得出（設(shè) ）(4)求最大，最小應(yīng)力最大，最小應(yīng)力說明：以上均應(yīng)用彈力符號規(guī)定導(dǎo)出。(d)第四十二張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月幾何方程表示任一點的微分線段 上形變與位移之間的關(guān)系。24幾何方程剛體位移定義第四十三張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月變形前位置： 變形后位置： 各點的位置如圖。 通過點P(x,y)作兩正坐標(biāo)向的微分線段定義第四十四張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 應(yīng)用基本假定：連續(xù)性；小變形。當(dāng)很小時，假定第四十五張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月幾何方程 剛體位移yxPABPABuvPA=dx, PB=dyPA正應(yīng)變:PB正應(yīng)

13、變:（2-8）幾何方程：對兩種平面問題都適用。第四十六張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月假定由位移求形變：PA 線應(yīng)變PA 轉(zhuǎn)角PB 線應(yīng)變PB 轉(zhuǎn)角同理，第四十七張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 適用于區(qū)域內(nèi)任何點，因為（x,y） A；對幾何方程的說明：所以平面問題的幾何方程為：說明 適用條件：a.連續(xù)性；b.小變形。 應(yīng)用小變形假定，略去了高階小量 線性的幾何方程；第四十八張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 幾何方程是變形后物體連續(xù)性條件 的反映和必然結(jié)果。 形變和位移之間的關(guān)系： 位移確定 形變完全確定： 從物理概念看，各點的位置確定，則微分線段上的

14、形變確定 。 說明 從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看，位移函數(shù)確定，則其導(dǎo)數(shù)（形變）確定 。第四十九張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 從物理概念看， ， 確定，物體還可作剛體位移。 從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看， ， 確定，求位移是積分運算，出現(xiàn)待定函數(shù)。形變確定，位移不完全確定： 形變與位移的關(guān)系第五十張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月由 ,兩邊對y積分，由 ,兩邊對x積分，例：若 ,求位移：形變與位移的關(guān)系代入第三式第五十一張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月分開變量， 因為幾何方程第三式對任意的（x，y）均應(yīng)滿足。當(dāng)x（y）變化時，式(b)的左，右均應(yīng)=常數(shù) ，由此解出 。可得形變與位移

15、的關(guān)系第五十二張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月物理意義：形變與位移的關(guān)系表示物體繞原點的剛體轉(zhuǎn)動。表示x，y向的剛體平移，第五十三張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)論 形變確定，則與形變有關(guān)的位移可以確定，而與形變無關(guān)的剛體位移則未定。須通過邊界上的約束條件來確定 。第五十四張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題1.試證明微分體繞z軸的平均轉(zhuǎn)動分量是2.當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r， 試求出對應(yīng)的位移分量。第五十五張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月物理方程表示（微分體上）應(yīng)力和形變 之間的物理關(guān)系。定義即為廣義胡克定律：25物理方程第五十六張，PPT共一

16、百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月物理方程的說明：說明 正應(yīng)力只與線應(yīng)變有關(guān)；切應(yīng)力只與切 應(yīng)變有關(guān)。 是線性的代數(shù)方程； 是總結(jié)實驗規(guī)律得出的； 適用條件理想彈性體；第五十七張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 物理方程的兩種形式： 應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于 按應(yīng)力求解； 應(yīng)力用應(yīng)變（再用位移表示） 表示，用于按位移求解。說明第五十八張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月平面應(yīng)力問題的物理方程： 代入 ，得：在z方向平面應(yīng)力第五十九張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 代入 得平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變在z方向，第六十張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月平

17、面應(yīng)力物理方程平面應(yīng)變物理方程：變換關(guān)系：平面應(yīng)變物理方程平面應(yīng)力物理方程：第六十一張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題 1.試證：由主應(yīng)力可以求出主應(yīng)變，且兩者方向一致。 2.試證：3個主應(yīng)力均為壓應(yīng)力，有時可以產(chǎn)生拉裂現(xiàn)象。 3.試證：在自重作用下，圓環(huán)（平面應(yīng)力問題）比圓筒（平面應(yīng)變問題）的變形大。第六十二張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 位移邊界條件 設(shè)在 部分邊界上給定位移分量 和 ,則有（在 上)。（a）定義 邊界條件 表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系。位移邊界條件26邊界條件第六十三張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 若為簡

