層次分析法和兩種matlab實(shí)現(xiàn)方法

1、層次分析法matlab實(shí)現(xiàn)disp(請輸入判斷矩陣A(n階);A=input(A=);n,n=size(A);x=ones(n,100);y=ones(n,100);m=zeros(1,100);m(1)=max(x(:,1);y(:,1)=x(:,1);x(:,2)=A*y(:,1);m(2)=max(x(:,2);y(:,2)=x(:,2)/m；p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1);whilekpi=i+1;x(:,i)=A*y(:,i-1);m(i)=max(x(:,i);y(:,i)=x(:,i)/m(i);k=abs(m(i)-m(i-1);enda=sum(y(

2、:,i);w=y(:,i)/a;t=m(i);disp(w);disp(t);pause,%以下是一致性檢驗(yàn)CI=(t-n)/(n-l);RI=O00.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.581.59;CR=CI/RI(n);ifCR0.1disp(組合一致性不通過，請重新評分)returnend%下面根據(jù)比較陣的結(jié)果進(jìn)行組合result=EigOfOpt*EigOfCri;resultfunctionf=AHP1(dim,CmpMatrix)RI=000.580.9021.411.451.491.51;%判斷該比較陣是

3、不是一致陣%判斷該比較陣是不是一致陣V,D=eig(CmpMatrix);%求得特征向量和特征值%求出最大特征值和它所對應(yīng)的特征向量tempNum=D(1,1);pos=1;forh=1:dimifD(h,h)tempNumtempNum=D(h,h);pos=h;endendeigVector=V(:,pos);maxeig=D(pos,pos);maxeigdimCI=(maxeig-dim)/(dim-l);CR=CI/RI(dim);ifCR0.1disp(準(zhǔn)則對目標(biāo)影響度評分生成的矩陣不是一致陣，請重新評分)returnendCI%歸一化sum=0;forh=1:dimsum=sum

4、+eigVector(h);endsumpause,forh=1:dimeigVector(h)=eigVector(h)/sum;endf=eigVector;CI;層次分析法(AnalyticHierarchyProcess,簡稱AHP)是對一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題作出決策的簡易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。它是美國運(yùn)籌學(xué)家T.L.Saaty教授于70年代初期提出的一種簡便、靈活而又實(shí)用的多準(zhǔn)則決策方法。1層次分析法的基本原理與步驟人們在進(jìn)行社會(huì)的、經(jīng)濟(jì)的以及科學(xué)管理領(lǐng)域問題的系統(tǒng)分析中，面臨的常常是一個(gè)由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。

5、層次分析法為這類問題的決策和排序提供了一種新的、簡潔而實(shí)用的建模方法。運(yùn)用層次分析法建模，大體上可按下面四個(gè)步驟進(jìn)行：G)建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型；構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；層次單排序及一致性檢驗(yàn)；層次總排序及一致性檢驗(yàn)。下面分別說明這四個(gè)步驟的實(shí)現(xiàn)過程。1.1遞階層次結(jié)構(gòu)的建立與特點(diǎn)應(yīng)用AHP分析決策問題時(shí)，首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造出一個(gè)有層次的結(jié)構(gòu)模型。在這個(gè)模型下，復(fù)雜問題被分解為元素的組成部分。這些元素又按其屬性及關(guān)系形成若干層次。上一層次的元素作為準(zhǔn)則對下一層次有關(guān)元素起支配作用。這些層次可以分為三類：最高層：這一層次中只有一個(gè)元素，一般它是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此

6、也稱為目標(biāo)層。中間層：這一層次中包含了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可以由若干個(gè)層次組成，包括所需考慮的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則，因此也稱為準(zhǔn)則層。(iii)最底層：這一層次包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案層。遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度及需要分析的詳盡程度有關(guān)，一般地層次數(shù)不受限制。每一層次中各元素所支配的元素一般不要超過9個(gè)。這是因?yàn)橹涞脑剡^多會(huì)給兩兩比較判斷帶來困難。下面結(jié)合一個(gè)實(shí)例來說明遞階層次結(jié)構(gòu)的建立。例1假期旅游有P、P、P3個(gè)旅游勝地供你選擇，試確定一個(gè)最佳地點(diǎn)。123在此問題中，你會(huì)根據(jù)諸如景色、費(fèi)用、居住、飲食和旅途條件等一些準(zhǔn)則去反

7、復(fù)比較3個(gè)侯選地點(diǎn)?？梢越⑷缦碌膶哟谓Y(jié)構(gòu)模型。123目標(biāo)層O準(zhǔn)則層C措施層P1.2構(gòu)造判斷矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時(shí)，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時(shí)，常常會(huì)因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為看清這一點(diǎn)，可作如下假設(shè)：將一塊重為1千克的石塊砸成n小塊，你可以精確稱出它們的重量，設(shè)為w，,w，

8、現(xiàn)在，請人估計(jì)1n這n小塊的重量占總重量的比例(不能讓他知道各小石塊的重量)，此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。設(shè)現(xiàn)在要比較n個(gè)因子X二x，,x對某因素Z的影響大小，怎樣比較才能提供可1n信的數(shù)據(jù)呢？Saaty等人建議可以采取對因子進(jìn)行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個(gè)因子x和x，以a表示x和x對Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣ijijij_1jiaijA=(a)表示，稱A為Z-X之間的成對比較判斷矩陣(簡稱判斷矩陣)容易看出,ijnxn若x與x對Z的影響之比為a，則x與x對Z的影響之比應(yīng)為aijijji定義1若矩陣A二(a)滿足ijnxn(

