高等數(shù)學(xué)第二章極限與連續(xù)課件

1、第 二 章極限與連續(xù)第1頁，共46頁。1 數(shù)列的極限2 函數(shù)的極限3 無窮小量與無窮大量4 極限的運(yùn)算法則5 極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限6 函數(shù)的連續(xù)性第2頁，共46頁?；疽?、了解數(shù)列的概念及性質(zhì);2、了解數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念及幾何意義;2、掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則;3、掌握極限存在準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限;4、掌握利用重要極限求極限的方法;5、理解無窮小量與無窮大量的概念;6、了解函數(shù)的連續(xù)性概念,會(huì)判別函數(shù)的連續(xù)性;7、掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).第3頁，共46頁。1 數(shù)列的極限1.1 數(shù)列的概念定義1 無窮多個(gè)按照一定順序排列的數(shù)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為幾個(gè)數(shù)列的例子： 通項(xiàng)(

2、1)(2)數(shù)列的項(xiàng),第n項(xiàng)稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng). 稱為數(shù)列,簡記為,第4頁，共46頁。(3)(5)(4)它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)上的函數(shù): 數(shù)列可看作定義域?yàn)檎麛?shù)集在幾何上, 數(shù)列可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),第5頁，共46頁。1.2數(shù)列的簡單性質(zhì)如果數(shù)列 滿足那么稱數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列；一、單調(diào)性第6頁，共46頁。單調(diào)遞增和單調(diào)遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列. 那么稱數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.如果數(shù)列滿足第7頁，共46頁。二、有界性 如果存在M0,對(duì)于任何正整數(shù)n ，恒有那么稱數(shù)列 如果數(shù)列所有的項(xiàng)都不超過某一個(gè)常數(shù)，即 如果數(shù)列所有的項(xiàng)都不小于某一常數(shù)，即 為有上界的; ,那么稱數(shù)列,那么稱數(shù)列為有下界的.為有界

3、的；否則稱為無界的.第8頁，共46頁。1.3 數(shù)列的極限n = 1 xn = 2 221334443556一、 數(shù)列極限的定義研究一個(gè)數(shù)列,主要研究當(dāng)n無限增大時(shí)的變化趨勢(shì) .(用記號(hào)來表示)，對(duì)應(yīng)的第9頁，共46頁。由觀察可知第10頁，共46頁。 如果數(shù)列沒有極限,就稱該數(shù)列是發(fā)散的. 時(shí)收斂于a, 觀察前面所舉數(shù)列的例子, 不難看出： 無限地趨近于某一個(gè)常數(shù)a ，就稱數(shù)列，如果當(dāng)對(duì)數(shù)列當(dāng)記作描述性:定義1例如上面的數(shù)列有 = 1 第11頁，共46頁。趨勢(shì)不定收 斂發(fā) 散例如,第12頁，共46頁。例：求下列數(shù)列的極限 解(1)原式 = = 1(2)原式 = 5.(5 + ) 3 n2(1)(

4、2)第13頁，共46頁。極限的定義.下面用精確的、定量化的數(shù)學(xué)語言來給出數(shù)列我們用來表示x與a的接近程度,用 來表示n無限增大 .先說明在數(shù)學(xué)上如何刻劃“無限接近”與“無限增大” ：第14頁，共46頁。(不論它多么定義如果對(duì)于任意給定的正數(shù)e小),存在正數(shù)N,不等式都成立,那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限,記為如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的. 或上述定義稱為定義.或者稱數(shù)列收斂于a,nx使得對(duì)于時(shí)的一切,第15頁，共46頁。例1 用數(shù)列極限的定義證明證 記要使只要 從而可取正整數(shù)由極限的定義得 則當(dāng)時(shí),恒有第16頁，共46頁。幾何解釋.),(,內(nèi)都落在所有的點(diǎn)時(shí)當(dāng)aaxNnnee+-面的點(diǎn)只有有

