IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)課件

1、第 4 章 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)內(nèi)容 概述 模擬濾波器設(shè)計(jì) 模擬濾波器的數(shù)字仿真 沖激響應(yīng)不變法 雙線性變換法 高通、帶通和帶阻 IIR DF 的設(shè)計(jì)(數(shù)字頻率變換) IIR 數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu) IIR 數(shù)字濾波器的應(yīng)用2濾波器：選擇所需的某一或某些頻帶的信號(hào)，而抑制不需要的其它頻帶的信號(hào)。通帶：濾波器中使信號(hào)通過的頻帶，通帶邊緣所對(duì)應(yīng)的頻率稱為通帶截止頻率。阻帶：抑制信號(hào)或噪聲通過的頻帶。過渡帶：從通帶到阻帶的過渡頻率范圍。IIR DF：概述通 帶阻帶過渡帶3分類：輸入輸出信號(hào)：模擬和數(shù)字濾波器單位取樣響應(yīng)或?qū)崿F(xiàn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：IIR DF 和 FIR DF 通頻帶：低通濾波器：只允許低

2、頻信號(hào)通過而抑制高頻信號(hào)。例如，可用低通濾波器消除舊音樂錄音帶中的背景噪聲。高通濾波器：只允許高頻信號(hào)通過而抑制低頻信號(hào)。例如，聲納系統(tǒng)可用高通濾波器消除信號(hào)中的船和海浪的低頻噪聲，保留目標(biāo)特征。帶通濾波器：允許某一頻帶的信號(hào)通過。例如，數(shù)字電話雙音多頻（DTMF）信號(hào)的解碼，每個(gè)電話鍵產(chǎn)生一對(duì)音頻信號(hào)，其中一個(gè)信號(hào)對(duì)按鍵的行編碼，另一個(gè)對(duì)列編碼，接收端通過一組帶通濾波器來識(shí)別每個(gè)按鍵。帶阻濾波器：抑制某一頻帶的信號(hào)。例如，從復(fù)合電視信號(hào)中濾除頻分復(fù)用的色度信號(hào)，以便得到亮度信號(hào)。 IIR DF 概述：分類4數(shù)字域性能指標(biāo)通帶截止頻率 p通帶波動(dòng)Ap(dB，相對(duì)指標(biāo))或通帶容限p(絕對(duì)指標(biāo))阻

3、帶起始頻率 s阻帶衰減 As(dB，相對(duì)指標(biāo))或阻帶容限s(絕對(duì)指標(biāo)）。 容差圖通帶波動(dòng)過渡帶阻帶衰減 11-p1+ps0ps絕對(duì)指標(biāo)通帶波動(dòng)過渡帶Ap0As相對(duì)指標(biāo)|H(ej)|理想特性Butterworth, Chebyshev,Cauer(橢圓）|H(ej)|/ dB性能指標(biāo)最重要的設(shè)計(jì)參數(shù)：頻帶容限（波動(dòng)）和頻帶邊緣頻率 5性能指標(biāo)由于絕對(duì)指標(biāo) |H(ej)|max =（1p），因此，存在如下定義:6模擬域性能指標(biāo)： 假定模擬濾波器的頻率響應(yīng)為 Ha(j)，則基于平方幅度響應(yīng)的低通濾波器技術(shù)指標(biāo)為：其中: 為通帶內(nèi)波動(dòng)系數(shù)， p ：通帶截止頻率 A 為阻帶衰減參數(shù)， s ：阻帶起始頻率

4、 c ：3dB 截止頻率性能指標(biāo)通帶波動(dòng)過渡帶10ps|Ha(j)|2模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)c0.5阻帶衰減7IIR DF 概述：設(shè)計(jì)過程性能指標(biāo)確定 按需要確定濾波器的性能要求，比如確定所要設(shè)計(jì)的濾波器是低通、高通、帶通還是帶阻，截止頻率是多少，阻帶的衰減有多大，通帶的波動(dòng)范圍是多少等。系統(tǒng)函數(shù)確定 用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)(或差分方程、脈沖響應(yīng)h(n) 去逼近上述性能要求。此系統(tǒng)函數(shù)可分為兩類，即 IIR 系統(tǒng)函數(shù)與 FIR 系統(tǒng)函數(shù)。算法設(shè)計(jì) 用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)（速度、開銷、穩(wěn)定性等)。這里包括選擇算法結(jié)構(gòu)，如級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型、正準(zhǔn)型、橫截型或頻率取樣型等等；還包括選擇合

5、適的字長以及選擇有效的數(shù)字處理方法等。實(shí)施方法 硬件實(shí)現(xiàn)、軟件實(shí)現(xiàn)。8IIR DF 概述：設(shè)計(jì)方法直接設(shè)計(jì)累試(只適用于簡單 DF 的設(shè)計(jì)) ；極點(diǎn)峰值；零點(diǎn)谷值設(shè)置其零極點(diǎn)以達(dá)到簡單的性能要求特點(diǎn)：簡單，但是需要經(jīng)驗(yàn)。優(yōu)化設(shè)計(jì) CAD系統(tǒng)函數(shù) H(z) 的系數(shù) ak, bk 或零極點(diǎn) ci, di 等參數(shù)，可采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法確定。步驟：優(yōu)化原則 ：最小均方誤差準(zhǔn)則，絕對(duì)誤差準(zhǔn)則等;賦予初值;根據(jù)優(yōu)化準(zhǔn)則計(jì)算誤差;改變參數(shù)賦值，再次計(jì)算誤差，如此迭代下去，直至誤差達(dá)到最小。ejw9IIR DF 概述：設(shè)計(jì)方法10(模擬濾波器的設(shè)計(jì)理論已相當(dāng)成熟，并可利用完備的圖、表加快設(shè)計(jì)過程)模擬-數(shù)字濾波

6、器變換方法：沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法模擬原型法設(shè)計(jì)流程用模擬濾波器的理論來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器（模擬原型法）11模擬原型法設(shè)計(jì)流程(1) 設(shè)計(jì)歸一化的模擬低通濾波器，得到傳輸函數(shù)(2) 把 變換為所要求的數(shù)字低通、高通、帶通或 帶阻濾波器的傳輸函數(shù)頻率變換模擬低通濾波器設(shè)計(jì)模擬頻率變換模擬數(shù)字濾波器變換IIR濾波器設(shè)計(jì)模擬頻率變換模擬低通濾波器設(shè)計(jì)模擬數(shù)字濾波器變換數(shù)字頻率變換IIR濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字頻率變換12利用模擬原型法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，遵循以下幾個(gè)步驟：所要求的數(shù)字濾波器指標(biāo)；設(shè)計(jì)性能相似的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha(S)；進(jìn)行濾波器變換（由s平面z平面），得到 DF 的系統(tǒng)函數(shù)H(z）；模擬

7、/數(shù)字濾波器變換方法：沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。也就是根據(jù)什么準(zhǔn)則把Ha(s) 轉(zhuǎn)換為 H(z)。進(jìn)行數(shù)字頻率變換，從數(shù)字低通濾波器中得到其它類型的數(shù)字濾波器。模擬原型法設(shè)計(jì)流程13為什么要研究模擬濾波器？DF 是數(shù)字信號(hào)處理中極為重要的應(yīng)用，但 DF 是近幾十年發(fā)展起來的，它在很多方面要使用模擬濾波器的概念和知識(shí)；模擬濾波器本身也很有用。因此，在研究 DF 之前，我們先討論模擬濾波器的特性和用逼近方法求其轉(zhuǎn)移函數(shù)。為什么設(shè)計(jì)濾波器必須用逼近的方法？這是由于濾波器的理想特性是不能實(shí)現(xiàn)的，而必須用逼近的方法。 模擬濾波器的設(shè)計(jì)通帶波動(dòng)過渡帶阻帶衰減0ps|H(j)|理想特性14 理想濾波器

