【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題大全】 競(jìng)賽專(zhuān)題15 初等數(shù)論（50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）試卷

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題大全】 競(jìng)賽專(zhuān)題15 初等數(shù)論（50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）一、填空題1（2020浙江高三競(jìng)賽）將12020的數(shù)字按順時(shí)針?lè)较驀梢粋€(gè)圓圈，然后從1開(kāi)始，按順時(shí)針依次隔一個(gè)數(shù)拿走，即拿走1，3，5，這個(gè)過(guò)程一直進(jìn)行下去，直到剩下最后一個(gè)數(shù)字，則最后剩下的數(shù)字是_.2（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）關(guān)于x、y的方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為_(kāi)3（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）為正整數(shù)列，滿足為的最小素因子，構(gòu)成集合A，P為所有質(zhì)數(shù)構(gòu)成的集合，則集合的最小元素為_(kāi)4（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）質(zhì)數(shù)p和正整數(shù)m滿足，則_.5（2021浙江高三競(jìng)

2、賽）已知集合，為正整數(shù).若對(duì)任意的，被4整除，但不被16整除，則的最大值為_(kāi).6（2021浙江高二競(jìng)賽）設(shè)數(shù)列，2，7這里表示不超過(guò)的最大整數(shù).若，則正整數(shù)有_種可能的取值情況.7（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）所有能使為質(zhì)數(shù)的正整數(shù)n的倒數(shù)和為_(kāi)8（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）若2020在p進(jìn)制下的各位數(shù)字之和為，則質(zhì)數(shù)p的所有可能值為_(kāi).9（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）在1，2，3，4，1000中，能寫(xiě)成的形式，且不能被3整除的數(shù)有_個(gè)10（2020浙江高三競(jìng)賽）設(shè)，為正整數(shù)，且，則所有的解中的最大值為_(kāi).11（2020江蘇高三競(jìng)賽）設(shè)正整數(shù)，滿足，且，則的值為_(kāi)12（2020江蘇高三競(jìng)賽）設(shè)，若，則的值為_(kāi)

3、13（2021浙江高三競(jìng)賽）將順序?yàn)?，2，2020的2020張卡片變成1011，1，1012，2，2020，1010的順序，即原先的前1010張卡片移至第2，4，2020張，這稱(chēng)為一次操作.若從順序1，2，2020開(kāi)始操作，則至少經(jīng)過(guò)_次操作可以恢復(fù)到初始順序.14（2019廣西高三競(jìng)賽）滿足的正整數(shù)對(duì)(x，y)有_ 對(duì).15（2019四川高三競(jìng)賽）若正整數(shù)n使得方程有正整數(shù)解(x，y，z)，稱(chēng)n為“好數(shù)”.則不超過(guò)2019的“好數(shù)”個(gè)數(shù)是_ .二、解答題16（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）求證：對(duì)于正整數(shù)n，令，數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)奇數(shù)和無(wú)窮多個(gè)偶數(shù)（表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)）17（2021全國(guó)高三

4、競(jìng)賽）使得為有理數(shù)的正整數(shù)n為_(kāi)18（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)n是正整數(shù)，是n的全部正因數(shù).定義，已知是2的冪次，求證：n沒(méi)有1之外的平方因數(shù).19（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）用表示正整數(shù)n的各位數(shù)字之和，求所有這樣的三位數(shù)n，使得滿足：20（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）已知a、b、c、d是不同的正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，求證：不是質(zhì)數(shù)21（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）解關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程：（這里為不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)）22（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）兩兩不等的實(shí)數(shù)x、y、z滿足，求.23（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）若關(guān)于z的整系數(shù)方程的三個(gè)復(fù)數(shù)根在復(fù)平面內(nèi)恰好成為一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)等腰直角三角形的面積

