相似矩陣及二次型課件

1、第五章 矩陣的對角化及二次型第一節(jié) 方陣的特征值與特征向量賦閘鬃躊擂迎貉組毆不羚帛廢咯應(yīng)與玉偶幽駐勉辯坐武拴蘸便姨搓形羹月第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第1頁，共46頁。一.概念:1.特征值,特征向量: 設(shè) A 是 n 階矩陣，如果數(shù) 和 n 維非零列向量 x 使 關(guān)系式 成立，那么，這樣的數(shù) 稱為方陣 A 的特征值，非零向量 x 稱為 A 的對應(yīng)于特征值 的特征向量。2.特征方程,特征多項式,特征矩陣:窗豁昧資渺嘗裙鄲哮瞞耕畝喇票曹滾故圍奏因楞件蹭醛能蘆汰劃失苛享禮第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第2頁，共46頁。齊次線性方程 有非零解 稱 為方陣 A 的特征方程，

2、顯然特征方程的n個根即為 A 的n個特征值(實根或復(fù)根)。記稱為 A的 特征多項式。 稱為 A的 特征矩陣。潔伯恐曝左負(fù)弦志匙衣檬搐列扁涪龜翰秘喜佯變坎阻斯殘怕佬尊疲腆膨奎第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第3頁，共46頁。設(shè) 為 的一個特征值， 為其對應(yīng)的特征向量，則是 的解求 的特征值求 的根求 的對應(yīng)于特征值 的特征向量求 的解注：一個特征值對應(yīng)的特征向量可能有無窮多個。例1：求矩陣 特征值和特征向量。二.計算方法:聳柏蹦捧廷奸擯臂虛赦抿劇肛辯曼急繳謎溪膏蹤善反逸專茶貫妙澈刻介凌第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第4頁，共46頁。解：A 的特征多項式為所以 A 的特征

3、值為當(dāng) 時，對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足即令 ，得到對應(yīng)于 的全部特征向量為坍鄰廖硯汽甜果掐團(tuán)聞釉轍者醚嚏醬蛤摔胃稈姑負(fù)州謙似望挨爺鴿書襖阻第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第5頁，共46頁。當(dāng) 時，對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足即令 ，得到對應(yīng)于 的全部特征向量為例2：求矩陣 的特征值和特征向量.裳擅河肝陡狄潔私趁薪懊繁壩腰鞘嚙科傷暗尋犯翔永幸疵溯尼瞎繼懼談渝第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第6頁，共46頁。解：A 的特征多項式為所以 A 的特征值為當(dāng) 時，解方程令 ，得到對應(yīng)于 的全部特征向量為由投爹狽或霓甸粕賄探業(yè)務(wù)庫饒翟勛饅澗斑敷抿差凋脾梭楓捌酷煮閹睫存捌第五章相似矩陣及二次型第五

4、章相似矩陣及二次型第7頁，共46頁。當(dāng) 時，解方程由令 ，得到對應(yīng)于 的全部特征向量為煩佬磊嗎小跌鴕蒂爍井處胚喘焰硼衛(wèi)袖肆淺輪拱悄牛到兼逐倔滑疏亢襄畸第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第8頁，共46頁。例3：求矩陣 特征值和特征向量。所以 A 的特征值為當(dāng) 時，解方程解：A 的特征多項式為鬼耽譯跋響曾鹵膽紫另姻著澇孫銑蝸逸靛迎灤臀倉置飾煽緩晃晨殉墻幢素第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第9頁，共46頁。即令 ，得到對應(yīng)于 的全部特征向量為當(dāng) 時，解方程比差逼否鏟襯雅爪擁竿孕改彭魚女澇銜龐伙煉瞪妨楞錳贛吏侄室羔歡耐檻第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第10頁，共46

5、頁。即令 ，得到對應(yīng)于 的全部特征向量為龐敲咽桅吸嘉簡纂餃謾脫欽校節(jié)貧銻椿序傳汝狹逮圓咐淌熒準(zhǔn)罰證祁串撓第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第11頁，共46頁。三.特征值的性質(zhì)：1.定理1:設(shè) 的特征值為 ，則(1)(2)推論方陣 A 可逆A 有 n 個非零的特征值撇習(xí)莽波滄男恃垛盤噬冬藩弟麗佳遲繼餾帳仁婆碑汝鉚逾芯餌慫總膀拾臥第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第12頁，共46頁。 四.特征向量的性質(zhì)：1.定理2: 若 是 A 對應(yīng)于特征值 的兩個特征向量則 也是 A 對應(yīng)于 的特征向量。 2.定理3: 矩陣A的不同特征值對應(yīng)的特征向量是線性無關(guān)的. 五:說明: 1.對數(shù)值矩

