高中數(shù)學極限與極值數(shù)學競賽講義蘇教版

1、第十四章極限與導數(shù)一、基礎(chǔ)知識.極限定義：(1)若數(shù)列Un滿足，對任意給定的正數(shù) ，總存在正數(shù) m,當nm且nC N時, 恒有|u n-A| 二x ).：x_X0 x大于X0且趨向于X0時f(x)極限為A,稱右極限。類似地lim f (x)表示x小于x0且趨向于x0時f(x)的左極限。 x_xd-.極限的四則運算：如果 lim f(x)=a, lim g(x)=b ,那么 lim f(x) g(x)=a b, xx0 x )Xox )X0lim f(x) ?g(x)=ab, lim -f-(x) =a(b=0).xtx-n g(x) b.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=xo處有定義，且lim f(

2、x)存在，并且lim f(x)=f(x 0),則稱f(x) x_X0 x x0在X=X0處連續(xù)。.最大值最小值定理：如果 f(x)是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，那么 f(x)在a,b上有最大 值和最小值。.導數(shù)：若函數(shù)f(x)在X0附近有定義，當自變量x在X0處取得一個增量 Ax時(Ax充分小)， 因變量y也隨之取得增量 A y( A y=f(x o+A x)-f(x 0).若肥py存在，則稱f(x)在x。處可導，此極限值稱為f(x)在點X0處的導數(shù)(或變化率),即X0一一 八.dy,記作 f (X0)或y x = x0或一 dxf (x0) = lim Ux(X)。由定義知f(x)在點X0連續(xù)

3、是f(x)在X0可導的必要條件。若f(x) X一溝X -%在區(qū)間I上有定義，且在每一點可導，則稱它在此敬意上可導。導數(shù)的幾何意義是：f(x)在點X0處導數(shù)f(x0)等于曲線y=f(x)在點P(x0,f(x 0)處切線的斜率。.幾個常用函數(shù)的導數(shù)：(1) (c)=0 (c為常數(shù))；(xa)=axa(a為任意常數(shù))；(3) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark21 o Current Document (sin x)= cosx; (4) (cos x)=-sin x ；(5)(ax)=axlna ；(6) (ex)=ex ；( 7 ) HYPERLINK l bo

4、okmark65 o Current Document 11 HYPERLINK l bookmark25 o Current Document (loga x) = - log a X ； (8) (lnx) = . xx.導數(shù)的運算法則：若 u(x),v(x) 在x處可導，且u(x) w0,則u(x) v(x)=u(x) v(x) ; (2) u(x)v(x)= u(x)v(x)+ u(x)v(x) ； (3)u(x)v(x) -u(x)v(x)u2(x).1-u(x) u(x)cu(x) =c u(x) (c 為吊數(shù))；(4) = 2- ； (5) =u(x) u (x) u(x).復合

5、函數(shù)求導法：設函數(shù) y=f(u),u=5(x),已知中(x)在x處可導，f(u)在對應的點 u(u= CP (x)處可導，則復合函數(shù)y=f邛(x)在點x處可導，且(f5(x) )= f 甲(x)甲(x).導數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：(1)若f(x)在區(qū)間I上可導，則f(x)在I上連續(xù)；(2)若對一切xC (a,b)有 f(x) 0 ,則 f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；(3)若對一切 xC (a,b)有 f(x) 0,則 f(x) 在(a,b)單調(diào)遞減。.極值的必要條件：若函數(shù) f(x)在x。處可導，且在x。處取得極值，則f(x0)=0.極值的第一充分條件：設 f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0- 8

6、 ,x0+8 )內(nèi)可導，(1)若當x C (x- 8 ,x 0)時 f(x) E 0 ,當 xC (x 0,x 0+8 )時 f(x)至 0 ,則 f(x)在 x0處取得極小值；(2)若當 xC (x- 8 , x)時 f(x) 20 ,當 xC (x0,x0+8 )時 f(x) E0 ,則 f(x)在 x0 處取得極大值。.極值的第二充分條件：設 f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0- S ,x 0+ S )內(nèi)一階可導，在x=x0處二階可 導，且 f(x0) = 0,()#0。(1)若 f(x0) A0,則 f(x)在 x0處取得極小值；(2)若f(x0) f(a)且f(c)=m，則cC (a,b)

7、,且f(c)為最大值，故f(c) = 0 ,綜上 得證。. Lagrange中值定理：若 f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導，則存在 W (a,b),使 口)二 JMf).b -a證明 令 F(x)=f(x)- f (b) - f (a) (x a),則 F(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導，且 b -aF(a)=F(b),所以由 13 知存在 E C(a,b)使 F(R=0,即 f內(nèi)=f(b) - f (a). b - a.曲線凸性的充分條件：設函數(shù) f(x)在開區(qū)間I內(nèi)具有二階導數(shù)，(1)如果對任意 xe I, f(x) 0 ,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；(2)如果對任