5、限個(gè)(至多只有N個(gè)). 而在這區(qū)間外設(shè)其幾何意義為:即落在點(diǎn)的鄰域內(nèi)，第17頁，共46頁。1.4 收斂數(shù)列的性質(zhì) 1.唯一性2.有界性由定理2可得無界數(shù)列必定發(fā)散. 注意有界性是數(shù)列收斂的必要條件,非充分條件.有界，但由定義知它不收斂。 如數(shù)列定理1 若數(shù)列收斂,則它的極限唯一.定理2 若數(shù)列收斂，則數(shù)列必有界。第18頁，共46頁。2 函數(shù)的極限2.1 自變量趨于無窮大時(shí),函數(shù) f (x) 的極限 趨于無窮大，實(shí)際上包括三種情形： 取正值無限增大； 取負(fù)值而 無限增大; 既可取正值,也可取負(fù)值,而 無限增大. (1) x 時(shí),函數(shù) f (x) 的極限 例：觀察當(dāng) x絕對(duì)值 無限增大時(shí)，容易看出

6、， f (x) 無限接近于定數(shù) 0 . 第19頁，共46頁。定義1設(shè)函數(shù)為某個(gè)常數(shù))時(shí)有定義，當(dāng)如果當(dāng) 的絕對(duì)值無限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 無限地趨向于某一個(gè)常數(shù)A，那么我們就稱A為當(dāng)函數(shù)的極限，記作或例如0.第20頁，共46頁?；蛘裏o窮大時(shí)函數(shù)f(x) 的極限，記作趨向于某一個(gè)常數(shù)A，那么我們就稱A為當(dāng)x趨向于 如果當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x) 無限地(2)自變量 x + 時(shí),函數(shù) f (x) 的極限的描述：第21頁，共46頁。例如,由函數(shù)的圖形可見,即 時(shí),當(dāng)常數(shù)或記作無限地趨向于第22頁，共46頁。對(duì) ,在直線 的上、下方各作一直線與,則總存在一個(gè)正數(shù) , 使得在區(qū)間 內(nèi),函數(shù) 的圖形 完全

7、位于這兩條直線之間.XAA-幾何意義：第23頁，共46頁。(3)對(duì)于自變量無限減小時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)，討論類似.例如,由圖可見 第24頁，共46頁。y = 2x= 0= 例第25頁，共46頁。2.2自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限 下面討論當(dāng)自變量 趨于有限值 時(shí)，x對(duì)應(yīng)的 無限接近于某一個(gè)常數(shù)A的情形 ?？疾旌瘮?shù) 當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)。如圖所示：何種方式趨于2,相應(yīng)的函數(shù)值 時(shí)我們稱當(dāng) 時(shí), 函數(shù) 以2為極限,記作當(dāng) 在實(shí)數(shù)軸上不論以與2無限接近,這或第26頁，共46頁。0-1-2-324-4-1-2-3123第27頁，共46頁。定義3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 的某個(gè)去心鄰域有定義，如果當(dāng)無限接近于（但 ）,時(shí)地趨

8、向于某一個(gè)常數(shù)A，那么我們就稱A為當(dāng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無限的極限，記作時(shí)或無限接近于常數(shù)A.(不論多么小), 表示一般地,用表示(即與的接近程度下面給出函數(shù)極限的定義：第28頁，共46頁。時(shí)，定義,若對(duì),0,0d$e使當(dāng)則稱函數(shù) 當(dāng) 時(shí)以A為極限,記作 或設(shè)函數(shù)定義4的某一去心鄰域有在點(diǎn)恒有第29頁，共46頁。作一直線與得一帶形區(qū)域 ,則總可以內(nèi)函數(shù)的圖形完全位于這兩條直線之間。函數(shù)時(shí)以A為極限的幾何解釋:當(dāng)與使得在區(qū)間找到相應(yīng)的的一個(gè)正數(shù),對(duì)任意給定的的上、下方各,在直線第30頁，共46頁。例：求極限 解：第31頁，共46頁。當(dāng)自變量 x 從 x0 的右側(cè)趨近于 x0 時(shí)，函數(shù) f (x) 無限趨

