高考數(shù)學第一輪復習強化訓練16離散型隨機變量及其分布列新人教版選修3

1、11.6離散型隨機變量及其分布列【考綱要求】理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均 值、方差，并能解決一些實際問題.【基礎知識】1、事件的分類：在一定條件下必然發(fā)生的事件，叫做必然事件；在一定條件下不可能發(fā) 生的事件，叫做不可能事件；在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機事件.2、事件A的概率：在大量重復進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率 m總是接近于某一n個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A) (0WP(A)W1)；必然事件的概率是 1,不可能事件的概率是 0.3.等可能事件的概率：(1)基本事件：一次試驗連同其中可

2、能出現(xiàn)的結果稱為一個基本事件(2)如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個，而且所有結果出現(xiàn)的可能性相等，那么每一個基本事件的概率都是 1 .如果某個事件A包含的Z果有m個，那么事件A的概率P(A)n m =.n.隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母 E、Y等表示.離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.連續(xù)型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內的一切值，這樣 的變量就叫做連續(xù)型隨機變量.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變

3、量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序 列出，而連續(xù)性隨機變量的結果不可以列出若是隨機變量，=aZ +b,a,b是常數(shù)，則”也是隨機變量并且不改變其屬性(離散型、連續(xù)型). 分布列：設離散型隨機變量 士可能取彳#值為xb X2,，X3,，士取每一個值x (i=1, 2,)的概率為 P(- = Xi) = Pi ,則稱表X1X2XiPRP2P為隨機變量E的概率分布，簡稱 E的分布列.分布列的兩個性質：(1)P0, i =1, 2,； R+P2+=1 .離散型隨機變量的二項分布：在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)E是一個隨機變

4、量.如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是 P,那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是Pn(匕=k) =Ckpkqn” , (k = 0,1,2,，n, q=1-p).于是得到隨機變量 E的概率分布如下：E 01 k n0 0 n1 1 nJk k n _kn n 0CnP qCnP qCn p qCn p qP.稱這樣的隨機變量E服從二項分布，記作EB(n , p),其中n, p為參數(shù)，并記C： pkqn = b(k ； n, p).兩點分布列兩點分布列的應用非常廣泛.如抽取的彩券是否中獎；買回的一件產品是否為正品；新生嬰兒的性別；投籃是否命中等，都可以用兩點分布列來研究.如果隨機

5、變量X的分布列為兩點分布列，就稱 X服從兩點分布(two 一 point distribution) ,而稱p =P (X = 1 )為成 功概率.兩點分布又稱0 1分布.由于只有兩個可能結果的隨機試驗叫伯努利(Bernoulli )試驗，所以還稱這種分布為伯努利分布.P(I)=q, P/=1)=p, 0cp1, p+q=1.超幾何分布列一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件X=k 發(fā)生的概率為P(X =k)二k n .kCM CN JMcN,k =0,1,21m,其中 m =min M,n,且 nWN,M WN,n, M,NwN*.稱分布列X01mP0n C

6、M CN JMcNp1 pnCM CN JMcNm m pn_m CM CNJMcN為超幾何分布列.如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾 何分布.求離散型隨機變量 自的概率分布的步驟：(1)確定隨機變量的所有可能的值Xi ;(2)求出各取值的概率 p( = =Xi)=pi ,注意利用分布列的性質檢驗；(3)畫出表格?！纠}精講】例1山東水滸書業(yè)在 2009年8月舉行一次數(shù)學新課程研討會，共邀請50名一線教師參加，使用不同版本教材的教師人數(shù)如下表所示：版 本人教A版人教B版蘇教版北 師大版人 數(shù)2015510(1)從這50名教師中隨機選出 2名，求2人所使用版本相同的概率

7、;(2)若隨機選出2名使用人教版的教師發(fā)言， 設使用人教A版的教師人數(shù)為 E ,求隨機變 量E的分布列.解從50名教師中隨機選出2名的方法數(shù)為C-1225.選出2人使用版本相同的方法數(shù)為1*2淄0C?5 - I Cl -I Cio = 350.故2人使用版本相同的概率為：P=350 = 2,P(E=O) =導= 2，P(W= 1)Cb 171225 Co CCh尸(3=2) = * =，E的分布列為38119 7E 0121P錯吳！錯背錯誤例2 2008年中國北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮.現(xiàn)有 8個相同的盒子，每個盒子中放一只福娃，每種福娃的數(shù)量如

