解三角形教材分析概要課件

1、數(shù)學(xué)必修5 第一章 解三角形教材分析 本章中，學(xué)生應(yīng)該在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長(zhǎng)與角度之間的數(shù)量關(guān)系，并認(rèn)識(shí)到運(yùn)用它們可以解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。地位與作用： 本章知識(shí)是初中解直角三角形的繼續(xù)，通過本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生就能夠系統(tǒng)地掌握解三角形的完整知識(shí)?？梢詮臄?shù)量的角度認(rèn)識(shí)三角形，使三角成為研究幾何問題的重要工具。是中學(xué)許多數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯點(diǎn)。理解數(shù)學(xué)中的量化思想，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)向量，平面幾何，三角，解析幾何，立體幾何通過用解三角形的方法解決有關(guān)的實(shí)際問題，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生逐漸形成用數(shù)學(xué)的思維方式去解決問題

2、、認(rèn)識(shí)世界的意識(shí)。標(biāo)準(zhǔn)與大綱要求的對(duì)比與說明教學(xué)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)表述大綱目標(biāo)表述解三角形通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題。能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。掌握正弦定理、余弦定理，并能運(yùn)用它們解斜三角形，能力用計(jì)算器解決斜三角形的計(jì)算問題。通過解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。實(shí)習(xí)作業(yè)以測(cè)量為內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力和實(shí)際操作的能力。本章的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實(shí)在解三角形的應(yīng)用上。通過本章學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下

3、學(xué)習(xí)目標(biāo)：（一）課標(biāo)要求 （1）通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題。 （2）能夠熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的生活實(shí)際問題。（二）課時(shí)安排建議1.1正弦定理和余弦定理（約4課時(shí)） 1.2應(yīng)用舉例（約2課時(shí)）1.3小結(jié)（約2課時(shí)）（三）本章教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.正弦定理與余弦定理的探究與發(fā)現(xiàn);2.依據(jù)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)測(cè)量方法，應(yīng)用正弦定理和余弦定理進(jìn)行幾何測(cè)量。目標(biāo)；應(yīng)用價(jià)值；建模思想；應(yīng)用意識(shí)等能力要求學(xué)生能力的發(fā)展，發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題；方法；目標(biāo)（四）本章教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：1.已知“兩

4、條線段長(zhǎng)和一個(gè)角”確定三角形的情況;2.解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題也是學(xué)生面臨的一個(gè)難題。討論及討論的方法數(shù)學(xué)化，抽象思維（五）對(duì)教學(xué)的建議 1重視對(duì)學(xué)生問題意識(shí)和探究意識(shí)的培養(yǎng)和探究方法的訓(xùn)練教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生不斷提出問題，研究問題。教材最突出的特點(diǎn)是對(duì)學(xué)生問題意識(shí)、探究意識(shí)以及探究能力的培養(yǎng)與探究方法的訓(xùn)練。對(duì)正、余弦定理的學(xué)習(xí)要重結(jié)論但更重過程與方法，應(yīng)側(cè)重于結(jié)論的探究與形成的過程，和探究思想與方法的運(yùn)用。根據(jù)具體教學(xué)過程中學(xué)生思考問題的方向來啟發(fā)學(xué)生得到自己對(duì)于定理的證明。 （五）對(duì)教學(xué)的建議 2重視對(duì)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用能力的訓(xùn)練 1)可從三個(gè)層面把握： 應(yīng)用幾