8、設(shè)一濾波器輸入信號(hào)為 x(t) ，其輸出為 y(t)，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為 h(t)。若 y(t) = kx(t-td)，k 為常數(shù)，則為理想濾波器 頻率響應(yīng)定義為： 理想濾波器的頻率響應(yīng)x(t)y(t)=kx(t-td)理想濾波k00ArgH(j)=-td相頻特性幅頻特性|H(j)|p15 理想濾波器的頻率響應(yīng)理想濾波器的特性通帶內(nèi)對(duì)所有頻率分量的放大倍數(shù)是相同的（這種特性稱為全通）：|H(j)| = k線性相位： argH(j) = -td在阻帶范圍內(nèi) |H(j)| = 0過渡帶的寬度為 0。16 理想濾波器的頻率響應(yīng)可實(shí)現(xiàn)性？理想低通濾波器的沖激響應(yīng)可以直接由它的頻率響應(yīng)進(jìn)行傅立葉反變換

9、得到。我們知道，矩形函數(shù)和 Sinc 函數(shù)是一對(duì)傅立葉變換。因此，理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為一個(gè) Sinc(x) 函數(shù)，具有無窮長的持續(xù)時(shí)間。在實(shí)際應(yīng)用中，我們?nèi)绾螛?gòu)建一個(gè)理想濾波器？也就是能否得到一個(gè)具有因果沖激響應(yīng)的理想濾波器？答案是否定的。如果我們所要求的濾波器是因果的和實(shí)際可實(shí)現(xiàn)的，則它就不是理想的。在離散時(shí)間系統(tǒng)中，有類似的理想數(shù)字濾波器定義。17理想濾波器的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)的性質(zhì)在模擬濾波設(shè)計(jì)中 采用不同的多項(xiàng)式去逼近給定的濾波器幅度頻率響應(yīng) 然后由設(shè)計(jì)的幅度頻率響應(yīng)，得到模擬濾波器的系統(tǒng) 函數(shù) H(s)。18分析證明: 在因果系統(tǒng)中，(1) |H(j)| 是 的偶函數(shù) 理想濾波器

10、的頻率響應(yīng)如何由幅度頻率響應(yīng)求系統(tǒng)函數(shù) H(s) 呢？式中 P() 是的偶函數(shù)，Q() 是 的奇函數(shù)。P2() 和 Q2() 都是 的偶函數(shù)，故 |H(j)| 是 的偶函數(shù)19理想濾波器的頻率響應(yīng)若要求穩(wěn)定且因果，則 將左半平面的極點(diǎn)作為 Ha(s) 的極點(diǎn)；若要求最小相位，則 將左半平面的零點(diǎn)作為 Ha(s) 的零點(diǎn)；(幅度平方函數(shù))目的：求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)； Ha(s) 的構(gòu)造：性能指標(biāo) |Ha(j)|2 |H(s)|2s=j 零、極點(diǎn)的分配 Ha(s) 逼近多項(xiàng)式20(2) 系統(tǒng)函數(shù) H(s) 的確定因?yàn)闆_激響應(yīng) h(t) 是實(shí)函數(shù)的，因而 H(s) 的極點(diǎn)（或零點(diǎn)）必成

11、共軛對(duì)存在。H(s)H(-s) 的極、零點(diǎn)分布如圖所示，成象限對(duì)稱，虛軸上零點(diǎn)上的 “2” 表示二階零點(diǎn)。H(s)H(-s) 在虛軸上的極點(diǎn)或零點(diǎn)一定是二階的，但對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，H(s)H(-s) 在虛軸上沒有極點(diǎn)。 理想濾波器的頻率響應(yīng)2221由幅度平方函數(shù) |H(j)|2 確定 H(s) 的方法如下：由 得到象限對(duì)稱的 s 平面函數(shù)；求零極點(diǎn)：將 H(s)H(-s) 因式分解，得到各個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)；極點(diǎn)選擇：任何可實(shí)現(xiàn)的濾波器都是穩(wěn)定的，因此將左半平面的極點(diǎn)歸于 H(s)，右半平面的極點(diǎn)歸于 H(-s)；零點(diǎn)選擇：如果要求最小相位延時(shí)特性，則 H(s) 應(yīng)取左半平面上的零點(diǎn)；如果沒有特性要求，

12、則可將對(duì)稱零點(diǎn)的任一半（應(yīng)為共軛對(duì)）取為 H(s) 的零點(diǎn)；j軸上的零點(diǎn)或極點(diǎn)都是偶次的，其中一半（應(yīng)為共軛對(duì)）屬于 H(s)；增益：按照 H(j) 和 H(s) 的低頻特性的對(duì)比，即 H(j)|=0 = H(s)|s=0，或高頻特性的對(duì)比，確定系統(tǒng)的增益常數(shù) K0；由求出的 H(s) 的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益常數(shù)，確定系統(tǒng)函數(shù) H(s)。理想濾波器的頻率響應(yīng)22例： 根據(jù)以下幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù) H(s)解： 其極點(diǎn)為： 其零點(diǎn)為： 理想濾波器的頻率響應(yīng)23為了系統(tǒng)穩(wěn)定，選擇： 左半平面極點(diǎn) 一對(duì)共軛零點(diǎn)作為 H(s) 的零、極點(diǎn)，并設(shè)增益常數(shù)為 K0，則 H(s) 為： H(j) 和 H(s

13、) 的低頻特性或高頻特性的對(duì)比可以確定增益常數(shù)。在這里我們采用低頻特性，即由 H(j)|=0 = H(s)|s=0 的條件可得增益常數(shù)為： K0 = 2最后得到 H(s) 為：理想濾波器的頻率響應(yīng)24sp00|H(j)|AminAmax通帶過渡帶阻帶As問題的提出：濾波器的理想特性無法實(shí)現(xiàn)，只能是近似實(shí)現(xiàn)。模擬濾波器的幅頻特性模擬濾波器特性的逼近25模擬濾波器特性的逼近技術(shù)要求LPF 的技術(shù)要求包括： 截止頻率（或通帶的頻率上限）p 通帶內(nèi)所允許的最大衰減或波動(dòng) p 阻帶下限頻率 s 阻帶內(nèi)所要求的最小衰減 s26注意：這里只提到幅頻特性而沒有相位問題。因?yàn)閿?shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中用到的是模擬濾波器

14、的幅頻特性，而不考慮其相頻特性或群時(shí)延。模擬濾波器特性的逼近衰減特性 衰減特性() 是單調(diào)變化的或者是波紋狀變化。假設(shè) P1、P2 分別為濾波器輸入、輸出功率，則定義：27 則有：模擬濾波器特性的逼近特征函數(shù) 上式不易直接用多項(xiàng)式和有理式來逼近。因此，需要找一個(gè)能夠用多項(xiàng)式或有理式逼近的函數(shù)，以 K(j) 表示，稱之為特征函數(shù)。28模擬濾波器特性的逼近逼近方法 若給定了衰減 () 或 |Hd(j)|，則找某種方法逼近 () 或 |Hd(j)|。使 |k(j)|2 等于一個(gè)以 2 為自變量的多項(xiàng)式或有理式。由此，根據(jù)逼近函數(shù)（多項(xiàng)式或有理式）的不同，有多種不同類型的濾波器：巴特沃思逼近切比雪夫逼

