線段調(diào)和分割的性質(zhì)及應(yīng)用

1、由AC平分/BAD ,知AC _L AP ,由此即知 /GAC =/EAC .例21如圖11-33,圓Oi和圓6與 ABC的三邊所在的三條直線都相切，E、F、G、H、為切點(diǎn),并且EG、FH的延長線于點(diǎn) P .求證：直線 PA與BC垂直.P圖 11-33AG 01GaH -O2H連結(jié)O1E、連結(jié)OD、ntt AG02F ，則雨QE ofO2D ,則在 RtQED 與 Rt46FD 中，有EDDF01E02F及截線PGE分別應(yīng)用梅涅勞斯定理,證明 設(shè)直線PA交BC于點(diǎn)D .對 ADC及截線PHF，對 AC行 AH BF DP 彳 DP AG CE有.=1 =.HB FD PA PA GC ED由切

2、線性質(zhì)，有 BF =HB , CE =GC ,有AH AG 目口 ED AG=,即=.FD ED DF AH連結(jié) OG, 02H ,由 Rt4AGO1sRtAHO2 ,知于是，RtA01EDRtA02FD ,即有/OQE =NQDC ,從而直線 DF為OQO?中NOQO2的外角平 分線.設(shè)直線O1O2與直線EF交于點(diǎn)Q （或無窮遠(yuǎn)點(diǎn) Q）,從而點(diǎn)A、Q調(diào)和分割Q02,即DO1、DO2、DA、 DQ為高和線束，于是知 DA _LDQ ,故PA_LBC .例22如圖11-34,四邊形ABCD內(nèi)接于圓0 ,其邊AB、DC的延長線于點(diǎn) P , AD和BC的延長線交 于點(diǎn)Q,過Q作該圓的兩條切線，切點(diǎn)分

3、別為E、F .求證：P、F、E三線共線.A證法1連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)G ,連ZPG并延長，分別交AD、BC于點(diǎn)M、N ,對 APD及點(diǎn)G應(yīng) 用賽瓦定理，并對 APD及截線QCB應(yīng)梅涅勞斯定理，分別有AB PC DMBP二1 ,CD MAAB PC DQBP CD QADM AM從而二，即點(diǎn)M、Q調(diào)和分割 AD .DQ AQ連結(jié)EF與AD交于M，則知M為點(diǎn)Q的切點(diǎn)弦上的點(diǎn)，亦即知 M、Q調(diào)和分割于是點(diǎn) 吊與吊重 合，即知點(diǎn)M在直線EF上.同理，點(diǎn)N在直線EF上，從而直線PG與EF重合，故P、F、E三點(diǎn)共線.證法2連接EF與AD交于點(diǎn)M 交BC于N、則知M、Q調(diào)和分割A(yù)D ,則AQ DQ 即 DQ

4、DQ +AQDQ +AQAM _ DM DM - DM AM - AD，行 QM , QD , DQ AQ e 2AQ TOC o 1-5 h z 有=1 +=1 +AD =-MD MDAD同理由空 CQ 有 CQ CQ +BQ CQ +BQ 有 % _1 JQ+BQ 2BQ BN CN CN -CN BN BC N C - BC BC 對QM N 及截線ABP應(yīng)用梅涅勞斯定理，有QA DP CB 1 QM DP CN 12AD PC BQ 2 M D PC N Q從而對QMN應(yīng)用梅涅勞斯定理之逆定理知P、N、M 三點(diǎn)共線，故P、F、E三點(diǎn)共線.例23如圖11-35,已知A為平面上兩半徑不等的

5、 。01和。02的一個交點(diǎn)，兩外公切線PP2、Q1Q2分別切兩圓于 R、P2,Q、Q2, M1、M2 分別是PQ1,P2O2的中點(diǎn).求證：/O1AO2=/M1AM 2 .P1D圖 11-35證明設(shè)直線與Q1Q2交于點(diǎn)0,則0、。1、02共線，且設(shè)此直線交 。1于D、E兩點(diǎn)，則知M1、 0調(diào)和分割DE,從而DE的中點(diǎn)。1滿足 TOC o 1-5 h z 2201Ml 010 =01E =01A ,01A 010,.即有由 /A01M1 公用，知 01AM1s40QA .01M101A于是 /01AMi =2010A .同理. 02 AM 2 =. 020A.故 0法。2 二 MAM 2例24如圖