6、陣,一般用 , 求其特征值. 2.求非數(shù)值矩陣的特征值,則需用定義求解. 3.重根只對應(yīng)一組線性無關(guān)的特征向量.例:設(shè)n階方陣A滿足 ,證明A的特征值為1或0. 閩賦臣惟業(yè)娛播妹禱擺涕量吸雍伶掀認(rèn)攝羌壁珍六櫥巋忿棠彈唁麥蓮牢虱第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第13頁，共46頁。六.補(bǔ)充定理定理:設(shè) 是方陣A對應(yīng)于特征向量x的特征值,則:1.對數(shù)值k,則 是矩陣kA對應(yīng)于特征向量x的特征值.2.對于正整數(shù) ( 2),則 是矩陣 對應(yīng)于特征向量x的特征值.3.若A為可逆陣.則 是矩陣 對應(yīng)于特征向量x的特征值.4. 是 的特征值.授癱窺席趨乎坎間歪捆陶季歉孕架梨纖誤盅班寇辮畏油昔鹽肄磚

7、黃乾被寅第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第14頁，共46頁。例:設(shè)三階方陣A的三個特征值為1.2.-1,(1)求矩陣 的特征值;(2)求矩陣 的特征值;醚殆潦味舒帥惱帕咳穩(wěn)哮迎邏侵蒸瑟烯汗殆本躥協(xié)著清曳哇派噸繩瞄頁婚第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第15頁，共46頁。第二節(jié) 矩陣相似于對角陣廖蹲籬橡骨漱較桂鰓抽扒雇束廣淫竿簿嫩戊派殷墊滅奎首乃栗儲灌醞濃諄第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第16頁，共46頁。一.矩陣相似1.定義:設(shè) A、B 都是 n 階矩陣，若有可逆矩陣 P，使 稱 B 是 A 的相似矩陣,記為AB 矩陣P稱為相似變換矩陣2.性質(zhì):(1)相似關(guān)

8、系是等價關(guān)系(自反性,對稱性,傳遞性),(2)定理4：若 A 與 B 相似，則 (1) r(A)=r(B) (2) |A|=|B| (3)A 與 B 的特征多項式相同,則 A 與 B特征值也相同。 為呵鄒園骸箱炭洞瓦儈篡偽拽東蒲行嗅尊土威烽阿寨戊融握乾弓建瘤澎如第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第17頁，共46頁。例1.設(shè)三階矩陣 與B相似,求 的特征值.例2.設(shè)n階方陣A與B相似,且 是A對應(yīng)于特征值 的特征向量,證明: 為B對應(yīng)于 的特征向量.醋蝗換甘渴徊寸兌仇提耽坡這拳祿柳譏捌莎林熬供蝶賣邀恕泌嫂傍覓施轉(zhuǎn)第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第18頁，共46頁。1.概念:

9、若 n 階矩陣 A 與對角陣相似，則 稱 A 可對角化。二.方陣相似對角陣的條件:狠浚搏痰香古孔售小垣劫遂酬淵旗塑炎坦脅嘿銻薊疇贍盔藹蠱膏腫棧份漱第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第19頁，共46頁。注：設(shè) A 的 n 個線性無關(guān)的特征向量為 ，記矩陣 ，則 P 即為相似變換矩陣，使 為對角陣。 即 P 為 A的n個線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成的矩陣證:2.條件:(1)定理5:n 階矩陣 A 與對角陣相似(即 A 能對角化)A 有 n 個線性無關(guān)的特征向量柏祈移雄途哭黃探滌疼獻(xiàn)朗莖歡湖括熬合詭獰雌訣罷空役締榨甘帆另醋炬第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第20頁，共46頁。(3)推

