統(tǒng)計(jì)分布特征的描述集中趨勢(shì)和離散趨勢(shì)課件

1、第五章 統(tǒng)計(jì)分布特征的描述：平均指標(biāo)和變異指標(biāo)安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院第五章 統(tǒng)計(jì)分布特征的描述第一節(jié) 集中趨勢(shì)的測(cè)度：平均指標(biāo)第二節(jié) 離散趨勢(shì)的測(cè)度：變異指標(biāo)第一節(jié) 集中趨勢(shì)的測(cè)定：平均指標(biāo)一、平均指標(biāo)的概念和作用 二、算術(shù)平均數(shù)三、調(diào)和平均數(shù)四、幾何平均數(shù)五、眾數(shù)六、中位數(shù)七、各種平均數(shù)之間的相互關(guān)系上一頁(yè)下一頁(yè)返回本章首頁(yè)一、平均指標(biāo)的概念和作用概念：平均指標(biāo)是指將同質(zhì)總體內(nèi)各單位的數(shù)量差異抽象化，反映總體一般水平或集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)所謂集中趨勢(shì)，指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向，測(cè)度集中趨勢(shì)，也就是尋找數(shù)據(jù)的一般水平的代表值或中心值。上一頁(yè)下一頁(yè)返回本節(jié)首頁(yè)2、作用（1）使范圍不

2、同的總體具有可比性。（2）反映總體各單位的一般水平這一綜合特征，抽象掉了個(gè)體差異。（3） 反映總體分布的集中趨勢(shì)。 即如果以總體單位某一標(biāo)志的平均數(shù)為中心線，則總體各單位的標(biāo)志值主要分布于中心線及其上下附近，而遠(yuǎn)離中心線的標(biāo)志值較少。（三）平均指標(biāo)的種類 數(shù)值平均數(shù)：根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)列中的各項(xiàng)數(shù)據(jù)計(jì)算出的平均數(shù)。主要有：算術(shù)平均數(shù)、 調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)。位置平均數(shù)：將各單位標(biāo)志值排序后，取得某一位置的標(biāo)志值作為反映一般水平的代表值。有:眾數(shù)、中位數(shù)。二、算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic Mean）上一頁(yè)下一頁(yè)返回本節(jié)首頁(yè)基本公式例如：平均工資=企業(yè)工資總額/工人數(shù)，平均成績(jī)=成績(jī)總分/學(xué)生人數(shù)注

3、意區(qū)分算術(shù)平均數(shù)和強(qiáng)度相對(duì)數(shù)；算術(shù)平均數(shù)和強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)的區(qū)別：(1)含義和作用不同：強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)表明現(xiàn)象程度發(fā)展的強(qiáng)度、密度或普遍程度；而平均指標(biāo)則表明同類現(xiàn)象在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的一般水平。(2)計(jì)算方法不同。強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)的分子與分母分別來自不同的總體，一般沒有直接的依存關(guān)系，且有的強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)分子分母可以對(duì)換，即強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)可以計(jì)算正指標(biāo)或逆指標(biāo)；而平均指標(biāo)的分子是總體總量指標(biāo)，分母則是同一總體內(nèi)的總體單位總量，兩者具有密切的關(guān)系，且平均指標(biāo)的分子分母不能互換。(3)計(jì)量單位表示不同。強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)一般為復(fù)名數(shù)，有時(shí)為無名數(shù)；平均指標(biāo)則為單名數(shù)。（二）、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算1.簡(jiǎn)單算術(shù)平

4、均數(shù)計(jì)算公式:適用條件:未分組的原始資料例1： 某企業(yè)一生產(chǎn)班組共5人，他們?cè)?000年9月的月工資分別為1700元，1900元，1500元，1850元，2200元。則他們的月平均工資為： 例2：班級(jí)平均年齡：班級(jí)平均身高：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式:式中： 為算術(shù)平均數(shù); 為第 組的次數(shù)； 為組數(shù)； 為第 組的標(biāo)志值或組中值。適用條件: 分組資料例1：?jiǎn)雾?xiàng)式數(shù)列 某班學(xué)生年齡情況表按年齡分組（歲）人數(shù)（人）比重（）20212223552825251040合計(jì)20100分組頻數(shù)頻率求學(xué)生的平均年齡解:(1)絕對(duì)權(quán)數(shù)(2)相對(duì)權(quán)數(shù)例2：組距式數(shù)列（等距數(shù)列） 某班學(xué)生身高情況表按身高分組（米）組中值