15、近逆切比雪夫逼近橢圓逼近.29目的：相應(yīng)于特定的逼近方法，制定圖表以概括所有的逼近結(jié)果，從而簡化濾波器的設(shè)計(jì)。優(yōu)點(diǎn)：歸一化后，F(xiàn)ilter 的計(jì)算方法不因頻率的絕對(duì)高低而異，因此，歸一化后的圖表曲線都能統(tǒng)一使用。模擬濾波器特性的逼近例如:（1）以 p 為參考頻率，以 表示歸一化頻率。 （2） 以 p 為參考頻率，以 表示歸一化頻率。 歸一化：按某一特定頻率 (參考頻率) 實(shí)施標(biāo)稱化30巴特沃思低通逼近幅度平方函數(shù)：c: 3dB 截止頻率，單位為 rad/sN : 待確定的濾波器階數(shù)整個(gè)頻帶內(nèi)幅度特性單調(diào)下降scAp0|H(j)|Asp3dB特點(diǎn)：（1）3dB 點(diǎn)及其不變性；（2）單調(diào)下降性；（

16、3）最大平坦性；N 越大，越逼近于理想低通濾波器31因此，稱 c 為 3dB 帶寬（或半功率點(diǎn)截止頻率）3dB 點(diǎn)與 N 值無關(guān)，稱為 3dB 不變性。3dB 帶寬 巴特沃思低通逼近c(diǎn)10|H(j)|0.707N=2N=4N=6巴特沃思幅頻特性和階數(shù)的關(guān)系32最平坦函數(shù) 因此 B 型特性也稱為最平坦特性濾波器。N 的影響 N 越大，B 型濾波器的特性 越接近理想的矩行形狀(越陡峭)。有限平面只有極點(diǎn)。 （“全極點(diǎn)型” 濾波器）巴特沃思低通逼近c(diǎn)10|H(j)|0.707N=2N=4N=6巴特沃思幅頻特性和階數(shù)的關(guān)系33設(shè)計(jì)過程 性能指標(biāo) 求濾波器階數(shù) N；性能指標(biāo) 3dB 頻率點(diǎn) c 計(jì)算極點(diǎn)

17、或查表 歸一化系統(tǒng)函數(shù) H(p) ；計(jì)算或反歸一化 系統(tǒng)函數(shù) H(s) ； LPF 技術(shù)要求包括： 通帶頻率p 通帶內(nèi)衰減 Ap3dB 阻帶下限頻率 s 阻帶內(nèi)最小衰減 As巴特沃思濾波器34巴特沃思濾波器由給定的通帶指標(biāo)p、Ap 和阻帶s、As，求得濾波器的階數(shù) N ： LPF 技術(shù)要求包括： 通帶頻率p 通帶內(nèi)最大衰減 Ap 阻帶下限頻率 s 阻帶內(nèi)最小衰減 As濾波器階數(shù)35巴特沃思濾波器如果給定的是其它頻率處（例如p）的指標(biāo)，則由下列公式求得 3dB 截止頻率 c ： 由此式確定的濾波器在阻帶處正好滿足設(shè)計(jì)要求。 由此式確定的濾波器通帶截止頻率處正好滿足設(shè)計(jì)要求。類似地，也可以由阻帶起

18、始頻率s 處的衰減 As 求得 3dB 截止頻率 c ：得到濾波器階數(shù) N 后，由 Ap 或 As 求得 3dB 截止頻率 c由通帶截止頻率p 處的衰減 Ap 求得 3dB 截止頻率 c ：36求歸一化系統(tǒng)函數(shù) H(p) 得到了巴特沃思濾波器的階數(shù) N 后，就可以確定零極點(diǎn)形式的傳輸函數(shù) H(s)。 把拉普拉斯變量 s 歸一化為 p = s/c ，則巴特沃思濾波器37令上式分母多項(xiàng)式等于零，得到 2N 個(gè)極點(diǎn)： 極點(diǎn)的分布特性2N 個(gè)極點(diǎn)均勻地分布在 S 平面上半徑為 1 的圓周上(非歸一化時(shí)半徑為 c)；極點(diǎn)之間相距 /N 弧度；這些極點(diǎn)一半位于 S 平面的左半平面，另一半位于 S 平面的右

19、半平面；極點(diǎn)不落在虛軸上，從 /2 + /2N 弧度開始。 N 為奇數(shù)，實(shí)軸上有極點(diǎn)，N 為偶數(shù)，實(shí)軸上無極點(diǎn)巴特沃思濾波器38求系統(tǒng)函數(shù) H(s) 把 p=s/c 帶入 H(p) 得到實(shí)際需要的 H(s) 為： 為了使得系統(tǒng)穩(wěn)定，取 pk 在 S 平面左半平面的 N 個(gè)根作為 H(p) 的極點(diǎn)，即：巴特沃思濾波器39圖表法模擬濾波器理論已相當(dāng)成熟，實(shí)際中我們更多的是采用查表法，其設(shè)計(jì)步驟概括起來有以下幾個(gè)方面：將頻率歸一化（注意：給出的表格都是以 3dB 點(diǎn)頻率 c 為參考頻率，如果給定的指標(biāo)不是c，則需要根據(jù)前面的公式計(jì)算c ）；由歸一化頻率幅頻特性曲線 (見圖4.7)，查得階數(shù)N；查表4

20、.2，得 H(p) 的分母多項(xiàng)式；把 p=s/c 代入分母多項(xiàng)式中，得到對(duì)應(yīng)于真實(shí)頻率的系統(tǒng)函數(shù) H(s)：巴特沃思濾波器40巴特沃思濾波器41巴特沃思濾波器42 通帶截止頻率:通帶最大衰減 阻帶起始頻率: 阻帶最小衰減: 例：技術(shù)要求：巴特沃思濾波器431) 將各頻率歸一化2) 求 N：查歸一化幅頻特性圖(圖4.8) ，得 N=5；3) 查表4.2，得 H(p) 的分母多項(xiàng)式 (c欄 ）4) 對(duì)應(yīng)于真實(shí)頻率的轉(zhuǎn)移函數(shù) H(s)用 代入分母多項(xiàng)式，得: 圖表法巴特沃思濾波器44計(jì)算法巴特沃思濾波器由 s 和 As 得濾波器的階數(shù)為：取整后，得 N=5。H(p)H(-p) 的極點(diǎn)為：45巴特沃思

21、濾波器 當(dāng) 0k4 時(shí)，pk 的相角處于 /2 和3/2 之間，pk 在 S 平面的左半平面。取這些根作為 H(p) 的極點(diǎn)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。所以， 最后 46n,Wn = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) ：求濾波器的階數(shù)1）Wp，通帶截止頻率； Ws，阻帶起始頻率； Rp，通帶最大衰減；Rs，阻帶最小衰減；在數(shù)字濾波器中，wp 和 ws 在 01 之間，而在模擬濾波器中，wp 和 ws 可以大于 1。2）n, Butterworth 模擬濾波器的階數(shù)；Wn， 3dB 頻率點(diǎn)。z,p,k = buttap(n) ：求歸一化濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增益1）n ，Butterwort