18、單的固定邊， 則有位移邊界條件的說明：（在 上）。（b） 它是在邊界上物體保持連續(xù)性的條 件，或位移保持連續(xù)性的條件。 它是函數(shù)方程，要求在 上每一點 ， 位移與對應(yīng)的約束位移相等。第六十四張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月在23 中，通過三角形微分體的平衡條件，導(dǎo)出坐標(biāo)面應(yīng)力與斜面應(yīng)力的關(guān)系式，應(yīng)力邊界條件設(shè)在 上給定了面力分 量 （在A中）。（c）應(yīng)力邊界條件第六十五張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月將此三角形移到邊界上，并使斜面與邊界面重合，則得應(yīng)力邊界條件:第六十六張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 它是邊界上微分體的靜力平衡條件；說明應(yīng)力邊界條件的

19、說明： 式（c）在A中每一點均成立，而 式（d）只能在邊界 s上成立； 它是函數(shù)方程，要求在邊界上每一點s 上均滿足，這是精確的條件；第六十七張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 所有邊界均應(yīng)滿足，無面力的邊界 （自由邊） 也必須滿足。 式（d）中， 按應(yīng)力符號規(guī)定， ， 按面力符號規(guī)定； 位移,應(yīng)力邊界條件均為每個邊界兩 個，分別表示 ， 向的條件；說明第六十八張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月若x=a為正x 面，l = 1, m = 0, 則式(d)成為當(dāng)邊界面為坐標(biāo)面時，坐標(biāo)面第六十九張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月若x=-b為負(fù)x 面，l = -1,

20、 m = 0 , 則式(d)成為第七十張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月應(yīng)力邊界條件的兩種表達(dá)式：兩種表達(dá)式 在同一邊界面上，應(yīng)力分量應(yīng)等于對 應(yīng)的面力分量（數(shù)值相等，方向一 致）。即在同一邊界面上,應(yīng)力數(shù)值應(yīng) 等于面力數(shù)值(給定),應(yīng)力方向應(yīng)同面 力方向(給定)。 在邊界點取出微分體，考慮其平衡條 件，得式（d）或（e），（f ）；第七十一張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 在斜面上， 在坐標(biāo)面上，由于應(yīng)力與面力的符號規(guī)定不同，故式（e），（f ）有區(qū)別。例如：兩種表達(dá)式第七十二張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1列出邊界條件：第七十三張，PPT共一百七

21、十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第七十四張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2列出邊界條件：第七十五張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月顯然，邊界條件要求在 上， 也成拋物線分布。第七十六張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應(yīng)力邊界條件；混合邊界條件混合邊界條件： 同一邊界上，一個為位移邊界條件，另一個為應(yīng)力邊界條件。第七十七張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例3列出 的邊界條件：第七十八張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 彈性力學(xué)問題是微分方程的邊值問題。應(yīng)力，形變，位移等未知函數(shù)必須滿足A內(nèi)的方

22、程和S上的邊界條件。主要的困難在于難以滿足邊界條件。 27圣維南原理及其應(yīng)用 圣維南原理可用于簡化小邊界上的應(yīng)力邊界條件。第七十九張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對同一點的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變，但 遠(yuǎn)處所受的影響可以不計。圣維南原理圣維南原理：第八十張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月圣維南原理1.圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界 （小邊界，次要邊界或局部邊界）；圣維南原理的說明：4.遠(yuǎn)處 指“近處”之外。3.近處 指面力變換范圍的一，二倍 的局部區(qū)域；2.靜力等

23、效 指兩者主矢量相同，對 同一點主矩也相同；第八十一張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月圣維南原理 圣維南原理表明，在小邊界上進行面力的靜力等效變換后，只影響近處（局部區(qū)域）的應(yīng)力，對絕大部分彈性體區(qū)域的應(yīng)力沒有明顯影響。 圣維南原理推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計。第八十二張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1比較下列問題的應(yīng)力解答：b第八十三張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2比較下列問題的應(yīng)力解答：推廣第八十四張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022

24、年6月 圣維南原理的應(yīng)用：1.推廣解答的應(yīng)用；2.簡化小邊界上的邊界條件。應(yīng)用第八十五張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月圣維南原理在小邊界上的應(yīng)用： 精確的應(yīng)力邊界條件如圖，考慮 小邊界，第八十六張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點，應(yīng)力與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。(a)在邊界 上，第八十七張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 在小邊界x=l上，用下列條件代替式(a)的條件： 在同一邊界 x=l 上， 應(yīng)力的主矢量 = 面力的主矢量（給定); 應(yīng)力的主矩(M) = 面力的主矩（給定）.數(shù)值相等,方向一致.(b)圣維