9、近常數(shù) A，則稱 A 為 x x0 時(shí)函數(shù) f (x) 的右極限。記為：或 f ( x0 0 ) = A 或 f ( x0 + 0 ) = A 2.3 單側(cè)極限 當(dāng)自變量 x 從 x0 的左側(cè)趨近于 x0 時(shí)，函數(shù) f (x) 無限趨近常數(shù) A，則稱 A 為 x x0 時(shí)函數(shù) f (x) 的左極限。記為：左、右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。 定理1： f (x) 在 x x0 時(shí)的極限存在的充要條件是 左、右極限都存在且相等。即第32頁，共46頁。例：函數(shù) 不存在。 第33頁，共46頁。例3 求函數(shù) 時(shí)的左極限和右極限,并證明 當(dāng)不存在.由于所以不存在。解當(dāng)11-1-10同理第34頁，共46頁。例：討論

10、 在 x = 0 處的極限情況。 解：當(dāng) x 0時(shí)， f（x）= 1， 當(dāng) x 0 時(shí)， f（x） = 1. f（0 0）= 1， f（0 + 0）= 1故 f（x）在 x = 0 處的極限不存在。第35頁，共46頁。1.唯一性2.4函數(shù)極限的性質(zhì)定理2 若存在，則此極限值唯一。2.局部有界性存在，則定理3 若在的某個(gè)去3.局部保號(hào)性定理3 若則,使得對(duì)于內(nèi)的一切，有內(nèi)有界。心鄰域第36頁，共46頁。3 無窮小量與無窮大量例： 當(dāng) x 時(shí)， 是無窮小量； 當(dāng) x 時(shí)，e x 是無窮小量 ； 當(dāng) x 0 時(shí)，sin x 是無窮小量； 當(dāng) x 1 時(shí)，x 2 1 是無窮小量。 3.1 無窮小量與無

11、窮大量 時(shí)的無窮小量,簡稱為無窮小。定義1 如果那么函數(shù)稱為當(dāng)即 以零為極限的變量,稱之為無窮小. (1)無窮小量的定義第37頁，共46頁。注1：無窮小量是就自變量的變化過程而言的。 它不是一個(gè)很小很小的數(shù)，而是極限為 0 的變量。注2：數(shù) 0 是無窮小量。 定理：lim f (x) = A 的充分必要條件是函數(shù) f (x) 可以表示為常數(shù) A 與無窮小量 之和.即有 f (x) = A + . lim f (x) = A (2)無窮小與函數(shù)極限之間的關(guān)系為當(dāng)時(shí)的無窮小量。第38頁，共46頁。(3) 無窮大量的定義 注：無窮大量是就自變量的變化過程而言的。 它不是一個(gè)很大很大的數(shù)，而是極限為

12、的變量。 在自變量的某一變化趨勢(shì)下，若函數(shù) f (x) 的絕對(duì)值無 限地增大，則稱 f (x) 為無窮大量。記為 lim f (x) = 或 f (x) .= = 2例第39頁，共46頁。在自變量的同一變化趨勢(shì)下，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量； 無窮小量（0）的倒數(shù)是無窮大量。(4) 無窮大量與無窮小量的關(guān)系 第40頁，共46頁。 3.2 無窮小量的運(yùn)算性質(zhì) 推論 (1) 常數(shù)與無窮小量的積仍為無窮小量。 (2) 有限個(gè)無窮小量的積仍為無窮小量。解： 當(dāng) x 0 時(shí)，x 是無窮小量； 定理3 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.定理4 有界變量與無窮小的乘積是無窮小。例 求.是有界變量， 當(dāng) x0時(shí)，第41頁，共46頁。3.3無窮小的比較 為了比較兩個(gè)無窮小趨向于零的“快慢”,我們引入無窮小階的概念: 定義3 設(shè) 和 是 時(shí)的無窮小,且(2)如果 ,那么稱 是比 低階的無窮小；(1) 如果 ,那么稱 是比 高階的無窮?。挥涀鞯?2頁，共46頁。(3)如果 ,那么稱 與 為同階無窮小；(4)如果 ,那么稱 與 是等價(jià)無窮小。記作將定義3中的 換成其他形式的極限