5、人數(shù)（人）比重（）1.41.51.51.61.61.71.71.81.81.91.451.551.651.751.85464422030202010合計(jì)20100分組頻數(shù)頻率組中值求學(xué)生的平均身高解:(1)絕對(duì)權(quán)數(shù)(2)相對(duì)權(quán)數(shù)例3：某班英語成績(jī)整理如下,求學(xué)生英語平均成績(jī).解(1)絕對(duì)權(quán)數(shù)(2)相對(duì)權(quán)數(shù)分析如下： （1）平均什么什么就是標(biāo)志值，標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)即為權(quán)數(shù) （2）影響算術(shù)平均數(shù)大小的因素有二：變量值x的大小。變量值越大平均數(shù)越大各組次數(shù)或頻率，又稱權(quán)數(shù)。權(quán)數(shù)越大的標(biāo)志值對(duì)平均數(shù)影響越大，實(shí)際上權(quán)數(shù)的大小反映了標(biāo)志值的重要性，因此權(quán)數(shù)也稱為權(quán)重系數(shù)。各組頻率也即相對(duì)權(quán)數(shù)更能體現(xiàn)權(quán)衡

6、輕重的本質(zhì)。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)有兩種變形：當(dāng)權(quán)數(shù)用相對(duì)數(shù)時(shí) 當(dāng)f1=f2=f3=fn時(shí)，權(quán)數(shù)的作用消失，加權(quán)平均數(shù) = 簡(jiǎn)單平均數(shù)（3）組距數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)時(shí)，假定該組標(biāo)志值是完全均勻分布的，以各組的組中值為各組變量值，計(jì)算的平均數(shù)是近似值。(四).算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì):變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和衡等于零，即：變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和為最小，即：算術(shù)平均數(shù)的缺點(diǎn)：易受極端值的影響張莊有個(gè)張千萬，九個(gè)鄰居窮光蛋；平均起來算一算，個(gè)個(gè)都是張百萬。 去掉一個(gè)最高分去掉一個(gè)最低分三號(hào)選手最后得分. 三、調(diào)和平均數(shù)(Harmonic Mean)調(diào)和平均數(shù):是總體各單位標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)

7、的倒數(shù)，又叫倒數(shù)平均數(shù). (二)簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)計(jì)算公式:式中： 為調(diào)和平均數(shù); 為變量值 的個(gè)數(shù)； 為第 個(gè)變量值。適用條件:已知各組的代表變量值x和標(biāo)志總量xf,且各組的標(biāo)志總量恰好相等.計(jì)算舉例1：某種蔬菜價(jià)格早上為0.5元/斤、中午為0.4元/斤、晚上為0.25元/斤?，F(xiàn)早、中、晚各買1斤，求平均價(jià)格。例2：某種蔬菜價(jià)格早上為0.5元/斤、中午為0.4元/斤、晚上為0.25元/斤?，F(xiàn)早、中、晚各買1元，求平均價(jià)格。在例1中，用簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)在例2中，先求早、中、晚購(gòu)買的斤數(shù)。早 1/0.5=2(斤）中 1/0.4=2.5(斤）晚 1/0.25=4(斤） 實(shí)際上，例2是用下列公式計(jì)算：這就

8、是簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)的公式。上一頁(yè)下一頁(yè)返回本節(jié)首頁(yè)(三)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)計(jì)算公式:適用條件:分組資料,且已知各組的代表變量值(x)和標(biāo)志總量(xf).上一頁(yè)下一頁(yè)返回本節(jié)首頁(yè)式中： 為第 組的變量值； 為第 組的標(biāo)志總量。計(jì)算舉例:例3：某種蔬菜價(jià)格早上為0.5元/斤、中午為0.4元/斤、晚上為0.25元/斤?，F(xiàn)早、中、晚各買2元、3元、4元，求平均價(jià)格。說明(1)社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中所應(yīng)用的調(diào)和平均數(shù)通常是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形，已知各組變量值 xi 和（xi fi）而缺乏 fi 時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)通常可變形為調(diào)和平均數(shù)形式來計(jì)算。在已知每種價(jià)格x、銷售量f時(shí)，求平均價(jià)格用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。在已知每種價(jià)格

9、x、銷售額m時(shí)，求平均價(jià)格用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。(2)簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)實(shí)際上是加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的一種特例,即各組標(biāo)志總量相等時(shí)出現(xiàn)階的一種特殊情況. 上一頁(yè)下一頁(yè)返回本節(jié)首頁(yè)（四）相對(duì)指標(biāo)的平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)不僅可以用于計(jì)算嚴(yán)格意義上的靜態(tài)平均指標(biāo)（單位標(biāo)志平均數(shù)），而且?？捎脕碛?jì)算其它相對(duì)指標(biāo)或時(shí)間數(shù)列的平均數(shù)。這時(shí)平均數(shù)僅僅是種計(jì)算形式，計(jì)算的結(jié)果并不要求它們符合平均指標(biāo)的基本規(guī)定（總體標(biāo)志總量/總體單位總量）。相對(duì)指標(biāo)平均數(shù)的計(jì)算形式應(yīng)該根據(jù)相對(duì)指標(biāo)的對(duì)比關(guān)系來確定。例1,設(shè)有某行業(yè)150個(gè)企業(yè)一季度的有關(guān)產(chǎn)值和利潤(rùn)資料如下表：求該行業(yè)平均產(chǎn)值利潤(rùn)率。某行業(yè)150個(gè)企業(yè)二季度的有關(guān)產(chǎn)值