25、南原理的應(yīng)用積分的應(yīng)力邊界條件第八十八張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 右端面力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，均已給定； 左端應(yīng)力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，應(yīng)與面力相同，并按應(yīng)力的方向規(guī)定確定正負(fù)號。第八十九張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月具體列出3個積分的條件：第九十張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月即： 應(yīng)力的主矢量，主矩的數(shù)值=面力的主矢量，主矩的數(shù)值； 應(yīng)力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。 式中應(yīng)力主矢量，主矩的正方向,正負(fù)號的確定： 應(yīng)力的主矢量的正方向，即應(yīng)力的正方向， 應(yīng)力的主矩的正方向，即（正應(yīng)力） （正的矩臂）的方向。第

26、九十一張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月討論： 1.如果只給出面力的主矢量，主矩如圖，則式(c)右邊直接代入面力的主矢量，主矩； 2.在負(fù) x 面， ，由于應(yīng)力，面力的符號規(guī)定不同，應(yīng)在式(c)中右端取負(fù)號； 3.積分的應(yīng)力邊界條件(b)或(c)雖是近似的，但只用于小邊界，不影響整體解答的精度。第九十二張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 精確的應(yīng)力邊界條件 積分的應(yīng)力邊界條件方程個數(shù) 2 3方程性質(zhì) 函數(shù)方程（難滿足） 代數(shù)方程（易滿足）精確性 精確 近似適用邊界 大，小邊界 小邊界比較：第九十三張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題1、為什么在大邊界（主

27、要邊界）上，不能 應(yīng)用圣維南原理？2、試列出負(fù) 面上積分的應(yīng)力邊界條件， 設(shè)有各種面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。第九十四張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題，除物理方程的彈性系數(shù)須變換外，其余完全相同。因此，兩者的解答相似,只須將 進行變換。以下討論平面應(yīng)力問題。1.平面問題的基本方程及邊界條件平面問題28按位移求解平面問題第九十五張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 平面應(yīng)力問題 平面域A內(nèi)的基本方程:平衡微分方程（在A內(nèi)）第九十六張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月幾何方程物理方程（在A內(nèi)）（在A內(nèi)）第九十七張，PPT共一百七

28、十一頁，創(chuàng)作于2022年6月應(yīng)力邊界條件 位移邊界條件 （在 上）（在 上）S上邊界條件: 8個未知函數(shù) 必須滿足上述方程和邊界條件。第九十八張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 按位移求解（位移法）取 ， 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去形變和應(yīng)力，導(dǎo)出只含 ， 的方程和邊界條件，從而求出 ， ；再求形變和應(yīng)力。2.解法消元法 解法第九十九張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 按應(yīng)力求解（應(yīng)力法）取 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和形變，導(dǎo)出只含應(yīng)力的方程和邊界條件，從而求出應(yīng)力；再求形變和位移。 這是彈力問題的兩種基本解法。第一百張，PPT共一百七十一

29、頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 按位移求解 將其他未知函數(shù)用 ，表示： 形變用 ，表示幾何方程; 應(yīng)力先用形變來表示（物理方程）， 再代入幾何方程，用 ，表示: 取 ， 為基本未知函數(shù)；按位移求解第一百零一張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第一百零二張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 在A中導(dǎo)出求 ，的基本方程將式(a) 代入平衡微分方程，上式是用 ，表示的平衡微分方程。第一百零三張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月位移邊界條件 （在 上）(d)（在 上）(c)應(yīng)力邊界條件將式(a)代入應(yīng)力邊界條件， 在S上的邊界條件第一百零四張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2

30、022年6月 按位移求解時， ， 必須滿足A內(nèi)的方程(b)和邊界條件(c)，(d)。歸納：式(b)，(c)，(d)是求解 ， 的條件;也是校核 ， 是否正確的全部條件。第一百零五張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 按位移求解（位移法）的優(yōu)缺點： 求函數(shù)式解答困難，但在近似解法（變分法，差分法，有限單元法）中有著廣泛的應(yīng)用。 適用性廣可適用于任何邊界條件。第一百零六張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 考慮兩端固定的一維桿件。圖(a)，只受重力作用， 。試用位移法求解。(a) (b)第一百零七張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月解：為了簡化，設(shè)位移 按位移求解