22、h 低通原型濾波器的階數(shù)；2）z， Butterworth 低通原型濾波器的零點(diǎn)，z 是空矩陣（從 Butterworth 濾波器的定義可知，其分子多項(xiàng)式為1，零點(diǎn)在 ）；p， Butterworth 低通原型濾波器的極點(diǎn)；k， Butterworth 低通原型濾波器的增益。巴特沃思濾波器的Matlab 實(shí)現(xiàn)47Butterworth 模擬濾波器設(shè)計(jì)巴特沃思濾波器小結(jié)特點(diǎn)：（1）3dB點(diǎn)及其不變性；（2）單調(diào)下降性；（3）最大平坦性；S 平面s=+j整個(gè)頻帶內(nèi)幅度特性單調(diào)下降scAp0|H(j)|Asp3dB48巴特沃思濾波器小結(jié)B 型濾波器的缺點(diǎn)：0 頻率點(diǎn)附近幅度特性接近理想3dB 頻率處

23、逼近特性不好解決辦法：將指標(biāo)精度均勻分布在通帶內(nèi)、阻帶內(nèi)或通帶阻帶內(nèi)，即選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。分析：將特征函數(shù)在 0 頻率點(diǎn)處的 N 個(gè)過零點(diǎn)均勻分布在通帶內(nèi)，使幅度函數(shù)在通帶內(nèi)多處出現(xiàn)最大值 1，以此改善通帶總特性。C 型濾波器具有這種特性。49目的：獲取更為快速衰落的幅頻特性. 表示 |H(j)| 通帶內(nèi)波動(dòng)范圍幅度平方函數(shù)p: 通帶截止頻率切比雪夫?yàn)V波器 Chebyshev LPF 設(shè)計(jì)sp0|H(j)|通帶內(nèi)等波紋波動(dòng)阻帶內(nèi)幅度特性單調(diào)下降A(chǔ)pAsCN(/p) 是 N 階切比雪夫函數(shù)或多項(xiàng)式501）無論 N 為何值，都經(jīng)過2）通帶內(nèi)等波紋；通帶外單調(diào)下降，下降速度高于同階

24、的 Butterworth 濾波器；3）1.00|H(j)|1.0 n 為偶數(shù)(n=6)切比雪夫?yàn)V波器 Chebyshev LPF 特點(diǎn)N：過中間點(diǎn)的次數(shù)N+1：極值點(diǎn)的數(shù)量1.00|H(j)|1.0 n 為奇數(shù)(n=5)51 Chebyshev 多項(xiàng)式 由上式可知，切比雪夫?yàn)V波器的通帶位于頻率 0 x1范圍內(nèi)，而阻帶位于 x1 范圍內(nèi)； 在通帶內(nèi)是等幅度波動(dòng)的，N 越大波動(dòng)的次數(shù)越多；在通帶外是單調(diào)上升函數(shù)，N 越大上升越快。x0CN(x)-111N=3N=2N=4N=5N=2N=3N=4N=5切比雪夫?yàn)V波器當(dāng) x1 時(shí)，即當(dāng) x 從 1 開始無限增長時(shí)，CN(x) 定義為雙曲余弦函數(shù) co

25、sh 的表達(dá)式，是無窮單調(diào)增加的。利用迭代遞歸關(guān)系，可以得到各階切比雪夫函數(shù)的曲線。52Chebyshev 多項(xiàng)式的迭代關(guān)系 切比雪夫函數(shù)可以寫成如下多項(xiàng)式的形式：切比雪夫?yàn)V波器即其中則利用上述遞歸關(guān)系，得到更高階的切比雪夫多項(xiàng)式： CN() 是的 N 階多項(xiàng)式，其首項(xiàng)系數(shù)為 2N-1。 0n=1n=0n=2CN(x)x-111-1n=5n=3n=453切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)過程 性能指標(biāo) 求波動(dòng)參數(shù)； 性能指標(biāo) 求濾波器階數(shù) N；計(jì)算極點(diǎn)或查表 歸一化系統(tǒng)函數(shù) H(p) ；計(jì)算或反歸一化 系統(tǒng)函數(shù) H(s) ；由給定的通帶指標(biāo)p 和Ap，求得通帶內(nèi)的參量： LPF 技術(shù)要求包括：通帶頻率p通帶內(nèi)

26、最大衰減 Ap阻帶下限頻率 s阻帶內(nèi)最小衰減 As54切比雪夫?yàn)V波器 求濾波器的階數(shù) N 根據(jù)給定的濾波器器阻帶起始頻率 s 和阻帶最小衰減 As (dB)， 可得：注意：上取整55求濾波器歸一化系統(tǒng)函數(shù) H(p) 確定了和 N 后，Chebyshev LPF 傳輸函數(shù) H(s)： 切比雪夫?yàn)V波器 將 H(s) 表示為歸一化形式 H(p) ，令 p=s/p ，且令 H(p) 的分母多項(xiàng)式為零，得：得式中56切比雪夫?yàn)V波器如果令 ，則 這是一個(gè)橢圓方程，這意味著由切比雪夫逼近得到的極點(diǎn)位于 S 平面的一個(gè)橢圓上。 由作圖法確定切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布: (1)分別以半徑為 ap和 bp 畫內(nèi)外兩

27、個(gè)圓； (2)把兩個(gè)圓周按間隔 /N 等分，各有 2N 個(gè)點(diǎn)。 這些點(diǎn)是虛軸對(duì)稱的，且一定都不落在虛軸上。N 為奇數(shù)時(shí)，有落在實(shí)軸上的點(diǎn)；N為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上也沒有； (3)橢圓上每個(gè)極點(diǎn)的縱坐標(biāo)（垂直）由外圓的相應(yīng)點(diǎn)的垂直坐標(biāo)確定，每個(gè)極點(diǎn)的橫（水平）坐標(biāo)由內(nèi)圓的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的水平坐標(biāo)確定。 (1) 2N 個(gè)極點(diǎn)分布在橢圓上；(2) 對(duì)稱性；(3)選擇位于 s 左半平面的極點(diǎn)。S平面apbp57 為了系統(tǒng)穩(wěn)定，選擇位于 S 平面左平面的 pk 作為 H(p) 的極點(diǎn)，并且考慮到切比雪夫多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，最后得：切比雪夫?yàn)V波器其中 pk 為實(shí)部小于零的極點(diǎn) （對(duì)應(yīng)左半平面）：式中 2 與 k 只取

28、正值，k0, 1, 2,., N-1。求濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(s)58切比雪夫?yàn)V波器查表法歸一化 p, s ;查曲線 (圖4.12)，確定濾波器的階數(shù) N;查表（表4.34.5 上部），得 查表 (表4.34.5)，得 H(P) 分母多項(xiàng)式的因式形式，求得 H(p)；求得注意： 這里的切比雪夫表格曲線，沒有特指 3dB 頻率點(diǎn)，即 wp 可以是任意頻率點(diǎn)（0.2dB、1dB、3dB）。 59歸一化頻率 歸一化頻率 （a）通帶波紋 0.2dB (b) 通帶波紋 1dB|H(j)| (dB)|H(j)| (dB)切比雪夫?yàn)V波器60|H(j)| (dB)歸一化頻率 （c）通帶波紋 3dB 圖4.10