10、和利潤(rùn)資料如下表：四、幾何平均數(shù)(Geometric Mean )幾何平均數(shù) n個(gè)變量值連乘積的n次方根。簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)加權(quán)幾何平均數(shù)適用于計(jì)算現(xiàn)象的平均比率或平均速度。各個(gè)比率或速度的連乘積等于總比率或總速度；相乘的各個(gè)比率或速度不為零或負(fù)值。例1某企業(yè)產(chǎn)品的加工要順次經(jīng)過前后銜接的五道工序。本月該企業(yè)各加工工序的合格率分別為88、85、90、92、96，試求這五道工序的平均合格率。解：本例中各工序的合格率具有環(huán)比的性質(zhì)，企業(yè)產(chǎn)品的總合格率等于各工序合格率之連乘積。所以，所求的平均合格率應(yīng)為： 例2：銀行對(duì)某筆投資的年利率按復(fù)利計(jì)算，25年利率如下，問該筆投資的25的平均年利率為多少？解：

11、=1.086結(jié)論：25年的平均利率為8.6%五、眾數(shù)(Mode)和中位數(shù)(Median)(一)眾數(shù) (Mode)1.概念: 眾數(shù)是總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值(或?qū)傩员憩F(xiàn))。有關(guān)購(gòu)買軟飲料的頻數(shù)分布軟飲料購(gòu)買數(shù)量可口可樂百事可樂非常可樂雪碧鮮橙多娃哈哈19（最頻繁購(gòu)買的軟飲料）851373總計(jì)55眾數(shù)的不惟一性眾數(shù)無眾數(shù)眾數(shù) 1眾數(shù)22.眾數(shù)的特點(diǎn):是一種位置平均數(shù),不受極端值的影響.眾數(shù)具有不惟一性：它可能為一個(gè),也可能為多個(gè),也可能沒有眾數(shù).眾數(shù)可以用于各種計(jì)量尺度（定類、定序、定距和定比）的數(shù)據(jù)。3、眾數(shù)的確定（1）單項(xiàng)數(shù)列眾數(shù)的確定。在單項(xiàng)式數(shù)列中，確定眾數(shù)的方法比較簡(jiǎn)單，可以用觀察法直

12、接確定眾數(shù)，即指出次數(shù)最多的標(biāo)志值即為眾數(shù)。例如，某企業(yè)工人日產(chǎn)量資料如下表：例1.已知某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下:日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計(jì)800計(jì)算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的眾數(shù)。 先確定眾數(shù)組，然后推算出眾數(shù)的近似值。計(jì)算眾數(shù)的近似值主要有兩種方法。 當(dāng)組距式數(shù)列次數(shù)分布對(duì)稱時(shí)，可以用眾數(shù)組的組中值作為眾數(shù)的近似值。 當(dāng)組距式數(shù)列次數(shù)分布不對(duì)稱時(shí)，可以利用相應(yīng)的計(jì)算公式計(jì)算眾數(shù)的近似值。 （2）組距數(shù)列眾數(shù)的確定其近似公式推導(dǎo)下限公式： 上限公式： 例如，某企業(yè)職工月工資資料如下表： （二）中位數(shù)(Median)1.概念： 將總體各

13、單位按其標(biāo)志值大小排列，居于中間位置的那個(gè)標(biāo)志值就是中位數(shù)。2.作用：對(duì)對(duì)分布數(shù)列的總次數(shù)進(jìn)行二等分，標(biāo)志值小于中位數(shù)和大于中位數(shù)的次數(shù)各一半。上一頁(yè)下一頁(yè)返回本節(jié)首頁(yè)（1）根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)先將數(shù)據(jù)排序（特別重要！）n為奇數(shù)時(shí)等于第(n+1)/2個(gè)數(shù)。n為偶數(shù)時(shí)等于第n/2和n/2+1個(gè)數(shù)的平均值1，2 ，5，9 ，11中位數(shù)=51，2 ，5 ， 9，11，18中位數(shù)=（5+9）/2=7（2）單項(xiàng)式分組資料中位數(shù)的確定先計(jì)算向上累計(jì)次數(shù)（或向下累計(jì)次數(shù)）當(dāng)f為奇數(shù)時(shí)，中位數(shù)在第 項(xiàng)，該項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值即為中位數(shù)。當(dāng)f為偶數(shù)時(shí)，中位數(shù)在第 項(xiàng)，該項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值即為中位數(shù)。假定某企業(yè)職工生