5、的最小值.24（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）證明：存在無(wú)窮多個(gè)奇數(shù)n，使得是合數(shù)25（2019山東高三競(jìng)賽）已知是素?cái)?shù)，求正整數(shù)n的所有可能值26（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）求方程的所有正整數(shù)解27（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）求方程的整數(shù)解，其中pq是質(zhì)數(shù)，rs是大于1的正整數(shù)，并證明所得到的解是全部解.28（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）證明：對(duì)任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)和個(gè)互不相同的正整數(shù)，使是完全平方數(shù)29（2021浙江高三競(jìng)賽）已知素?cái)?shù)，滿足.證明：存在正整數(shù)使得的十進(jìn)制表示的各位數(shù)字之和是2或3.30（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)m是一個(gè)給定的正整數(shù)，d是它的一個(gè)正因子已知和是兩個(gè)由正整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，滿足：

6、存在正整數(shù)i、j、k、l，使得證明：存在正整數(shù)t、s使得31（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)多項(xiàng)式的系數(shù)為正整數(shù)定義數(shù)列：證明：對(duì)于任意的整數(shù)，均存在質(zhì)數(shù)p，使得，且32（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）一個(gè)大于1的整數(shù)m，如果對(duì)所有的正整數(shù)n，都存在正整數(shù)x、y、z，使得，則稱(chēng)m為上數(shù)，否則稱(chēng)為下數(shù)試問(wèn)：是否存在無(wú)數(shù)多的上數(shù)？是否存在無(wú)數(shù)多的下數(shù)？33（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）如果正整數(shù)n滿足存在正整數(shù)a、b、c使得，則稱(chēng)n為好數(shù)求證：存在連續(xù)2020個(gè)正整數(shù)這2020個(gè)正整數(shù)都是好數(shù)注：對(duì)于正整數(shù)x，y，表示x，y的最大公因數(shù)34（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)函數(shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（1）對(duì)任意x、，有；（2

7、）對(duì)任意，有；（3）求的最小值35（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，定義為從1到n中所有與n不互質(zhì)的正整數(shù)的和.求證：若且，則是合數(shù).36（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）已知正整數(shù)，設(shè)為正整數(shù)滿足，求所有的值（表示不超過(guò)的最大整數(shù)）37（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）證明：對(duì)任何正整數(shù)，存在無(wú)窮多組整數(shù)，使得（1）互質(zhì)；（2）；（3）38（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）正整數(shù)，且的素因子個(gè)數(shù)不超過(guò)2，對(duì)于任意整數(shù)，若，則有成立，求證：是質(zhì)數(shù).39（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)，為正奇數(shù)，定義數(shù)列如下：，當(dāng)時(shí)，為的最大奇因子.求證：當(dāng)充分大時(shí)，為常數(shù)，并確定出這個(gè)常數(shù).40（2020全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)證明：對(duì)整數(shù)，必有

8、一個(gè)模4余1的素因子41（2019江蘇高三競(jìng)賽）設(shè)k、l、c均為正整數(shù)，證明：存在正整數(shù)a、b滿足，且，其中(a，b)表示a、b的最大公因數(shù)，表示正整數(shù)m的所有不同正因子的個(gè)數(shù).42（2019江西高三競(jìng)賽）試求所有由互異正奇數(shù)構(gòu)成的三元集a，b，c，使其滿足：.43（2019吉林高三競(jìng)賽）求所有的正整數(shù)n，使得方程有正整數(shù)解.44（2019上海高三競(jìng)賽）求證：不存在無(wú)窮多項(xiàng)的素?cái)?shù)數(shù)列，使得.45（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）已知是兩個(gè)整數(shù)集合，且對(duì)于任意整數(shù)，存在唯一的使得.記.證明：對(duì)任意的，存在，使得.46（2021全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)為一個(gè)質(zhì)數(shù)，且也是一個(gè)質(zhì)數(shù)，證明：的小數(shù)表示形式中包含0至9的所有數(shù)碼47（2021浙江高三競(jìng)賽）給定素?cái)?shù).稱(chēng)1，2，的排列為“好排列”，如果對(duì)，2，均有，并且是的倍數(shù).求“好排列”的個(gè)數(shù)除以的余數(shù).48（2021浙江高三競(jìng)賽）給定正整數(shù).記，2，3，.證明：對(duì)任意素?cái)?shù)，存在無(wú)窮多個(gè)非負(fù)整數(shù)對(duì)，滿足，這100個(gè)數(shù)都能