29、切比雪夫低通濾波器歸一化的阻帶幅頻特性 （n 為階數(shù)，從1到 15）切比雪夫?yàn)V波器61切比雪夫?yàn)V波器62切比雪夫?yàn)V波器63切比雪夫?yàn)V波器64切比雪夫?yàn)V波器例：設(shè)計(jì)一個(gè)滿足下列技術(shù)指標(biāo)的低通切比雪夫?yàn)V波器，技術(shù)要求：通頻帶最高頻率 fp=3MHz，通帶衰減要小于 0.1dB，阻帶起始頻率 fs=12MHz，阻帶內(nèi)衰減要大于60dB。(1)首先頻率歸一化 (2)求濾波器的階數(shù) N 及65(3) 求 H(p) 由 pk 表達(dá)式求得 pk，代入上式得(4) 求 H(s)切比雪夫?yàn)V波器66例：設(shè)計(jì)一個(gè)模擬 chebyshev 濾波器，技術(shù)要求如下：切比雪夫?yàn)V波器同樣的性能指標(biāo) C 型濾波器所用的階數(shù)比

30、B 型要小67(1) 歸一化p=1, s =2 (2) 查圖4.10 中曲線，得 N=4；(4) 查表4.5 欄 c，得 H(p) 的分母多項(xiàng)式：(5) 求 H(s)切比雪夫?yàn)V波器(3) 根據(jù) Ap=3dB，查表 4.5，得 =0.9976368n,Wn = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) ：求濾波器的階數(shù)1）Wp，通帶截止頻率； Ws，阻帶起始頻率； Rp，通帶最大衰減；Rs，阻帶最小衰減；在數(shù)字濾波器中，wp 和 ws 在 01 之間，而在模擬濾波器中，wp 和 ws 可以大于 1。2）n, Chebyshev 模擬濾波器的階數(shù)；z,p,k = cheb1ap(n, Rp)

31、 ：求歸一化濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增益1）n ，Chebyshev低通原型濾波器的階數(shù)； Rp，通帶最大衰減；2）z， Chebyshev 低通原型濾波器的零點(diǎn)，是空矩陣 ；p， Chebyshev低通原型濾波器的極點(diǎn)；k， Chebyshev低通原型濾波器的增益；切比雪夫?yàn)V波器 Chebyshev LPF 的 Matlab 實(shí)現(xiàn)69Chebyshev 模擬濾波器設(shè)計(jì)sp0|H(j)|通帶內(nèi)等波紋波動(dòng)阻帶內(nèi)幅度特性單調(diào)下降A(chǔ)pAs切比雪夫?yàn)V波器小結(jié)S 平面s=+j70Cauer濾波器又稱為橢圓濾波器，原因是其振幅特性是由雅可比橢圓函數(shù)來決定。 JN()是雅可比橢圓函數(shù)，N為濾波器階數(shù)。特點(diǎn)

32、：在通帶和阻帶內(nèi)都有等波紋的振幅特性。 過渡帶比較陡。Cauer濾波器特性71缺點(diǎn)：響應(yīng)特性對(duì)參數(shù)的的靈敏度大。在Matlab中，可以用 n,Wn=ellipod(wp,ws,Rp,Rs,s) 求出所需的最小橢圓模擬濾波器的階數(shù)。此函數(shù)也可以用于帶通，高通，帶阻等濾波器的設(shè)計(jì)。Cauer濾波器特性72三種濾波器的特性比較024681000.511.5Magnitude PartMagnitudeButterworth024681000.20.40.60.81Magnitude PartMagnitudeChebyshev024681000.20.40.60.81Magnitude PartMa

33、gnitude Cauer 73三種濾波器特性比較過渡帶 Cauer 陡于 Chebyshev陡于 ButterworthN，相同性能需要的階次 Cauer 少于 Chebyshevs 少于 Chebyshevs敏感于Butterworth74模擬濾波器頻率變換IIR濾波器的設(shè)計(jì)過程模擬頻率變換數(shù)字低通原型數(shù) 字濾波器指 標(biāo)模擬低通濾波器指標(biāo)模擬低通原型模擬到數(shù)字的變換所求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字到數(shù)字的變換75模擬濾波器頻率變換頻率變換：歸一化低通濾波器的傳輸函數(shù)變換為一般的低通、高通、帶通和帶阻濾波器的傳輸函數(shù)；反之亦然。頻率變換函數(shù) p=q(s)，（q(s) 是 s 的有理函數(shù)），把歸一

34、化低通濾波器傳輸函數(shù) Hlp(p) 映射為 所要求的 Hd(s)：保持頻率響應(yīng)：q(s) 必須使低通濾波器所在的 S 平面的 j 軸映射到要求的濾波器所在的 S 平面的 j 軸。保持濾波器的穩(wěn)定性：低通濾波器所在的 S 平面的左半平面必須映射到要求的濾波器所在的 S 平面的左半平面。76|HL(j)|p-p|HHP(j)|p-p在 p 處相同的值低通到高通變換： |HL(j)|p-p|HBP(j)|-l-uul低通到帶通變換： |HL(j)|p-p|HBS(j)|l-lu-u低通到帶阻變換： 模擬濾波器頻率變換77 參數(shù)的定義p ：所要求濾波器的通帶截止頻率p 2 和 W p1：所要求濾波器的

35、通帶上下截止頻率s ：所要求濾波器的阻帶起始頻率 s2 和 W s1 ：所要求濾波器的阻帶上下截止頻率0：濾波器的通帶中心頻率：取決于濾波器類型的歸一化參數(shù)B：濾波器的通帶帶寬模擬濾波器頻率變換78濾波器類型歸一化低通濾波器 HLP(p) 的技術(shù)指標(biāo)要求 要求的濾波器 Hd(s)低通低通 低通高通 低通帶通 低通帶阻 模擬濾波器頻率變換79非幾何對(duì)稱型濾波器的頻率轉(zhuǎn)換當(dāng)所求帶通或帶阻濾波器的兩個(gè)通帶截止頻率和兩個(gè)阻帶起始頻率都關(guān)于中心頻率 0 呈幾何對(duì)稱時(shí)，有：由歸一化低通濾波器頻率轉(zhuǎn)換得到的帶通濾波器和帶阻濾波器都是關(guān)于 0 呈幾何對(duì)稱的。當(dāng)不滿足對(duì)稱特性時(shí)，必須在滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)的前提下，首先

36、調(diào)整截止頻率，以調(diào)整后的幾何對(duì)稱參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。模擬濾波器頻率變換80非對(duì)稱帶通濾波器設(shè)計(jì)步驟: 以通帶中心頻率 0 為基準(zhǔn)，在滿足最小阻帶衰減要求的情況下，改變阻帶起始頻率中的一個(gè)，使非對(duì)稱帶通濾波器變成幾何對(duì)稱帶通濾波器，步驟如下： 計(jì)算 02p1p2 計(jì)算 ，如果 ，用 代替 如果 ，計(jì)算 ，并用 代替 如果 ，選擇模擬濾波器頻率變換s2s1p1p2081非對(duì)稱帶阻濾波器設(shè)計(jì)步驟: 以阻帶中心頻率 0 為基準(zhǔn)，在滿足通帶衰減要求的情況下，改變通帶截止頻率中的一個(gè)，使非對(duì)稱帶阻濾波器變成幾何對(duì)稱帶阻濾波器，步驟如下： 計(jì)算 02s1s2 計(jì)算 ，如果 ，用 代替 如果 ，計(jì)算 ，并用 代替

37、如果 ，選擇模擬濾波器頻率變換s2s1p1p2082用頻率變換法設(shè)計(jì)模擬濾波器的步驟:確定低通、高通、帶通、帶阻模擬濾波器的技術(shù)要求，（若帶通、帶阻是非幾何對(duì)稱時(shí)，要首先作參數(shù)調(diào)整，使其呈對(duì)稱）；根據(jù)參數(shù)表確定歸一化低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率p，阻帶起始頻率s，通帶衰減Ap(dB)，阻帶衰減As(dB)；根據(jù)上述四個(gè)技術(shù)指標(biāo)，用巴特沃思、切比雪夫或橢圓逼近法來設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器；查變換關(guān)系表得到要求的非歸一化模擬濾波器。模擬濾波器頻率變換83模擬濾波器頻率變換例：設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃思帶阻濾波器，其性能指標(biāo)要求如下：阻帶的起始頻率和截止頻率分別為 3.8MHz和4.8MHz，阻帶最小衰減為