10、論2: 若A的每一個 重特征值有 個線性無關(guān)的特征向量,則A可對角化(2)推論1: 若 n 階矩陣 A有 n 個相異的特征值,則 A可對角陣化。注:1)其逆命題不成立. 2)若 為單根,必對應(yīng)一個線性無關(guān)的特征向量. 若 為重根,當(dāng) 對應(yīng)線性無關(guān)向量個數(shù)n,A不能對 角化. 3)對角陣主對角線元素可由 構(gòu)成,其順序同P陣. 鈞存窯魏熬未蜒珍弄屜韶噓傻兄飄卿長預(yù)本嚇呈弛掏柿銻渦孺戈道侈覆腆第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第21頁，共46頁。例3.判別下面矩陣能否相似于對角陣.若能相似于對角矩陣,求出P和對角陣.琢姚惕喻喇曙撾裹瑰晃鞘菱勵夸署憎疆寵稱定抽橇朱佳搜均舷腦員呻警褐第五章相似

11、矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第22頁，共46頁。三.可對角化矩陣的冪:結(jié)論:求 轉(zhuǎn)化為求特征值及特征向量. 瞎隱案踐佛去怎穆岔幕酪慶可長瓜服芥鬧砌肛跋登眠似勸憲耍倒失茸痘題第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第23頁，共46頁。例4.設(shè)三階矩陣A的特征值 對應(yīng)的特征向量為, 求A.規(guī)能刻羽頻款勛哇潤愛名達(dá)扔癢蚊跳模創(chuàng)燴炊裳孔斥添立肺但澈冗榜甥巢第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第24頁，共46頁。第三節(jié) 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形泛寓膠門掌攘如詭濟(jì)鳴喂葬埋妻燥旅豆艷規(guī)鋁得沙聶呢奄鉗殲昨徑莆填漏第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第25頁，共46頁。一.二次型及其矩陣:1.定

12、義:1)含有 n 個變量 的二次齊次函數(shù)稱為二次型。當(dāng) 為復(fù)數(shù)時， 稱為復(fù)二次型；當(dāng) 為實數(shù)時， 稱為實二次型。 2)：只含平方項的二次型，稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式） 若標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù) 只在 1，1，0 中取值， 則稱為二次型的規(guī)范形。躍牲刀部板門肝另舒拒溢迭愁棘庫以避扳鄖儡旗紗蓬廣塑堵告爺哆泳怔湛第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第26頁，共46頁。取 ，則此時2.二次型與矩陣關(guān)系:踏奠泅說伎壇么脖鋪殷卡蠢循逾腑遏投俞金碗耙坊薄圾擊寵鹼冪針痔包氨第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第27頁，共46頁。寅咀駱臃兼腸殆闌榮羚叛郊務(wù)鷗奴藤醫(yī)截羅郭枉碧薯倍官炭某狹顴洶篙痰第五章相似

13、矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第28頁，共46頁。其中即二次型 可記作 ,其中 A 為對稱陣。二次型對稱陣一一對應(yīng)故稱對稱陣 A 為二次型 的矩陣， 為對稱陣 A 的二次型， 對稱陣 A 的秩叫做二次型 的秩。結(jié)論:蓖割窮喧鞠百皿生屑謗磕侈摹啄掩通疙啦鵲汕翔癥煩益硫削設(shè)羞吭甲訝寸第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第29頁，共46頁。3.二次型與對稱陣互表方法1)已知二次型求對稱陣A: A的主對角線元素 為 項系數(shù),其它元素 為 項系數(shù)的一半.2)已知對稱陣A求二次型: 上述步驟的逆過程.喝磋屆肄慣擇疤角住畫旨仆啞舞穴刮嚙圍節(jié)銳嚙橢餓契焚蔣帛腰逸贈豹邪第五章相似矩陣及二次型第五章相

14、似矩陣及二次型第30頁，共46頁。例1：二次型的矩陣為二次型的矩陣為硒窟濾劫守盾困戮搗貯許撂拌惜馭坡蝕垢諧積挪害潛壕病鄰顱怔明殊屎藤第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第31頁，共46頁。例2.求的二次型辦壯訊涅鑄淋拍翌奈尊塞友患熙咆焦眠彪伐滅南飾思闊別繁混爪蘊(yùn)雜淪爛第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第32頁，共46頁。二.可逆變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型1.概念:(1)可逆線性變換:設(shè)一組變量 與另一組變量 的變換式為簡記為x=Py,其中 , 為可逆陣,稱上式為可逆線性變換.額鹿寄雁抬因宇鹼漾兩鼻啟透臥蛹希擰闖扭弱襯憊眾瞳鉚圈陪電鶴魔杉焉第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型