31、，位移應(yīng)滿足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然滿足，第二式成為 (a) (b)第一百零八張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 均屬于位移邊界條件，代入 ，得得解出第一百零九張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月在 處，代入 ，并求出形變和應(yīng)力，第一百一十張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題試用位移法求解圖(b)的位移和應(yīng)力。第一百一十一張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月（1）取 為基本未知函數(shù)；基本方程29 按應(yīng)力求解平面問題相容方程1.按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題（2）其他未知函數(shù)用應(yīng)力來表示:第一百一十二張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作

32、于2022年6月 位移用形變應(yīng)力表示，須通過積分，不僅表達(dá)式較復(fù)雜，而且包含積分帶來的未知項，因此位移邊界條件用應(yīng)力分量來表示時既復(fù)雜又難以求解。故在按應(yīng)力求解時，只考慮全部為應(yīng)力邊界條件的問題,即 。 形變用應(yīng)力表示（物理方程）。按應(yīng)力求解第一百一十三張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 在A內(nèi)求解應(yīng)力的方程(b) 從幾何方程中消去位移 ， ，得相容方程（形變協(xié)調(diào)條件）： 補充方程從幾何方程，物理方程中消去位移和形變得出 :平衡微分方程 （2個）。 (a)第一百一十四張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 代入物理方程，消去形變，并應(yīng)用平衡微分方程進行簡化，便得用應(yīng)力表示的

33、相容方程 ： 其中 (4) 應(yīng)力邊界條件假定全部邊界上均為應(yīng)力邊界條件 。第一百一十五張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月（1）A內(nèi)的平衡微分方程；（2）A內(nèi)的相容方程；（3）邊界 上的應(yīng)力邊界條件；（4）對于多連體，還須滿足位移的單值條 件（見第四章）。 歸納： （1）-（4）也是校核應(yīng)力分量是否正確的全部條件。 按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題 ，應(yīng)力 必須滿足下列條件：第一百一十六張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月2.形變協(xié)調(diào)條件（相容方程）的物理意義形變協(xié)調(diào)對應(yīng)的位移存在位移必然連續(xù)；形變不協(xié)調(diào)對應(yīng)的位移不存在不是物體實際存在的形變微分體變形后不保持連續(xù)。 形變協(xié)調(diào)條件是與

34、形變對應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。 形變協(xié)調(diào)條件是位移連續(xù)性的必然結(jié)果。連續(xù)體位移連續(xù)幾何方程形變協(xié)調(diào)條件。第一百一十七張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月點共點（連續(xù)），變形后三連桿在 點共點，則三連桿的應(yīng)變必須滿足一定的協(xié)調(diào)條件。例1三連桿系統(tǒng)，由于物體是連續(xù)的，變形前三連桿在 D第一百一十八張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月1.試比較按位移求解的方法和按應(yīng)力求解的 方法，并與結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法和力法作 比較。2.若 是否可能 成為彈性體中的形變？3.若 是否 可能為彈性體中的應(yīng)力？思考題第一百一十九張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 相容方程 (A)

35、(a)1.常體力情況下按應(yīng)力求解的條件(A) (b) 平衡微分方程 按應(yīng)力函數(shù)求解210常體力情況下的簡化 應(yīng)力函數(shù)第一百二十張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 應(yīng)力邊界條件 (S) (c) 多連體中的位移單值條件。 (d)第一百二十一張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 在 - 條件下求解 的全部條件(a)，(b)，(c)中均不包含彈性常數(shù)，故 與彈性常數(shù)無關(guān)。2.在常體力,單連體,全部為應(yīng)力邊界條件（ ）下的應(yīng)力 特征：第一百二十二張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)論：不同材料的應(yīng)力( )的理論解相 同，用試驗方法求應(yīng)力時，也可以用不 同的材料來代替。兩

36、類平面問題的應(yīng)力解 相同，試 驗時可用平面應(yīng)力的模型代替平面應(yīng)變的 模型。 第一百二十三張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 3.常體力下按應(yīng)力求解的簡化 對應(yīng)的齊次微分方程的通解，艾里已求出為 非齊次微分方程(b)的任一特解，如取（1）常體力下平衡微分方程的通解是： 非齊次特解+齊次通解。第一百二十四張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月所以滿足平衡微分方程的通解為:(g)為艾里應(yīng)力函數(shù)。第一百二十五張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月如果，則A，B均可用一個函數(shù)表示，即說明：a.導(dǎo)出艾里（Airy）應(yīng)力函數(shù) ，是應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)的相容性，即第一百二十六張，PPT共一百