38、 20dB；通帶的起始頻率和截止頻率分別為 3.1MHz 和 5.5MHz，通帶內(nèi)最大衰減為 3dB。解：首先確定所要求的帶阻濾波器是否是幾何對(duì)稱的。 因?yàn)?p1p2 s1s2 ，而且設(shè)計(jì)的是帶阻濾波器，所以需要調(diào)整這個(gè)帶阻濾波器的通帶起始頻率或截止頻率。因?yàn)?4模擬濾波器頻率變換用值代替值，即令 根據(jù)表4.6中間欄的變換關(guān)系式，將上述給定的帶阻濾波器指標(biāo)要求轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的歸一化低通技術(shù)要求，有 根據(jù)上面的技術(shù)要求，可以采用查表法或計(jì)算法來設(shè)計(jì)歸一化的巴特沃思低通濾波器，這里采用計(jì)算法。由式子 (4.9) 得濾波器的階數(shù)為：取整后，得 N=3。85H(p)H(-p) 的極點(diǎn)為：模擬濾波器頻率變換

39、所以，低通濾波器的歸一化傳輸函數(shù) HLP(p) 為：86 所以，根據(jù)表4.6最右邊欄的變換關(guān)系式，把歸一化低通濾波器變成所要求的帶阻濾波器的傳輸函數(shù) HBP(s)：模擬濾波器頻率變換87頻率變換的 Matlab 實(shí)現(xiàn)低通到高通的頻率變換 bt,at = lp2hp(b,a,Wo) 此高通濾波器的截止頻率為 W0。低通到帶通的頻率變換 bt,at = lp2bp(b,a,Wo,Bw) 此帶通濾波器的中心頻率和帶寬分別為 W0、Bw。當(dāng)濾波器通帶的下截止頻率為 1，上截止頻率為 2 時(shí)，W0 = sqrt(1*2)，Bw = 2 1。低通到帶阻的頻率變換 bt,at = lp2bs(b,a,Wo,

40、Bw) 此帶通濾波器的中心頻率和帶寬分別為 W0、Bw。當(dāng)濾波器通帶的下截止頻率為 1，上截止頻率為 2 時(shí)，W0 = sqrt(1*2)，Bw = 2 1。在上述的三個(gè)模擬濾波器頻率變換中，b、a 都是按降序排列的傳輸函數(shù)的分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)：模擬濾波器頻率變換88模擬濾波器的數(shù)字化（1） 利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是要把s平面映射到z平面，使模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)變換成所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，這種由復(fù)變量s到復(fù)變量z之間的映射(變換)關(guān)系，必須滿足兩條基本要求：H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，即s平面的虛軸必須映射到z平面的單位圓上。因果穩(wěn)定的Ha(s

41、)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(z)。即s 左半平面 Res 0 映射到 z 平面的單位圓內(nèi) |z|m 時(shí)，Ha()=0若 h(n) = Tha(nT)取樣頻率：2fs = s 2m，即 fs 2fm（取樣定理） 則當(dāng) |(s/2)=/T 時(shí)，即數(shù)字仿真成立。仿真定理1011. 沖激響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì)方法 2. Z 平面與 S 平面的映射關(guān)系 3. 沖激響應(yīng)不變法的特點(diǎn) 從時(shí)域確定 S 平面和 Z 平面之間的映射關(guān)系沖激響應(yīng)不變法102沖激響應(yīng)不變法原理變換原理 沖激響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)。將模擬濾波器的沖激響應(yīng)加以等間隔的抽樣，使h(n)正好

42、等于ha(t)的抽樣值，即滿足： h(n)= ha(nT)，其中T是抽樣周期。 沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器的s平面變換成數(shù)字濾波器的z平面.103對(duì)已知的 Ha(s) 進(jìn)行拉氏反變換，求得 ha(t)； 對(duì) ha(t) 進(jìn)行取樣，得 ha(nT)；根據(jù)沖激響應(yīng)不變，令 h(n) = T ha(nT)，以求得 h(n)； 對(duì) h(n) 進(jìn)行 z 變換，得 H(z)。即： 沖激響應(yīng)不變法：設(shè)計(jì)方法（1）沖激響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì)步驟104 模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可表示為： 一般 M0 時(shí)，r1， 即 S 平面右半平面映射到 Z 平面的單位圓之外，系統(tǒng)不穩(wěn)定.S 平面Z 平面S 平面的實(shí)部110(3)當(dāng)0

43、時(shí)，r1， 即 S 平面左半平面映射到 Z 平面的單位圓之內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定.S 平面Z 平面沖激響應(yīng)不變法：映射關(guān)系 (3)(4）平行于虛軸 j 的線段 S1=1 + j1 映射為 Z 平面上半徑為 的圓周。 1S 平面Z 平面111沖激響應(yīng)不變法：映射關(guān)系 (4) S 平面的虛部(1) S 平面上 映射為 Z 平面上 - ImRer=eTj在 S 平面上，任何一個(gè)寬度為（2/T）的水平帶，映射為 Z 平面周期函數(shù) H(ej)；(2) S平面上 映射為 Z 平面上圓周重復(fù)，即不是單值對(duì)應(yīng)的， z=esT，產(chǎn)生混迭現(xiàn)象。112Ha(s) H(z)極點(diǎn)都在S 平面的極點(diǎn)都在Z平面左半平面時(shí)，穩(wěn)定 單位

44、圓內(nèi)時(shí)，穩(wěn)定多對(duì)一沖激響應(yīng)不變法：映射關(guān)系 (5)為防止混迭現(xiàn)象，AF 的系統(tǒng)函數(shù) Ha() 應(yīng)在 -/T，/T 上嚴(yán)格限帶。113例題：利用沖激響應(yīng)不變法，把轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 H(z)，其中 T = 0.1。解：首先把 Ha(s) 展成部分分式形式：極點(diǎn)為 s1=-3和s2=-2，而且T=0.1，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：114例: 利用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字巴特沃思低通濾波器，通帶截止頻率 750Hz，通帶內(nèi)衰減不大于 3dB，阻帶最低頻率為 1600Hz，阻帶內(nèi)衰減不小于 7dB，給定 T =1/4000s。由模擬濾波器設(shè)計(jì)可得：取整后 N=1 解：由給定的指標(biāo)要求，得到模擬濾波器的技

45、術(shù)要求為： 115當(dāng) k=0 時(shí)，pk 處于在 S 平面的左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。所以歸一化的一階巴特沃思模擬濾波器傳輸函數(shù)為：最后得 1 階巴特沃思模擬濾波器傳輸函數(shù)為：根據(jù)沖激響應(yīng)不變法，把 H(s) 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù) H(z)：116上述模擬和數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)分別為： 相應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線如圖所示，從中可以比較模擬和數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)形狀。 對(duì)于 T=1/4000 取樣，模擬和數(shù)字濾波器的幅頻特性在非常低的頻率處就分開了，這是因?yàn)槿娱g隔太長，產(chǎn)生了較大的混疊失真。 隨著取樣間隔 T 的減小，數(shù)字濾波器 |H(ejw)| 對(duì)模擬濾波器 |H(j)| 的逼近也越來越好。當(dāng) T