8、下表：福娃名 稱貝 貝晶 晶歡 歡迎 迎妮 妮數(shù)量12311從中隨機地選取5只.(1)求選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率；(2)若完整地選取奧運會吉祥物記100分；若選出的5只中僅差一種記 80分；差兩種記60分；以此類推，設 X表示所得的分數(shù)，求 X的分布列.解：(1)選取的5只恰好組成完整“奧運會吉祥物”的概率C21 - C 3163P= 5=C856 28(2) X 的取值為 100,80,60,40.P( X=100) = 4, 0328P( X=80) =q(d - c；+C c)+c(c；+cb 3：i56P( X-60)-C；(c Cl+Cl - c)+c；28P( X

9、=40)一而x的分布列為)1 00806040 錯吳錯:吳錯吳錯，11.6離散型隨機變量及其分布列強化訓練【基礎精練】1 .袋中有大小相同的 5個球，分別標有1,2,3,4,5 五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的件下依次取出兩個球，設兩個球號碼之和為隨機變量 X,則X所有可能取值的個數(shù)是 （B. 9A. 52.設X是一個離散型隨機變量，其分布列為:一1010P.51 2qq2則q等于A. 13.已知隨機變量 X的分布列為-、，、1. 一RX= k) = 2k, k= 1,2 ,R2vXw 4）等于（）3A. 16B.C.1164. 一盒中有12個乒乓球，其中9個新的，3個舊的，從盒中任取 3個球來用

10、，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù) X是一個隨機變量，其分布列為RX ，則R X= 4）的值為1A. 220B.2755C.27220D.21555.若離散型隨機變量X的分布列為:X:0129c一c3-8c則常數(shù)c的值為B.C. 一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為 c, a、b、cC(0,1),已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為1(不計其他彳#分情況)，則ab的最大值為(11A.B.C4824)1112 D, 6.設隨機變量 X等可能取值1,2,3 ,，n,如果RXv 4) = 0.3 ,那么n =.從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出 2個球，設其中有 X

11、個紅球，則隨機變量 X的概率分布為X)r P.設某項試驗的成功率為失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)， 則RX=0)的值為.某重點高校數(shù)學教育專業(yè)的三位畢業(yè)生甲、乙、丙參加了一所中學的招聘面試，面試合 格者可以正式簽約，畢業(yè)生甲表示只要面試合格就簽約，畢業(yè)生乙和丙則約定：兩人面一一一 一 一，一 一 ，一，一，11 一一一人試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約，設每人面試合格的概率都是且面試是否合3格互不影響，求：(1)至少有1人面試合格的概率；(2)簽約人數(shù)X的分布列.甲，乙兩人射擊，每次射擊擊中目標的概率分別是1 :現(xiàn)兩人玩射擊游戲，規(guī)則如下:3 4若某人某次射擊擊中目標，

12、則由他繼續(xù)射擊，否則由對方接替射擊.甲、乙兩人共射擊 3次，且第一次由甲開始射擊.假設每人每次射擊擊中目標與 否均互不影響.(1)求3次射擊的人依次是甲、甲、乙的概率；(2)若射擊擊中目標一次得 1分，否則得0分(含未射擊).用X表示乙的總得分，求 X的分布列和數(shù)學期望.為應對金融危機，刺激消費，某市給市民發(fā)放旅游消費券，由抽樣調查預計老、中、青三類市民持有這種消費券到某旅游景點的消費額及其概率如下表:200元300元400元500元老年0.40.30.20.1中年0.30.40.20.1青年0.30.30.20.2某天恰好有持有這種消費券的老年人、中年人、青年人各一人到該旅游景點,(1)求這