14、產(chǎn)一產(chǎn)品的日產(chǎn)量資料如下表： Me=163) 組距式分組資料確定中位數(shù)第一步：計(jì)算向上累計(jì)次數(shù)（或向下累計(jì)次數(shù)）第二步：確定中位數(shù)所在組，第三步：計(jì)算中位數(shù)【例D】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）200以下200400400600600以上373283104250合計(jì)50計(jì)算該車間工人月產(chǎn)量的中位數(shù)?！纠鼶】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向下累計(jì)次數(shù)（人）200以下200400400600600以上373285047408合計(jì)50計(jì)算該車間工人月產(chǎn)量的中位數(shù)。中位數(shù)的特點(diǎn)：是位置平均數(shù)，可以避免數(shù)列中極端值的影響。具有

15、惟一性。中位數(shù)的適用場(chǎng)合：要求數(shù)據(jù)至少是定序數(shù)據(jù)。對(duì)于明顯呈偏態(tài)分布的變量數(shù)列，也適于用中位數(shù)代表其一般水平。小案例：揭秘工資被增長(zhǎng)原因：平均工資不能反映個(gè)體水平“其實(shí)，平均工資只是宏觀經(jīng)濟(jì)發(fā)展的參考，并不能反映個(gè)體工資水平，這也是很多人感覺工資被增長(zhǎng)的原因”，昨日，在四川省統(tǒng)計(jì)局舉行的“中國(guó)統(tǒng)計(jì)開放日”上，省統(tǒng)計(jì)局相關(guān)負(fù)責(zé)人表示。解放軍信息工程大學(xué)魏振軍教授認(rèn)為，用“中位數(shù)”反映工資平均水平更為恰當(dāng)。省統(tǒng)計(jì)局相關(guān)負(fù)責(zé)人以“統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)背后的故事”為題，闡述了統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的來源、流程以及容易被社會(huì)公眾誤解的地方，同時(shí)還對(duì)“被增長(zhǎng)”的平均工資專門做出解釋。社會(huì)平均工資統(tǒng)計(jì)的組成通常分為5大類：國(guó)有單

16、位職工工資、城鎮(zhèn)集體單位職工工資、三資企業(yè)職工工資、私營(yíng)單位員工工資和有雇傭關(guān)系的勞動(dòng)個(gè)體工資，平均工資的計(jì)算原理基本上是這5大類的工資總和除以總?cè)藬?shù)。省統(tǒng)計(jì)局相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，如此一來，由于是相對(duì)的簡(jiǎn)單平均，導(dǎo)致了這個(gè)數(shù)據(jù)與很多人的真實(shí)收入有些差距。“以往公布的社會(huì)平均工資只有前3類，今年國(guó)家統(tǒng)計(jì)局將私營(yíng)單位員工工資計(jì)入其中?！庇捎诮y(tǒng)計(jì)口徑的改變，也導(dǎo)致了去年的全省社會(huì)平均工資比2008年社會(huì)平均工資有所降低。盡管如此，魏振軍認(rèn)為，采用平均值的方式反映工資收入水平仍不合理，“如一個(gè)單位有23個(gè)人工作，其中10個(gè)人每個(gè)月100元收入，5個(gè)人200元，6個(gè)人250元，1個(gè)人1000元，領(lǐng)導(dǎo)2400

17、元，平均值就是300元，但絕大部分人沒有達(dá)到平均水平”。她引入了另兩個(gè)概念眾數(shù)和中位數(shù)。眾數(shù)就是“出現(xiàn)最多的月收入，如例子中的100元”，而中位數(shù)就是處于中間水平的那個(gè)數(shù)，“例子中的250元就是中位數(shù)”。她說，從中可以看出，眾數(shù)最能反映大多數(shù)工資水平，而中位數(shù)反映平均工資水平更為恰當(dāng)，“因?yàn)楹芏嗳岁P(guān)心的是眾數(shù)或者中位數(shù)，被扭曲的平均值工資則毫無價(jià)值”。小案例：香港工資統(tǒng)計(jì)公布根據(jù)政府統(tǒng)計(jì)處今日（三月十八日）公布的數(shù)字，二零零九年第二季本港的雇員人數(shù)（不包括留宿家庭傭工、政府雇員、雇主及自營(yíng)作業(yè)者）為2 776 600人，而這些雇員的每小時(shí)工資中位數(shù)為$58.5（港元）。在二零零九年第二季，本港