46、 足夠小時(shí)，沖激響應(yīng)不變法可給出滿意的結(jié)果。 117bz,az = impinvar(b,a,Fs) 含義：impulse invariant，利用沖激響應(yīng)不變法產(chǎn)生數(shù)字 濾波器的分子和分母。 輸入：b, a 分別為模擬濾波器的分子，分母多項(xiàng)式的系數(shù)序列。Fs 為取樣頻率。 輸出: bz, az 分別為數(shù)字濾波器的分子，分母多項(xiàng)式的系數(shù)序列。沖激響應(yīng)不變法：Matlab 實(shí)現(xiàn)118IIR DF 沖激響應(yīng)不變法部分分式展開ImReZ 平面z=rejwS 平面s=+j沖激響應(yīng)不變法：小結(jié) （1）119根據(jù) h(n) =T ha(nT)，從時(shí)域完成數(shù)字化設(shè)計(jì)，DF 和 AF 之間具有近似的時(shí)域瞬態(tài)特

47、征；(優(yōu)點(diǎn))數(shù)字頻率和模擬濾波器頻率之間的關(guān)系為=T，即兩者間呈線性關(guān)系；(無非線性失真問題)當(dāng)Ha()不嚴(yán)格限帶，或 ha(t) 變化不太平穩(wěn)，而設(shè)計(jì)性能要求又高時(shí)，則不宜采用此法。包括： 不能設(shè)計(jì)阻帶內(nèi)存在振蕩的濾波器，例如 Chebyshev II 濾波器和橢圓濾波器。不能直接設(shè)計(jì)高通、帶阻濾波器，因?yàn)楦咄?、帶阻濾波器不是限帶的，不能用沖激響應(yīng)不變法實(shí)現(xiàn)模擬濾波器 H(s) 到數(shù)字濾波器 H(z) 的轉(zhuǎn)換。沖激響應(yīng)不變法只適合頻率響應(yīng)在高頻處單調(diào)遞減的模擬原型濾波器。這極大地限制了它的應(yīng)用，例如 Butterworth 低通濾波器。 延拓相加與混疊；S 與Z 是多對(duì)一的關(guān)系。(缺點(diǎn))時(shí)域

48、中能模仿模擬濾波器特性，但產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。沖激響應(yīng)不變法：小結(jié) （2） 沖激響應(yīng)不變法的特點(diǎn)120雙線性變換法 （1)沖激響應(yīng)不變法缺點(diǎn):因?yàn)?z=esT 映射關(guān)系不是單值對(duì)應(yīng)，所以，從 s 平面直接映射到 z 平面時(shí)會(huì)產(chǎn)生混迭現(xiàn)象;只適合頻率響應(yīng)在高頻處單調(diào)遞減的模擬原型濾波器，應(yīng)用范圍受到限制;處理復(fù)雜雙線性變換主要目的: 從根本上解決上述沖激響應(yīng)不變法的問題；當(dāng)然也付出了一定的代價(jià)。121雙線性變換（2）具體方法:（1）構(gòu)造從S平面到S1平面的單值映射;（2）構(gòu)造從S1平面到Z平面的單值映射;S平面Z平面S1平面單值對(duì)應(yīng)單值對(duì)應(yīng)單值對(duì)應(yīng)/T-/TIm(z)Re(z)j1j01實(shí)際

49、上，我們不需要每次都從 S 平面S1平面Z平面，而是直接求出 S=f(Z) 的關(guān)系，然后代入Ha(s)，得 H(z)，即H(z) = Ha(s)|s = f(z)。 簡化步驟：122 分析推導(dǎo):再令 j = N-i，則：因此，AF 的基本單元是積分器 s-1，而利用某種數(shù)字網(wǎng)絡(luò)代替此單元，就可把 AF 轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的 DF。c0 x(t)c1cNy(t)-d1-dN雙線性變換法：映射關(guān)系推導(dǎo) (1)123雙線性變換法：映射關(guān)系推導(dǎo) (2) 設(shè) AF 積分器的系統(tǒng)函數(shù)為： 則其沖激響應(yīng)為： 設(shè)輸入信號(hào)為 Xa(t)，則輸出為： 設(shè)有 0t10，右半平面，不穩(wěn)定r1，單位圓外，不穩(wěn)定=0，虛軸，臨界

50、r=1，單位圓，臨界0，左半平面，穩(wěn)定r1，單位圓內(nèi)，穩(wěn)定（數(shù)字頻率和模擬頻率 是非線性關(guān)系） 雙線性變換法：映射關(guān)系推導(dǎo) (5)穩(wěn)定的AF經(jīng)雙線性變換法得到穩(wěn)定的DF，且S平面與Z平面的映射是單值對(duì)應(yīng)的，不存在頻域混迭失真，但為此付出了代價(jià)非線性關(guān)系。 127模擬頻率和數(shù)字頻率之間的映射關(guān)系因?yàn)闉V波器設(shè)計(jì)的主要是幅頻特性，Z 域中單位圓上 Z 變換對(duì)應(yīng)于付氏變換，即頻率響應(yīng)，而 Z 平面單位圓對(duì)應(yīng)于 S 平面的虛軸 j。雙線性變換法：映射關(guān)系推導(dǎo) (6)0-單值對(duì)應(yīng)，不存在混迭現(xiàn)象。 令=0，則得 ：S 平面的虛軸 j （即=0）與 Z 平面的單位圓的映射關(guān)系：128利用雙線性變換，把 轉(zhuǎn)換

51、成數(shù)字濾波器 H(z)，其中 T = 1例題:解:129例：已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)為：試采用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，設(shè)T=2s.解：1. 沖激響應(yīng)不變法1301312. 雙線性變換法132雙線性變換：頻率預(yù)畸變（1）頻率失真數(shù)字頻率 和模擬頻率 間的非線性關(guān)系:當(dāng)很小時(shí)，=（2/T）tg(/2) 的非線性不很突出，可作為線性看待; (2) 當(dāng)較大時(shí)，非線性非常突出; 非線性將導(dǎo)致頻率特性的變化0-133結(jié)論用線性變換得到的 DF 性能上與作為原形的 AF 的性能有明顯差異。對(duì)于幅頻特性為分段常數(shù)的模擬濾波器，經(jīng)過雙線性變換以后，得到的數(shù)字濾波器的幅頻特性仍然為分段常

52、數(shù)，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)發(fā)生了畸變。對(duì)于這種頻率畸變，可以通過頻率預(yù)畸變進(jìn)行處理，使得雙線性變換后的頻率正好映射到所需要的頻率上。數(shù)字濾波器模擬濾波器雙線性變換法：頻率預(yù)畸變（2）例如：s/p=2，則經(jīng)變換后 s/p 2，相當(dāng)于濾波器的幅頻特性發(fā)生了變化。如果設(shè)計(jì) AF 時(shí)按照 (p/s)=(s/s) = 2 來計(jì)算。則設(shè)計(jì)出的 AF 經(jīng)雙線性變換后得到 DF 的 s/p2。所以，DF 的性能與 AF 原型的性能有了失真，即頻率失真。134雙線性變換：頻率預(yù)畸變（3）雙線性變化的應(yīng)用：(1) DF的性能指標(biāo)(2) 根據(jù)轉(zhuǎn)換性能指標(biāo)，求得相應(yīng)的s、p；(3) 根據(jù)s、p設(shè)計(jì)模擬低通濾波器