5、何、向量知識(shí)等知識(shí)證明正弦、余弦定理； 應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)與三角變換解決三角形問題； 應(yīng)用正弦、余弦定理解決實(shí)際測(cè)量問題。（五）對(duì)教學(xué)的建議2)充分利用圖形語言的直觀功能，要培養(yǎng)學(xué)生畫圖作題的習(xí)慣。3)對(duì)于應(yīng)用問題,應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力和提取有用信息的能力。4)結(jié)合各校實(shí)際，針對(duì)章后實(shí)習(xí)作業(yè)這一教學(xué)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)計(jì)制定測(cè)量方案，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和應(yīng)用意識(shí)。（五）對(duì)教學(xué)的建議 3.近幾年的高考已經(jīng)把重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到對(duì)基礎(chǔ)和基本技能的考查上。所以要用好教材、打好基礎(chǔ)猶為重要。在雙基知識(shí)的落實(shí)上，應(yīng)以課本的例題、習(xí)題為素材，發(fā)揮教材中例題、習(xí)題的典型作用，事實(shí)上高考試題有相當(dāng)多的題目是課本題目的直

6、接引用或稍作變動(dòng)而來。要關(guān)注定理證明。 （五）對(duì)教學(xué)的建議4.在教學(xué)中關(guān)注運(yùn)算能力的培養(yǎng)，努力解決學(xué)生“一算就錯(cuò)”的問題。平時(shí)重視書寫規(guī)范的訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會(huì)有條理地書寫、清晰地表達(dá)。要注意解題思路的展示和解題后的反思。同時(shí)加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)。培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度、實(shí)事求是的科學(xué)精神。（五）對(duì)教學(xué)的建議5.關(guān)于例習(xí)題的選配與訓(xùn)練的層次層次1:正弦、余弦定理的理解與鞏固性練習(xí)。層次2:依據(jù)問題的已知條件特征，對(duì)正弦定理和余弦定理的識(shí)別與選擇性使用練習(xí)。層次3:三角形內(nèi)的簡(jiǎn)單三角變換問題，如三角形內(nèi)恒等式的證明、三角形形狀的判斷等。（五）對(duì)教學(xué)的建議層次4:實(shí)際測(cè)量問題（天文測(cè)量、航海測(cè)量、地理測(cè)量）： 航

7、海中海上兩個(gè)島嶼間的距離的測(cè)量；海上航行的船只的船速與航向的測(cè)量；底部不可到達(dá)的建筑物的高度的測(cè)量；在水平飛行的飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨鹊臏y(cè)量；不可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離的度量;在天文研究中星際距離的測(cè)量；地理測(cè)量中的角度與面積的測(cè)量等生活實(shí)際中的實(shí)際應(yīng)用問題。（五）對(duì)教學(xué)的建議6.要適當(dāng)控制練習(xí)題目的難度 重點(diǎn)關(guān)注解三角形的應(yīng)用（測(cè)量與幾何），鼓勵(lì)學(xué)生探究不同的方法來解決問題，而不是硬套公式。重視揭示三角形本身所蘊(yùn)涵的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生掌握定理的結(jié)構(gòu),體會(huì)正弦定理與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，強(qiáng)化方程思想與數(shù)形結(jié)合的思想,淡化三角變換，避免單純的恒等變形和過分的技巧性訓(xùn)練。（六）本章的知識(shí)結(jié)構(gòu) 邊

8、、角間的數(shù)量關(guān)系正弦定理余弦定理解三角形應(yīng)用舉例測(cè)量實(shí)習(xí)三角形建模，設(shè)計(jì)幾何，等式，學(xué)科定性和特殊三角形的定量，簡(jiǎn)潔（不用再構(gòu)造直角三角形），更直接揭示規(guī)律。思想、方法上：1、定理結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性；2、由已知求未知，方程（方程組）的思想；3、定理的發(fā)現(xiàn)，推廣的方法，由特殊到一般的探索方法；4、定理的證明，正弦定理中由正弦值求角，三角形的可解性及解的情況，涉及分類討論的思想；5、證明中將一般三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，應(yīng)用中將實(shí)際測(cè)量等問題轉(zhuǎn)化為可解三角形問題（包括將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題）。知識(shí)上：1、兩個(gè)定理的內(nèi)容；2、計(jì)算邊、角；3、根據(jù)需要，進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，證明等式、不等式，判斷三角形形狀