18、雇員每小時(shí)工資的第10個(gè)百分位數(shù)、第25個(gè)百分位數(shù)、第75個(gè)百分位數(shù)及第90個(gè)百分位數(shù)分別為$27.0、$38.9、$96.0及 $171.8。把所有雇員的每小時(shí)工資按數(shù)值從小至大排列，每小時(shí)工資中位數(shù)是指排列在中間位置的雇員的每小時(shí)工資。換言之，每小時(shí)工資中位數(shù)即是把所有雇員中每小時(shí)工資水平最低的50%劃分出來的每小時(shí)工資數(shù)值。每小時(shí)工資百分位數(shù)對(duì)描述雇員的每小時(shí)工資分布非常有用。每小時(shí)工資的第p個(gè)百分位數(shù)即指把所有雇員中每小時(shí)工資水平最低的p%劃分出來的每小時(shí)工資數(shù)值，而p可以是1至99之間任何一個(gè)整數(shù)值。舉例說，每小時(shí)工資的第10個(gè)百分位數(shù)就是把所有雇員中每小時(shí)工資水平最低的10%劃分出

19、來的每小時(shí)工資數(shù)值。每小時(shí)工資的第25個(gè)、50個(gè)及75個(gè)百分位數(shù)，分別稱為每小時(shí)工資下四分位數(shù)、中位數(shù)及上四分位數(shù)。*知識(shí)拓展：分位數(shù)（Quantile)把順序排列的一組數(shù)據(jù)分割為若干相等部分的分割點(diǎn)的數(shù)值 。分位數(shù)可以反映數(shù)據(jù)分布的相對(duì)位置（而不單單是中心位置）。四分位數(shù)：將按大小順序排列的觀測(cè)值劃分為4個(gè)等分，位于全部數(shù)據(jù)1/4、2/4和3/4位置上的3個(gè)數(shù)值就稱為四分位數(shù)，分別以Q1，Q2，Q3代表第1個(gè)，第2個(gè)，第3個(gè)四分位數(shù) 。十分位數(shù)：將按大小順序排列的觀測(cè)值劃分為10個(gè)等分，位于全部數(shù)據(jù)1/10、2/10 ， 9/10位置上的9個(gè)數(shù)值就稱為十分位數(shù)，分別以D1，D2，D9代表第1

20、個(gè)，第2個(gè)，第9個(gè)十分位數(shù) 。 。百分位數(shù)：將按大小順序排列的觀測(cè)值劃分為100個(gè)等分，位于全部數(shù)據(jù)1/100、2/100 ， 99/100位置上的99個(gè)數(shù)值就稱為十分位數(shù)，就稱為百分位數(shù)，分別以P1，P2，P99代表第1個(gè)，第2個(gè)，第99個(gè)百分位數(shù) 。幾個(gè)關(guān)系：Me=Q2=D5=P50。Q1=P25Q3=P75分位數(shù)與其它指標(biāo)結(jié)合，可以更詳細(xì)地反映數(shù)據(jù)的分布特征。四分位數(shù)（Quartile) 數(shù)據(jù)按大小順序排序后把分割成四等分的三個(gè)分割點(diǎn)上的數(shù)值 。在實(shí)際應(yīng)用中四分位數(shù)的計(jì)算方法并不統(tǒng)一（數(shù)據(jù)量大時(shí)這些方法差別不大）。對(duì)原始數(shù)據(jù)：SPSS中四分位數(shù)的位置為(n+1)/4， 2(n+1)/4，

21、 3 (n+1)/4。Excel中四分位數(shù)的位置分別為(n+3)/4， 2(n+1)/4，（3 n+1)/4。如果四分位數(shù)的位置不是整數(shù)，則四分位數(shù)等于前后兩個(gè)數(shù)的加權(quán)平均。四分位數(shù)計(jì)算（例子）排序后的數(shù)據(jù): 2，5，6，7，8，9， 10，12，15，16不能整除時(shí)需加權(quán)平均：位置 2 2.75 3 數(shù)值 5 60.75(6-5)=0.75拓展：五數(shù)概括法五數(shù)概括法即用下面的五個(gè)數(shù)來概括數(shù)據(jù) ：最小值(minimum) 第1四分位數(shù)(Q1)； 中位數(shù)(Q2)； 第3四分位數(shù)(Q3)； 最大值(maximum) 利用箱線圖可以觀察數(shù)據(jù)分布的范圍、中心位置和對(duì)稱性等特征，還可以進(jìn)行多組數(shù)據(jù)分布的