53、原型 得到 AF 的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)；(4) 利用雙線性變換得到數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)，即：s、p、 As、Ap；預(yù)畸變135例：設(shè)有一數(shù)字系統(tǒng)，它的取樣頻率fs=2000Hz，設(shè)計(jì)一個(gè)一階巴特沃思低通數(shù)字濾波器，使其通帶中允許的最大衰減為 Ap = 3dB，通帶的上限頻率 fp=400Hz。 一階巴特沃思低通 AF 的歸一化的系統(tǒng)函數(shù) G(p)為：解：（1）預(yù)畸變處理所以： 即要設(shè)計(jì)的 AF 的 3dB 衰減處的通帶上限頻率為：136（2）無預(yù)畸變處理的情況通過雙線性變換，得到 DF 的系統(tǒng)函數(shù) H(z) 為：137（3）結(jié)論 兩者結(jié)果不一樣預(yù)變形矯正：3dB 400Hz，符合要求 不預(yù)變形

54、矯正： 由此可見，不經(jīng)預(yù)變形處理，所得的 DF 的性能不符合給定的技術(shù)要求。 138 在 Matlab 中，用下列函數(shù)來實(shí)現(xiàn) IIR數(shù)字濾波器的雙線性變換。其更具體的應(yīng)用說明，見相關(guān)的Matlab 技術(shù)手冊(cè)。 zd,pd,kd = bilinear(z,p,k,Fs) zd,pd,kd = bilinear(z,p,k,Fs,Fp) numd,dend = bilinear(num,den,Fs) numd,dend = bilinear(num,den,Fs,Fp) Ad,Bd,Cd,Dd = bilinear(A,B,C,D,Fs) Ad,Bd,Cd,Dd = bilinear(A,B,C

55、,D,Fs,Fp)雙線性變換法：Matlab 實(shí)現(xiàn)139雙線性變換法：小結(jié)（1）雙線性變換法的優(yōu)缺點(diǎn)缺點(diǎn)：非線性的頻率變換將導(dǎo)致相頻特性的失真。優(yōu)點(diǎn)：無混疊。在窄帶內(nèi)能近似保持原幅頻特性，即使頻帶拖尾，也不產(chǎn)生混迭。處理簡單。因 S 平面與 Z 平面之間有簡單的代數(shù)關(guān)系，可從模擬傳遞函數(shù)直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。140雙線性變換法：小結(jié)（2）易于獲得 DF 幅頻特性。如果已知 AF 的幅頻特性 |H(j)|,把 = (2/T) tan(/2) 直接代入|H(j)|，即可得到 DF 的幅頻特性 |H(ej)|，但不能給出濾波器實(shí)現(xiàn)所需要的傳輸函數(shù) H(z) 或差分方程。目前最普遍

56、采用的設(shè)計(jì)方法。一般說，著眼于瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，采用沖激響應(yīng)不變法較好，其它以雙線性較好，雙線性變換法對(duì)進(jìn)行變換的濾波器類型沒有限制，能直接用于設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻等各種類型的數(shù)字濾波器。141高通、帶通和帶阻 IIR DF 設(shè)計(jì)過程IIR DF 設(shè)計(jì)：IIR DF 設(shè)計(jì)方法數(shù)字頻率變換模擬數(shù)字濾波器變換模擬數(shù)字濾波器變換雙線性變換模擬頻率變換所需的 DF Hd(z) 性能要求模擬低通原型HLP(p)所需的(HP、BP、BS) AF的傳輸函數(shù)Hd(s)所需的DF傳輸函數(shù)Hd(Z)數(shù)字低通濾波器HLP(z)142IIR DF 設(shè)計(jì)：數(shù)字頻率變換 （1）數(shù)字頻率變換所需的 DF 傳輸函數(shù)Hd(Z)

57、=HLP(z)|z-1=G(Z-1)數(shù)字低通濾波器HLP(z)z 平面 Z 平面因果穩(wěn)定的低通 DF HLP(z)因果穩(wěn)定的 IIR DF Hd(Z) HLP(z) 的頻率響應(yīng)映射為Hd(Z) 的頻率響應(yīng) 即 z 平面的單位園映射到 Z 平面的單位圓。因果穩(wěn)定的 HLP(z) 映射到因果穩(wěn)定的 Hd(Z) 即z平面單位園內(nèi)映射到 Z 平面的單位圓內(nèi)，|z| 1。G(Z-1) 必是Z-1 的有理函數(shù)，這樣 Hd(Z) 才是可實(shí)現(xiàn)的。143 設(shè)和分別是 z 平面和 Z 平面的數(shù)字頻率變量，即各自單位圓，令 IIR DF 設(shè)計(jì)：數(shù)字頻率變換 （2）則 表明映射函數(shù) G(Z-1) 的幅頻特性必須恒等于

58、 1，即滿足上述要求的 G(Z-1) 的一般形式是全通類型的有理函數(shù)。 144任何全通函數(shù)一般可表示為IIR DF 設(shè)計(jì)：數(shù)字頻率變換（3）N 是全通函數(shù)的階數(shù)ai 是 G(Z-1) 的極點(diǎn)，ai* 是 ai 的共軛，ai 在變換過程中是一個(gè)常數(shù)。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須保證 G(Z-1) 的極點(diǎn) ai 在單位園內(nèi)，即 |ai|1。可以證明，當(dāng)從 0 變化到時(shí)，G(Z-1) 的相角() 的變化量為 N。選擇合適的階數(shù) N 和系數(shù) ai，就可以得到各種映射（低通、高通、帶通和帶阻）。 145低通-低通數(shù)字頻率變換 （1）146低通 HLP(z) 低通 Hd(Z) 變換對(duì)于這種情況，HLP(z) 和

59、Hd(Z) 都是低通數(shù)字濾波器，只不過截止頻率不同或帶寬不同。當(dāng)原型 HLP(z) 的數(shù)字頻率從 0 變化到時(shí)，所要求的 Hd(Z) 的數(shù)字頻率也是從 0 變化到 ，而此時(shí)全通函數(shù) G(Z-1) 的相角() 的變化量為 N。因此，全通函數(shù) G(Z-1) 的階數(shù) N1。低通-低通數(shù)字頻率變換 （2）式中，a 是小于 1 的實(shí)數(shù)。147 ，得上述變換的頻率變換關(guān)系：令 由此得示出了不同 a 值時(shí)數(shù)字頻率 和 關(guān)系。除了 a = 0 情況（此時(shí)=），在其它 a 情況下，和之間的頻率變換都是非線性關(guān)系，有非常明顯的畸變現(xiàn)象。 低通-低通數(shù)字頻率變換 （3）148設(shè)原型和變換后的低通濾波器的截止頻率分別

60、為c 和c，代入上式： 低通-低通數(shù)字頻率變換解得 a 從已有的截止頻率為c 的數(shù)字低通濾波器 HLP(z) 求得截止頻率為 c 的數(shù)字低通濾波器 Hd(Z)，即 149低通-高通數(shù)字頻率變換 （1）150低通-高通數(shù)字頻率變換（2）151低通-高通數(shù)字頻率變換 （3）低通 HLP(z) 高通 HHP(Z) 變換在上述 LP-LP 變換中，將 z 代以 Z , 得 LP HP 變換關(guān)系：152確定 a 值：設(shè)原型和變換后的低、高通濾波器的截止頻率分別為c 和c，代入上式： 解得 a 從已有的截止頻率為c 的數(shù)字低通濾波器 HLP(z) 求得截止頻率為 c 的數(shù)字高通濾波器 HHP(Z)，即 低