6、11-36,已知。1和。02外離，兩條公切線分別切 。于A1、B1,切。02于%、B2,弦AB、A2B2 分別交直線。1。2 于 M1、M2 ,。0 過 A、A 分別交。1、。2 于 P,、P2 .求證：NQP1M 1 =/0zP2M 2 .AiA2證明 設(shè)直線A1A2與B1B2交于點(diǎn)P,先證R、P2、P三點(diǎn)共線.連結(jié)PiP交。2于Q2,直線BP交。Oi于另一點(diǎn)Qi,連結(jié)AQi , A2Q2 , A1P1,則/AQ2P =/AQiP =/BAP .從而Ai、M Q2、P四點(diǎn)共圓，于是知 P2與Q2重合，故P, P2, P三點(diǎn)共線.由Oi、。2、O共線，設(shè)此直線交 OOi于D、E,則知Mi、P調(diào)

7、和分割DE .從而DE的中點(diǎn)Q滿足OiMi OiP=OiE2 =OiP2.OE OF即有由 /POiMi 公用，知 OiPM iSOiPR ,有/01PlM i =/OiPR .Q1Ml OF同理 NO2P2M2 =/O2PF2 ,故/OEM i =/O2F2M2 .例25如圖ii-37,在ABC中，內(nèi)切圓。分別于BC、CA、AB相切于點(diǎn) D、E、F ,連結(jié)AD , 與內(nèi)切圓。相交于點(diǎn)P,連結(jié)BP、CP,則/BPC =90口的充要條件是 AE+AP = PD.圖 ii-37證明 過點(diǎn)P作內(nèi)切圓的切線與直線 BC相交于點(diǎn)Q (或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)Q),則知Q和D調(diào)和分割CB .必要性：當(dāng) ZBPC =90

8、時，則知PC平分ZQPD ,于是在 4PCD中，ZCDP =2/CPD .令 AP =m , PD =n , AE =x , EC =v ,貝U CD =v .作APCD的外接圓，作 ZPDC的平分線并應(yīng)用托勒密定理，有 PC2 =CD2 +CD PD .即 PC2 =v2 +v n .在 ACD及AD上點(diǎn)P應(yīng)用斯特瓦爾特定理，有22 AP 2 PDPC =CD +AC - AP PD .AD AD TOC o 1-5 h z 即 PC2 =v2 1m +(x +v)2 1n- -m -n -m nm n又由切割線定理，有 AE2 =AP AD ,即x2=m(m+n).由，有 v2 +v n

9、=v2 m +m(m +n) +2x v +v2 n- -mn， m nm n化簡得 m +n =2x ,即 m +n =2jm(m +n),從而 n =3m , x = 2m .即 x+m=3m=n ,故 AE+AP=PD .充分性：當(dāng) AE+AP =PD 時，令 AP =m , PD =n , AE =x , EC =CD =v，則 x+m =n .此時，亦有式，由、 n=3m, x=2m.同樣，亦有式：PC2 =v2，上一十(x +v)2-mn ,且此時由式可化簡為 m nm n22 12322cmPC =v ，-（2m+v） ，-3m =v +3mv .44即在APCD中，有PC2 =

10、CD2 +CD，PD.逆用托勒密定理， 知/CDP =2/CPD ,亦即PC平分/QPD .而Q和D調(diào)和分割CB ,從而PB平分NQPD的外角，故 /BPC=90.例26如圖11-38,設(shè)O和I分別為4ABC的外心和內(nèi)心， 4ABC的內(nèi)切圓與邊 BC、CA、AB分線 相切于點(diǎn)D、E、F ,直線FD與CA相交于點(diǎn)P,直線DE與AB相交于點(diǎn)Q ,點(diǎn)M、N分別為線段 PE、QF的中點(diǎn).求證：OI _LMN .證明 由題設(shè)，知P和E調(diào)分割A(yù)C ,又M為PE的中點(diǎn)，則有 ME2=MA.MC.同理，NF2 =NA NB ,設(shè)R、r分別是4ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，連接 IM、IN、OM、ON ,則IM

11、2 =ME2 +r2 , IN2 =NF2 =r2.由圓哥定理，得 OM 2 =MA MC +R2 , ON2 =NA NB + R2 .結(jié)合、兩式，有 IM 2 -IN 2 =OM 2 -ON2 .故 OI _LMN .注 也可由MA MC =ME2,又可知ME是點(diǎn)M到 ABC的內(nèi)切圓的切線長，所以 ME2是點(diǎn)M到內(nèi)切 圓的哥，而 MA MC是點(diǎn)M到4ABC的外接圓的哥.從而等式MA MC =ME2 ,表明點(diǎn)M到4ABC的外接圓與內(nèi)切圓的哥相等，因而 M在 ABC的外接 圓與內(nèi)切圓的根軸上.同理，點(diǎn)N也在 ABC的外接圓與內(nèi)切圓的根軸上.故 OI _MN .例27如圖11-39,設(shè)銳角 AB