13、三人恰有兩人消費額大于300元的概率；(2)求這三人消費總額大于或等于1300元的概率；(3)設這三人中消費額大于 300元的人數(shù)為X,求X的分布列.【拓展提高】3.某射手進行射擊訓練，假設每次射擊擊中目標的概率為3,且各次射擊的結果互不影響.5(1)求射手在3次射擊中，至少有兩次連續(xù)擊中目標的概率(用數(shù)字作答)；(2)求射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率(用數(shù)字作答)；(3)設隨機變量E表示射手第3次擊中目標時已射擊的次數(shù)，求 E的分布列.袋中有8個白球，2個黑球，從中隨機地連續(xù)取 3次球，每次取1個，求:(1)不放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)E的分布列；(2)放回抽樣時，取到黑球個數(shù)Y

14、的分布列.【基礎精練參考答案】B解析：號碼之和可能為2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9種.C【解析】：由分布列的性質得0W 1 2q 10 q2 110.5 + 1-2q+ q2= 11 0q0,由彳3800,19c2- c+3-8c= 1,6. B解析:由已知 3a+2b+0 xc=1,，3a+2b=1,1(3 a+2b)2124,11 ,，,當且僅當a = -, b=時取“等號”641 .7. 10 斛析：. RX= k) =、(k= 1,2 ,，n),c c-C、 3，0.3=P(X 4) = ”= 1) + P(X= 2) + RX= 3)=%,n = 10. C28. 0.1

15、0.60.3解析：當2球全為紅球時=0.3,t c2當2球全為白球時c2=0.1 ,6c26當1紅、1白時一；5 =右=0.6.C5109. 1解析：設X的分布列為: 3p,成功的概率即“X= 0”表示試驗失敗，“ X= 1”表示試驗成功，設失敗的概率為為 2p,由 p+2p= 1 ,則 p=1.310.解：(1)至少有1人面試合格的概率為22221222116(2) RX= 0)=-X-X-+-X-X-+-X-X- =.()()3 3 3 3 3 3 3 3 3 2712 2 12 11128P( X= 1) = -X - X | X -X | X -X -=, ,333333333 272

16、 112P( X= 2) = -X - X=.()3 3 3 27.1 11P(X= 3) = -x-x- =3 3 3127從而X的分布列為1 2率 RA) =-x-=3 329；X:013)錯1吳！錯吳！錯一吳！錯-11.解：(1)記“3次射擊的人依次是甲、甲、乙”為事件A由題意,得事件 A的概(2)由題意，X的可能取值為0,1,2 ,P(X= 0)1112323=-x- + X-X 7+-X-=333343479；P(X= 1) = -X312 12 1-x 一+-x-x-=3 4 3 4，1372；2 111P(X= 2) = -X-X-=.()3 4 4 24所以，X的分布列為:X:

17、012) 嵯i誤錯一吳！錯212.解：(1) R = (0.3) X 0.6 +2X0.3 X 0.7 X 0.4 = 0.222;(2)消費總額為1500元的概率是：0.1 X0.1 X0.2 = 0.002消費總額為1400元的概率 是：(0.1) 2X0.2+2X(0.2) 2X0.1 = 0.010 ,消費總額為 1300 元的概率是：(0.1) 2X 0.3+0.3 X 0.1 X 0.2+0.1 X 0.4 X 0.2 +0.22+ 2X0.2 2X0.1 = 0.033.所以消費總額大于或等于1300元的概率是P2 = 0.045 ;RX= 0) =0.7 X 0.7 X 0.6

18、 = 0.294 ,p(X= 1) =0.3 X 0.7 X 0.6 X2+0.7 X 0.7 X 0.4 =0.448 ,P(X= 2) =0.3 X 0.3 X 0.6 +0.3 X 0.7 X 0.4 X2=0.222 ,P(X= 3) =0.3 X 0.3 X 0.4 = 0.036.所以X的分布列為：X:01230.2940.4480.2220.036【拓展提高參考答案】L【解析】 記.射手射擊1次，擊中目標”為事件4則在3次射擊中至少有兩次連續(xù)擊中目 標的凝率.PZ P（A - A-溜）+產（金+產W3 3 2,233,33 L = -X-X-H-X-X-+-X-X-63125-（2）射手第3次擊中目標時，恰好射擊了 4次的概率.W22 V 3