22、比較。xmin Q1 Me Q3 xmax例：某班學(xué)生成績(jī)盒式圖眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系對(duì)稱分布 均值= 中位數(shù)= 眾數(shù)分配為鐘形、輕微不對(duì)稱的經(jīng)驗(yàn)公式：左偏分布均值 中位數(shù) 眾數(shù)右偏分布眾數(shù) 中位數(shù)均值小結(jié)：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的特點(diǎn)1.算術(shù)平均數(shù)綜合反映了全部數(shù)據(jù)的信息，眾數(shù)和中位數(shù)由數(shù)據(jù)分布的特定位置所確定。2.算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)在任何一組數(shù)據(jù)中都存在而且具有惟一性，但計(jì)算和應(yīng)用眾數(shù)有兩個(gè)前提條件：（1）數(shù)據(jù)項(xiàng)數(shù)眾多；（2）數(shù)據(jù)具有明顯的集中趨勢(shì)。 3.算術(shù)平均數(shù)只能用于定量（定距和定比）數(shù)據(jù)，中位數(shù)適用于定序數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)，眾數(shù)適用于所有形式（類型、計(jì)量層次）的數(shù)據(jù)。4.算術(shù)平均

23、數(shù)要受數(shù)據(jù)中極端值的影響。而眾數(shù)和中位數(shù)都不受極端值的影響。為了排除極端值的干擾，可計(jì)算切尾均值，即去掉數(shù)據(jù)中最大和最小的若干項(xiàng)數(shù)值后計(jì)算的均值.切尾均值是將均值與中位數(shù)取長(zhǎng)補(bǔ)短的結(jié)果。5. 算術(shù)平均數(shù)可以推算總體的有關(guān)總量指標(biāo)，而中位數(shù)和眾數(shù)則不宜用作此類推算。第四節(jié) 變異指標(biāo)一、變異指標(biāo)的概念和作用二、全距三、平均差四、標(biāo)準(zhǔn)差五、離散系數(shù)六、用EXCEL計(jì)算描述統(tǒng)計(jì)量 上一頁(yè)下一頁(yè)返回本章首頁(yè)一、變異指標(biāo)的概念和作用1.概念變異指標(biāo)又稱標(biāo)志變動(dòng)度，是度量總體各單位標(biāo)志值分散程度或離中趨勢(shì)的指標(biāo)，是表明總體分布狀況的另一重要特征值。例某車間兩個(gè)生產(chǎn)小組各人日產(chǎn)量如下：甲組：20，40，60，

24、70，80，100，120乙組：67，68，69，70，71，72，73從下圖可以看出甲組離散程度大，乙組離散程度小。上一頁(yè)下一頁(yè)返回本節(jié)首頁(yè)7070上一頁(yè)下一頁(yè)返回本節(jié)首頁(yè)2.變異指標(biāo)的作用(1)說明數(shù)據(jù)的分散程度，反映變量的穩(wěn)定性、均衡性。 數(shù)據(jù)之間差異越大，變量的穩(wěn)定性或均衡性越差。 (2)衡量平均數(shù)的代表性。離散程度越大，平均數(shù)的代表性就越小。(3) 統(tǒng)計(jì)推斷的重要依據(jù)判別統(tǒng)計(jì)推斷前提條件是否成立，衡量推斷效果好壞的重要尺度 上一頁(yè)下一頁(yè)返回本節(jié)首頁(yè)3.變異指標(biāo)的種類：常見的變異指標(biāo)有：全距（極差），四分位差、平均差，標(biāo)準(zhǔn)差，方差等，其中標(biāo)準(zhǔn)差是最為重要的變異指標(biāo)。二、全距（Range

25、 極差）1.全距的概念與計(jì)算全距是總體各單位標(biāo)志的最大值和最小值之差。 R=Xmax-Xmin若是組距式數(shù)列計(jì)算極差，這時(shí)可用最大組的上限和最小組的下限計(jì)算極差的近似值。即：RUmaxLmin優(yōu)缺點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)便、含義直觀、容易理解。它未考慮數(shù)據(jù)的中間分布情況，不能充分說明全部數(shù)據(jù)的差異程度。上一頁(yè)下一頁(yè)返回本節(jié)首頁(yè)三、四分位差第3四分位數(shù)（Q3）與第1四分位數(shù)（Q1）之差，常用Qd表示。計(jì)算公式為：實(shí)質(zhì)上是兩端各去掉四分之一的數(shù)據(jù)以后的極差，表示占全部數(shù)據(jù)一半的中間數(shù)據(jù)的離散程度。四分位差越大，表示數(shù)據(jù)離散程度越大。優(yōu)缺點(diǎn)：是在一定程度上對(duì)極差的一種改進(jìn)，避免了極端值的干擾。但它去頭棄尾，丟失大