12、C的三邊長互不相等，O為其外心，點(diǎn)A在線段AO的延長線上，使得/BAA=CAA.過A作AA_LAC、AA2_LAB,垂足分別為 人、與，作AHa_LBC ,垂足為Ha,記1112 H AA1A2的外接圓半徑為 Ra,類似地可得 Rb、R .求證： 十十十一.其中R為 ABC的外Ra Rb Rc R接圓半徑.圖 11-39證明 設(shè)ABAC的外接圓交 AA于O,由/BAA=/CAA知，O為弧BC的中點(diǎn)，且O在BC的中垂 線上.而 O為BC的中垂線與 AA的交點(diǎn)，則知 O與O重合，且有 /OBC =/OAC .設(shè)AA交BC于M,交。于D,由OB OD OC ，知口為 BAC的內(nèi)心.連BD、DC ,則

13、DB儂 , DC _LAC ,即知A為ABAC的旁心.由推論 6知， OD2 =OM OA又由 /A2AA=/BAO =/HaAC ,知 RtA! AA 限 出 AC ，即有 AA =_HAA .而/丹 AHA =/AAC ,AA AC則AzAHaS AAC .于是， /AA2 H 2=/AAC =/OBC=90*/A,即知 A2H 2_LAA.從而Ha為AAA的垂心，由垂心組 A、&、A、Ha的性質(zhì)知， H aAA的外接圓直徑等于 A%AiAi共圓），即知AA = 2Ra.由,后OM R有=；=,亦即R OA2Ra -R同理，RS OACRSA OAB一 ?一 .RbS ABCRcSa ab

14、c的外接圓直徑AA（因A、A2、A、OMR OM故RrSA ABCR 20 OBCS；A OAC. SA OABC十十=RaRbRc2Ra,從而2=2 .咧=2.2RaAMSA abc111=2,即RaRbRc例28如圖11-40,已知AB是。O的弦，M是弧AB的中點(diǎn)，C是。O外任一點(diǎn)，過點(diǎn) C作。O的切 線CS、CT ,連結(jié)MS、MT分別交AB于點(diǎn)E、F .過點(diǎn)E、F .過點(diǎn)E、F作AB的垂線，分別 交DS、OT于點(diǎn)X、Y .再過點(diǎn)C任作OO的割線，交。O于點(diǎn)P、Q ,連結(jié)MP交AB于點(diǎn)R ,設(shè)Z是4PQR的外心.求證： X、Y、Z三點(diǎn)共線.證明連結(jié)相應(yīng)線段如圖 11-38,則OM _LAB

15、 ,從而EX / OM ,即有NXEC =/OMS =NXSE ,亦即XE =XS,于是以X為圓心，以XE為半徑作OX ,則。X與。相切于點(diǎn)S.由推論 6,有 ME MS =MA2 =MR MP .設(shè)。X和4PQR的外接圓半徑分別為 R1、R2,則由圓哥定理，有 2_2_2；2_2XM =ME MS +R =MR MP +R , XC =CS +R ,ZM 2 =MR MP +R； , ZC2 =CP CQ +R； =CS2 + r2 .從而 XM 2 -XC2 =MR MP CS2 =ZM2 -ZC2,即 ZX _L MC .同理，ZY_LMC,故X、Y、Z三點(diǎn)共線.例29如圖11-41 ,

16、設(shè)H是銳角4ABC的高線CP上的任一點(diǎn)，直線 AH、BH分別交BC、AC于點(diǎn) M、 N .(1)證明： /NPC =/MPC ;(2)設(shè)O是MN與CP的交點(diǎn)，一條通過 O的任意的直線交四邊形 CNHM的邊于D、E兩點(diǎn).證明: ZEPC =/DPC .證法1 (1)略.(2)連CE并延長交 AB于Q ,作DL _LAB于L ,作EG _L AB于G .由 EG / CP / DL ,有 PG = EO 及 EGPL OD DLEG PC QE BC PC DL QC BD欲證ZEPC =ZDPC ,只須證 ZEPG =ZDPL ,又只須證 RtA EPGPD =PE ,連接BE與PC相交于點(diǎn)F .已知AF、BP、 CD三點(diǎn)共點(diǎn).(1)求證：BF是/PBC的平分線；(2)求 tanZPCB 的值.過圓外一點(diǎn)P作圓的兩條切線PA、PB, A、B為切點(diǎn)，再過去P作圓的一條割線分別交圓于 C、 D兩點(diǎn)，過切點(diǎn) B作PA的平行線分別交直線 AC、AD于E、F .求證：BE = BF .銳角 ABC內(nèi)接于OO ,分別過點(diǎn)B、C作。O的切線，并分別交過點(diǎn) A所作。的切線點(diǎn)M、N , AD為邊BC上的高.求證： AD平分/MDN .習(xí)題B1,分別以4ABC的兩邊AB、AC為一邊向形外作 ABF、 ACE ,使得 AABFAACE且ZABF =90 ,設(shè)BE交CF于點(diǎn)M , BE交