9、等；4、應(yīng)用：實(shí)際生活中，學(xué)科中。建立三角形模型；5、自覺應(yīng)用其相關(guān)知識(shí)解決幾何問題。（八）基本定理及例題分析 正弦定理證明法二:向量法 法一: 構(gòu)造直角三角形 法三:外接圓法法四:面積法 法五:坐標(biāo)法 相同質(zhì)量的物體，從C點(diǎn)沿不同路徑下落到AB平面，重力所做的功相等三角形的可解性與解的個(gè)數(shù)的討論分析一:當(dāng)A為鈍角或直角時(shí),若則無解;若則有一解.當(dāng)A為銳角時(shí), ,則無解；則有一解; 則有兩解；則有一解。 若當(dāng)若若思考與交流中提出，A版探究與發(fā)現(xiàn)分析二： 當(dāng)A為直角或鈍角時(shí),若 則無解; 若 則有一解. 當(dāng)當(dāng)A為銳角時(shí), .,則無解；若則有一解; 若則有兩解； 若則有一解。 余弦定理的證明 法一

10、： 構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理法四： 利用正弦定理，法二： 向量法法三： 建立直角坐標(biāo)系知識(shí)內(nèi)在的和諧與統(tǒng)一法五：方法六:向量法 （七） 高考命題趨勢(shì)本章知識(shí)是高考必考內(nèi)容，重點(diǎn)為正余弦定理及三角形的面積公式，考題靈活多樣。選擇和填空題型以考查用正、余弦定理解三角形為主，難度不大。解答題型主要與三角函數(shù)相結(jié)合實(shí)現(xiàn)邊角互化，或用以解決實(shí)際問題，難度中等，近年考查實(shí)際應(yīng)用問題較多。正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形問題是高考每年必考的熱點(diǎn)問題之一命題的重點(diǎn)主要有三個(gè)方面：一是以斜三角形為背景求三角形的基本量、求三角形的面積、周長(zhǎng)、判斷三角形形狀等；二是以實(shí)際生活為背景，考查解三角形問

11、題；三是與其他知識(shí)的交匯性問題，此類試題一直是命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn) 評(píng)述：解法一通過討論有兩解， 解法二轉(zhuǎn)為求方程解。 A例六正弦定理和余弦定理在實(shí)際測(cè)量中有許多應(yīng)用，教科書在第1.2節(jié)“應(yīng)用舉例”介紹了它們?cè)跍y(cè)量距離、高度、角度等問題中的一些應(yīng)用。 這類問題存在著許多可以供選擇的測(cè)量方案，可以應(yīng)用全等三角形的方法，也可以應(yīng)用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本節(jié)介紹的應(yīng)用兩個(gè)定理的方法，等等。不能直接用解直角三角形的方法去解決，但常常用正弦定理和余弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題。 解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析：理解題

12、意，分清已知與未知，畫出示意圖（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解上方 下方 除兩種設(shè)計(jì)方式，還可以設(shè)計(jì)為： ； ；點(diǎn)N在線段MP的垂直平分線上等. 本題考查運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想。例112009寧海卷 為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)

13、據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟.分析：此題為開放型問題，通過設(shè)計(jì)方案更有利于考查對(duì)知識(shí)理解與掌握.方案一：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角 ；B點(diǎn)到M，N的俯角 ；A，B的距離 d （如圖所示） .第一步：計(jì)算AM . 由正弦定理 第二步：計(jì)算AN . 由正弦定理 ; 第三步：計(jì)算MN. 由余弦定理 方案二：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有： A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角 ，B點(diǎn)到M，N點(diǎn)的府角 ；A，B的距離 d 第一步：計(jì)算BM . 由正弦定理 第二步：計(jì)算BN . 由正弦定理 第三步：計(jì)算MN . 由余弦定理歸納總結(jié)：此問題更能體現(xiàn)新課標(biāo)的所倡導(dǎo)的理念，更有利于考查分析問題、解決問題的能力.例12:(2011年高考陜西卷理