26、量的原始數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)差異的反映仍然是不充分的。四分位差是一種順序統(tǒng)計(jì)量，適用于定序數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)。尤其是當(dāng)用中位數(shù)來測(cè)度數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)時(shí).四、平均差（Average Deviation）平均差各個(gè)數(shù)據(jù)與其均值的離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)，反映各個(gè)數(shù)據(jù)與其均值的平均差距，通常以A.D表示。計(jì)算公式為：未分組數(shù)據(jù)：平均差含義清晰，能全面地反映數(shù)據(jù)的離散程度。但取離差絕對(duì)值進(jìn)行平均，數(shù)學(xué)處理上不夠方便，在數(shù)學(xué)性質(zhì)上也不是最優(yōu)的。已分組數(shù)據(jù)：計(jì)算舉例：例1.未分組資料：某宿舍6名同學(xué)統(tǒng)計(jì)成績(jī)分別為：73，75，80，86，88，84，則例2.已知分組資料，求成績(jī)的平均差成績(jī)組中值x人數(shù)fxf90100955

27、19.698809085139.6124.8708075160.46.46070651110.4114.460以下55520.4102合計(jì)50445.6475110512007152753770五、方差和標(biāo)準(zhǔn)差1. 方差（Variance）的概念和計(jì)算方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與其均值的離差平方的算術(shù)平均數(shù).總體方差（2）的計(jì)算公式為：未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：樣本方差（通常用 S2 表示）分母應(yīng)為（n -1）。標(biāo)準(zhǔn)差（standard Deviation）標(biāo)準(zhǔn)差方差的算術(shù)平方根。總體標(biāo)準(zhǔn)差一般用表示。其計(jì)算公式為：未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：標(biāo)準(zhǔn)差比方差更容易理解。在社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)分析中，標(biāo)準(zhǔn)差比方差的應(yīng)用更

28、為普遍，經(jīng)常被用作測(cè)度數(shù)據(jù)與均值差距的標(biāo)準(zhǔn)尺度。樣本標(biāo)準(zhǔn)差（S）分母應(yīng)為（n-1）。2.標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)差和方差的計(jì)算過程比平均差簡(jiǎn)便，數(shù)學(xué)性質(zhì)也較為理想，是統(tǒng)計(jì)分析中最常用的變異指標(biāo)。3.計(jì)算舉例： （注：使用計(jì)算器計(jì)算）a.未分組資料例：未分組資料：某宿舍6名同學(xué)統(tǒng)計(jì)成績(jī)分別為：73，75，80，86，88，84，則統(tǒng)計(jì)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為：b.分組資料例:成績(jī)組中值x人數(shù)fxf90100955475384.16 1920.80 80908513110592.16 1198.08 7080751612000.16 2.56 60706511715108.16 1189.76 60以下55527

29、5416.16 2080.80 合計(jì)5037706392【例】計(jì)算平均差和方差、標(biāo)準(zhǔn)差使用壽命（小時(shí)） 組中值 (x)試驗(yàn)數(shù)量（只）f 頻率 （f/f)(x1542)|x1542|f(X1542)2*f1000以下90020.020 -64212848243281000-1200110080.080 -442353615629121200160 -24238729370241400-16001500350.350 -421470617401600230 15836345741721800-20001900120.120 35842961537

30、9682000以上210040.040 55822321245456合計(jì)1001.000 2032467436002.方差的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)(3)分組條件下，總體的方差等于組間方差與各組方差平均數(shù)之和。(1)常數(shù)的方差等于零。a為常數(shù),則 (2)變量的線性函數(shù)的方差等于變量系數(shù)的平方乘以變量的方差。設(shè)a,b為常數(shù)，y=a+bx，則有：組間方差各組方差平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差和方差的簡(jiǎn)易計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)應(yīng)用：標(biāo)準(zhǔn)化值（Z-score）標(biāo)準(zhǔn)化值或標(biāo)準(zhǔn)得分也稱為Z值。對(duì)于來自不同均值和標(biāo)準(zhǔn)差的個(gè)體的數(shù)據(jù)，往往不能直接對(duì)比。這就需要將它們轉(zhuǎn)化為同一規(guī)格、尺度的數(shù)據(jù)后再比較。標(biāo)準(zhǔn)化值實(shí)際上是將不同均值和標(biāo)準(zhǔn)差的總體都轉(zhuǎn)

31、換為均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的總體，將各個(gè)體的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為它在其總體中的相對(duì)位置?！纠拷猓河捎趦纱慰荚嚦煽?jī)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同，每個(gè)學(xué)生兩次考試的成績(jī)不宜直接比較。利用標(biāo)準(zhǔn)化值進(jìn)行對(duì)比，表明第二次考試的成績(jī)更好一些。 假定某班學(xué)生先后兩個(gè)兩次進(jìn)行了難度不同的綜合考試，第一次考試成績(jī)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為80分和10分，而第二次考試成績(jī)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為70分和7分。張三第一、二次考試的成績(jī)分別為92分和80分，那么全班相比較而言，他哪一次考試的成績(jī)更好呢？對(duì)稱鐘形分布中的3法則3 法則關(guān)于鐘形分布的一個(gè)近似的或經(jīng)驗(yàn)的法則：變量值落在 -3，+3范圍以外的情況極為少見。因此通常將落在區(qū)間-3，+3之外