8、意x I, f(x)0,則y=f(x) 在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。.琴生不等式：設 0C1, 0C2, , anR, a 1+ a 2+ a n=1。( 1)若 f(x)是a,b上的凸函數(shù)， 則 x1,x 2,x n C a,b 有 f(a 1x1+22x2+anxn) 0) ; (3)n :1 anlim . n( n 1 - - n). n :,20n(2)1“、i； (3) lim1 -xx2 -1,3 -x - ；1 x例 2 求下列極限：(1) lim (l+x)(1+x )(1+ x ) (1+ x )(|x|0 且 x 0,求函數(shù) f(x)= JX

9、-ln(x+a)(x (0,+ oo)的單調(diào)區(qū)間。6.利用導數(shù)證明不等式。例 7 設 x w (0, )，求證：sinx+tanx2x. 27.利用導數(shù)討論極值。例8 設f(x)=alnx+bx 2+x在xi=1和x2=2處都取得極值，試求 a與b的值, 在x1與x2處是取得極大值還是極小值。并指出這時f(x)例 9 設 x 0,兀,y 0,1,試求函數(shù) f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。三、基礎(chǔ)訓練題lim 2n1二n 1 一 3n 1n n232.已知lim.n2 1-an -b =2,則 a-b=3.冗1 cos.2(n 1)lim lim -n

10、:nn一33x2 -4x 133x-2x2 2xn+ -(n + 1)x +n4. lim4 二x 1 (x -1)25.計算limnnlim (x2x一.：1 -，x2 -1)=6.若f(x)是定義在(-8,+ oo)上的偶函數(shù)，且f(0)存在，則f(0)=函數(shù)f(x)在(-8,+oo)上可導，且f(2)=1,則limh )0f (2 h) - f(2 -h)2h若曲線f(x)=x 4-x 函數(shù) f(x)=x-2sinx在點P處的切線平行于直線3x-y=0 ,則點P坐標為的單調(diào)遞增區(qū)間是.函數(shù) f (x) =ln1 -x2一5的導數(shù)為x211 1.若曲線y =1r在點M (2,一)處的切線的

11、斜率為 一，求實數(shù)a.(x -ax)44.求sin29 的近似值。sin a a. 設 0ba 一 ,求證： 一2 sin b b四、高考水平練習題tan a0時，比較大?。簂n(x+1)x.函數(shù)f(x)=x 5-5x4+5x3+1,x -1,2的最大值為 ,最小值為 .曲線y=e-x(x 0)在點M(t,e -t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t),則S(t)的最大值為.若 x0,求證：(x 2-1)lnx (x-1) 2.函數(shù) y=f(x)在區(qū)間(0,+ 8)內(nèi)可導。導函數(shù) f (x)是減函數(shù)，且 f(x)0, xo C (0,+00 ).y=kx+m 是曲線 y=f(x)

12、在點(x 0,f(x。)處的切線方程，另設g(x)=kx+m , ( 1 )用x0,f(x 0), f(x0)表示 m； (2)證明：當 xC(0,+ 8)時，g(x) f(x) ; (3)若關(guān)于 x 的不等式223 ax+b -x3在(0,+ 8)上恒成立 其中a,b為實數(shù)，求b的取值范圍及a,b所滿足的關(guān) 2系。1.設各項為正的無否數(shù)列xn滿足lnx n+ 1(nW N Q ,證明：xn 1(n N+).xn 1五、聯(lián)賽一試水平訓練題設 M=(十進制)n 位純小數(shù) 0? 31a23 an |ai 只取 0 或 1 (i=1,2,n-1 ), an=1 , Tn是SM中兀素的個數(shù)，S是M中所

13、有兀素的和，則lim =.n F若(1-2 x)9展開式的第3項為288,則1而口+口+、=.2n x x x3.設f(x),g(x)分別是定義在 R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當 x0 ,且 g(-3)=0 ,則不等式 f(x)g(x)a(a A0)恒成立，則 y=lg(a -a+3)的取小值為 .2x -1.已知 f(x)=ln(ex+a)(a0)，若對任意 x ln(3a),ln(4a) ，不等式 |m-f-1 (x)|+lnf(x)0(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設0ab,證明:恒成立，則實數(shù)m取值范圍是 .已知函數(shù) f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,0g(a)+g(b)- 2ga +b、|(b-a)ln2.i 2 r 710.(1)設函數(shù) f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0 x-n.11.若函數(shù)gA(x)的定義域 A=a,b)，且gA(x)=b丫b 一1 ,其中a,b為任意的正實數(shù),x)且ab, (1)求gA(x)的最小值；(2)討論gA(x)的單調(diào)