37、七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月d. 由 再去求應(yīng)力（式（g）,必然滿足平衡微分方程，故不必再進行校核。c. 仍然是未知的。但已將按應(yīng)力 求解轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻?yīng)力函數(shù) 求解，從3個未知函數(shù)減少至1個未知函數(shù) 。b.導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù) 的過程，也就證明了 的存在性，故可以用各種方法去求解 。第一百二十七張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月（2）應(yīng)力應(yīng)滿足相容方程（a），將式 （g）代入（a），得 （3）若全部為應(yīng)力邊界條件（ ）， 則應(yīng)力邊界條件也可用 表示。第一百二十八張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月歸納：（1）A內(nèi)相容方程（h）；（2） 上的應(yīng)力邊界條件；（3）多連體中的位移單值條件

38、連體。求出 后，可由式（g）求得應(yīng)力。 在常體力下求解平面問題 ，可轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻?yīng)力函數(shù) 求解， 應(yīng)滿足:第一百二十九張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月1，在常體力，單連體和全部為應(yīng)力邊界條件條件下，對于不同材料和兩類平面問題的， 和均相同。試問其余的應(yīng)力分量，應(yīng)變和位移是否相同？思考題第一百三十張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月2，對于按位移(u, v)求解，按應(yīng)力（ ， ， ）求解和按應(yīng)力函數(shù) 求解的方法，試比較其未知函數(shù)，應(yīng)滿足的方程和條件，求解的難易程度及局限性。第一百三十一張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章例題 1例題2例題3例題4例題7例題5例

39、題6例題第一百三十二張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 試列出圖中的邊界條件。MFyxl h/2 h/2q(a)第一百三十三張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月解: (a)在主要邊界 應(yīng)精確滿足下列邊界條件：第一百三十四張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月在小邊界x = 0應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分的近似邊界條件，當(dāng)板厚 時，第一百三十五張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月在小邊界x = l，當(dāng)平衡微分方程和其它各邊界條件都已滿足的條件下，3個積分的邊界條件必然滿足，可以不必校核。第一百三十六張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月(b)

40、在主要邊界x= 0, b，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：FOxyqh(b) b/2 b/2第一百三十七張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 在小邊界y = 0，列出3個積分的邊界條件，當(dāng)板厚 時，第一百三十八張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 注意在列力矩的條件時兩邊均是對原點o 的力矩來計算的。 對于y = h的小邊界可以不必校核。第一百三十九張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 厚度 懸臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是 試檢查此組位移是否是圖示問題的解答。第一百四十張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 h/2 h/2AxylFO第一

41、百四十一張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月解： 此組位移解答若為圖示問題的解答，則應(yīng)滿足下列條件:(1) 區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程 (書中式218）;第一百四十二張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月（2）應(yīng)力邊界條件（書中式219），在 所有受面力的邊界 上。其中在小邊 界上可以應(yīng)用圣維南原理，用3個積 分的邊界條件來代替。（3）位移邊界條件（書中式214）。本 題在x = l的小邊界上，已考慮利用圣 維南原理，使3個積分的應(yīng)力邊界條 件已經(jīng)滿足。第一百四十三張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 因此，只需校核下列三個剛體的約束條件： A點（ x = l及

42、y = 0）， 讀者可校核這組位移是否滿足上述條件，如滿足，則是該問題之解。第一百四十四張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 試考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在第一百四十五張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變 相容條件，即 （a）相容； （b）須滿足B = 0, 2A=C ； （c）不相容。只有C = 0，則第一百四十六張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例4 在無體力情況下，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在：第一百四十七張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月解：彈性體中的應(yīng)力，在單連體中必須 滿足： （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）應(yīng)力邊界條件（當(dāng) ）。第一百四十八張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月（a）此組應(yīng)力滿足相容方程。為了滿足平 衡微分方程，必須A=-F, D=-E.此外，還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。（b）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足 A + B = 0。 為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須 滿足 A = B =-C/2。 上兩式是矛盾的，因此此組應(yīng)力分量 不可能存在。第一百四十九張，PPT共一百七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例5 若 是平面調(diào)和函數(shù)，即滿足拉普拉斯方程 試證明函數(shù) 都滿足重調(diào)和方程，因而都可以作為應(yīng)力函數(shù)