32、的數(shù)據(jù)稱為異常數(shù)據(jù)或稱為離群點(diǎn)。x99.73%68.27%95.45%六、離散系數(shù)（或變異系數(shù)，Coefficient of Variation) 前面的各變異指標(biāo)都是有計(jì)量單位的，它們的數(shù)值大小不僅取決于數(shù)據(jù)的離散程度，還要受數(shù)據(jù)本身水平高低和計(jì)量單位的影響。對(duì)不同變量（或不同數(shù)據(jù)組）的離散程度進(jìn)行比較時(shí)，只有當(dāng)它們的平均水平和計(jì)量單位都相同時(shí)，才能利用上述變異指標(biāo)來分析；否則，須利用離散系數(shù)來比較它們的離散程度。例如，哪個(gè)變量的差異較大：體重，還是身高？例如，體重的差異哪個(gè)較大：父親，還是嬰兒？ 父親：平均體重=70 kg，標(biāo)準(zhǔn)差=5 kg 嬰兒： 5 kg， 1 kg變異系數(shù)是一類相對(duì)數(shù)

33、形式的變異指標(biāo)，排除了平均水平和計(jì)量單位對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，便于不同計(jì)量單位或不同平均水平的總體間離散程度的對(duì)比。離散系數(shù)是極差、平均差或標(biāo)準(zhǔn)差等變異指標(biāo)與算術(shù)平均數(shù)的比率，以相對(duì)數(shù)的形式表示變異程度。將極差與算術(shù)平均數(shù)對(duì)比得到極差系數(shù)，將平均差與算術(shù)平均數(shù)對(duì)比得到平均差系數(shù)。最常用的離散系數(shù)是就標(biāo)準(zhǔn)差來計(jì)算的，稱之為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：離散系數(shù)大，說明數(shù)據(jù)的離散程度大，其平均數(shù)的代表性就差；反之亦然.計(jì)算公式：4.舉例：例1.現(xiàn)有內(nèi)地和沿海兩個(gè)城市的居民人均收資料如下表,比較兩地的收入差距：人均年收入（元）收入標(biāo)準(zhǔn)差（元）標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) (%)甲市60001502.5乙市120001801.5從標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)

34、來看，乙地收入差距要小于甲地。例2，有甲乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，其成績(jī)?nèi)缦卤硭?，比較哪個(gè)小組平均成績(jī)的代表性大。甲組的平均成績(jī)?yōu)椋杭捉M成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為：甲組成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：乙組成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為：乙組的平均成績(jī)?yōu)椋阂医M成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)為：五、異眾比率 異眾比率是指非眾數(shù)值的次數(shù)之和在總次數(shù)中所占比重，其公式為：主要用于衡量一組數(shù)據(jù)以眾數(shù)為分布中心的集中程度，即衡量眾數(shù)代表一組數(shù)據(jù)一般水平的代表性。其值越小，數(shù)據(jù)集中程度越高，眾數(shù)代表性越大.第五節(jié) 變量分布的偏度與峰度一、矩（動(dòng)差 ）二、偏度（Skewness） 三、峰度（Kurtosis）一、矩（動(dòng)差 ）矩（動(dòng)差 ） 一系列刻畫數(shù)據(jù)分布特征的指標(biāo)的統(tǒng)稱。變量值與數(shù)值 a 之離差的 K 次方的平均數(shù)稱為變量 x 關(guān)于 a 的K 階矩，即： K 階原點(diǎn)矩（當(dāng)a = 0 時(shí)）是數(shù)據(jù)的K次方的平均數(shù).一階原點(diǎn)矩即算術(shù)平均數(shù)；二階原點(diǎn)矩即平方平均數(shù)。 K 階中心矩矩（當(dāng)a =均值 時(shí)）是以均值為中心計(jì)算的離差 K 次方的平均數(shù)k=1時(shí)，稱為一階中心矩，它恒等于0，即 m1=0；k=2時(shí)，稱為二階中心矩，也就是方差，即m2=2。 二、偏度（Skewness）偏度指數(shù)據(jù)分布的不對(duì)稱程度或偏斜程度。以 對(duì)稱分布 為標(biāo)準(zhǔn)來區(qū)分偏態(tài)分布又分左偏（負(fù)偏）和右偏（正偏）.左偏分布（負(fù)偏）右偏分布（正偏）