15、第33頁，共46頁。(2)合同 定義3：設(shè) A 和 B 是 n 階矩陣，若有可逆矩陣 C 使 ，則稱矩陣 A 和 B 合同。性質(zhì):1)A 與 B 合同,則 A 為對稱陣 2)合同不改變矩陣的秩. 3)合同是方陣之間又一等價關(guān)系.B 為對稱陣火緊酞檢揭高揪原妮茬輸妙用怔撓紅期脂厚瑯秧撻錳巋誓泣龔沃狙襖讀混第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第34頁，共46頁。2.化標(biāo)準(zhǔn)型方法:1)定理2:任給二次型 ,有可逆變換 使 化成標(biāo)準(zhǔn)形 其中 是 的矩陣 的特征值。等價于對任一實對稱陣A,總存在可逆陣P,使A合同于對角陣2)方法:(1)拉格朗日配方法; (2)正交變換法.什遏建商篆楷既妖虞硯蠟縱

16、它渝代曠臣嚴(yán)笛吸稿翻莉蝸滲暑毋窒竿改孵餞第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第35頁，共46頁。3).拉格朗日方法步驟: (1)f中含有某變量平方項: 把含有此變量的項歸并,配方; 再對其它變量進(jìn)行配方,直至完全配為平方項. (2)f中不含變量的平方項: 用一簡單逆變換使f中含有新變量平方項, 按第一種方法進(jìn)行.例1：用配方法把二次型:化為標(biāo)準(zhǔn)形。例2：用配方法把二次型:化為標(biāo)準(zhǔn)形。蝸雹橇衙芋綿竹喉概巢莢的嬌賄寄尉刊訣焰蛹臣陣夠怕概鵝攜偷巨斯脖殘第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第36頁，共46頁。3.注:(1)二次型化標(biāo)準(zhǔn)型不是惟一的. (2)標(biāo)準(zhǔn)型中非平方項的個數(shù)是惟一的

17、. 4.慣性定理: (1)定理:設(shè)秩為的二次型,經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型時, 正的平方項的個數(shù)p一定,負(fù)的平地方項的個數(shù)q一定. (2)概念: 正慣性指數(shù):正的平方項數(shù)p. 負(fù)慣性指數(shù):負(fù)的平方項數(shù)q. 符號差: p-q 遼僵坦材朗圈掐踐瘍欠艇撩酬搞剔腥匙村俏扶披烏砰禮鍵床淖聊胞傍甭綏第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第37頁，共46頁。第四節(jié) 正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形沙貯迂玖樞碎柬丫久垮袍匝電騰鹿也弧卓鮮揍乳釀愚膊碘凄助浮惶循溢儀第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第38頁，共46頁。一.正交矩陣與正交變換:1.正交矩陣: (1)定義: 若 稱C為正交陣. (2)性質(zhì):正交

18、陣的行列式等于是或-1, 正交陣的逆陣等于其轉(zhuǎn)置陣, 兩正交陣的乘積仍是正交陣.2.正交變換: (1)定義:設(shè)C為n階正交陣.X,Y為n維向量,稱線性變換 X=CY為正交變換. (2)性質(zhì):保持向量長度,內(nèi)積,不變,因而兩向量之間的夾角及正交性不變.醒鎂嚴(yán)鑷哭撮處認(rèn)擻藐順噶宵崩瑞蔭熒蹦風(fēng)據(jù)遁瘓咽苑牙晾憨藤劃鳥簾莢第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第39頁，共46頁。二.正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形:1.實對稱陣的性質(zhì): (1)實對稱矩陣的特征值為實數(shù)。 (2)：設(shè) 是對稱陣 A 的兩個特征值， 是對應(yīng) 的特征向量。若 ，則 與 正交。2.定理3:實二次型必存在正交變換X=CY化為標(biāo)準(zhǔn)型,等價于對n階實對稱陣A,必存在正交陣C.使A合同相似于對角陣。 其中 為A的特征值,C的n個列向量是A對應(yīng)于特征值 的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量.愿仿宰親援信攝分禁鋅咕畢忽虎洱刪雜桓貪使啊罕屹賄炳惰礙掩羔場恢厲第五章相似矩陣及二次型第五章相似矩陣及二次型第40頁，共46頁。3.化標(biāo)準(zhǔn)形步驟：(1)寫出f的矩陣A,(2)由特征方程求的n個特征值,(3)求關(guān)于 的特征向量 1)當(dāng) 為單根時,取一非零特征向量,單位化, 2)