9、i,j二1,2,n)(i)a0，(ii)a_ijjiaij則稱之為正互反矩陣(易見a_1，ii關(guān)于如何確定a的值，Saaty等建議引用數(shù)字19及其倒數(shù)作為標(biāo)度。下表列出了19ij標(biāo)度的含義：標(biāo)度含義135792，4，6，8倒數(shù)表示兩個(gè)因素相比，具有相冋重要性表示兩個(gè)因素相比，前者比后者稍重要表示兩個(gè)因素相比，前者比后者明顯重要表示兩個(gè)因素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要表示兩個(gè)因素相比，前者比后者極端重要表示上述相鄰判斷的中間值若因素i與因素j的重要性之比為a，那么因素j與因素i重要性ij、1之比為a_0ja(/從心理學(xué)觀點(diǎn)來看，分級太多會(huì)超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假

10、數(shù)據(jù)。Saaty等人還用實(shí)驗(yàn)方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，采用19標(biāo)度最為合適。n（n一1）最后，應(yīng)該指出，一般地作次兩兩判斷是必要的。有人認(rèn)為把所有元素都和某個(gè)元素比較，即只作n-1個(gè)比較就可以了。這種作法的弊病在于，任何一個(gè)判斷的失誤均可導(dǎo)致不合理的排序，而個(gè)別判斷的失誤對于難以定量的系統(tǒng)往往是難以避免的。進(jìn)行n（n一1）次比較可以提供更多的信息，通過各種不同角度的反復(fù)比較，從而導(dǎo)出一個(gè)合理的排序。1.3層次單排序及一致性檢驗(yàn)判斷矩陣A對應(yīng)于最大特征值九的特征向量W，經(jīng)歸一化后即為同一層次相應(yīng)因素max對于上一層次某因素相對重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層

11、次單排序。上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其它因素的干擾，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時(shí)，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：aa二a，Vi,j,k=1,2,n（1）ijjkik定義2滿足關(guān)系式（1）的正互反矩陣稱為一致矩陣。需要檢驗(yàn)構(gòu)造出來的（正互反）判斷矩陣A是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受A。定理1正互反矩陣A的最大特征根九必為正實(shí)數(shù)，其對應(yīng)特征向量的所有分量均max為正實(shí)數(shù)。A的其余特征值的模均嚴(yán)格小于九max定理2若A為一致矩陣，則（i）A必為正互反矩陣。（ii）A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致矩陣。（ii

12、i）A的任意兩行成比例，比例因子大于零，從而rank（A）=1（同樣，A的任意兩列也成比例）。（iv）A的最大特征值九=n，其中n為矩陣A的階。A的其余特征根均為零。max（v）若A的最大特征值九對應(yīng)的特征向量為W=（w，,w）T，則a=性，max1nijwjVi,j=1,2,n，即www一1www12nwww22.2-厶厶www12nwwwnnnwww12n定理3n階正互反矩陣A為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根九=n,且當(dāng)正互反矩max陣A非一致時(shí)，必有九n。max根據(jù)定理3,我們可以由九是否等于n來檢驗(yàn)判斷矩陣A是否為一致矩陣。由于特征max根連續(xù)地依賴于Q.,故九比n大得越多，A的非一致性

13、程度也就越嚴(yán)重，九對應(yīng)的標(biāo)ijmaxmax準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實(shí)地反映出X=x,x在對因素Z的影響中所占的比重。1n因此，對決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗(yàn)，以決定是否能接受它。對判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)的步驟如下：G）計(jì)算一致性指標(biāo)CI九-nCI=maxn一1（ii）查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。對n=1,9，Saaty給出了RI的值，女口表所示：n123456789RI000.580.9021.411.45RI的值是這樣得到的，用隨機(jī)方法構(gòu)造500個(gè)樣本矩陣：隨機(jī)地從19及其倒數(shù)中抽取數(shù)字構(gòu)造正互反矩陣，求得最大特征根的平均值九，并定義maxRI九一nm

14、ax-n一1（iii）計(jì)算一致性比例CRcr=CLRI當(dāng)CR0.10時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)對判斷矩陣作適當(dāng)修正。1.4層次總排序及一致性檢驗(yàn)上面我們得到的是一組元素對其上一層中某元素的權(quán)重向量。我們最終要得到各元素特別是最低層中各方案對于目標(biāo)的排序權(quán)重，從而進(jìn)行方案選擇?？偱判驒?quán)重要自上而下地將單準(zhǔn)則下的權(quán)重進(jìn)行合成。設(shè)上一層次（A層）包含A,A共m個(gè)因素，它們的層次總排序權(quán)重分別為1ma，,a。又設(shè)其后的下一層次（B層）包含n個(gè)因素,B，它們關(guān)于A的層次單1m1nj排序權(quán)重分別為b，,b(當(dāng)B與A無關(guān)聯(lián)時(shí)，b二0)?，F(xiàn)求B層中各因素關(guān)于總目標(biāo)1jnjijij的權(quán)重，即求

15、B層各因素的層次總排序權(quán)重b，,b，計(jì)算按下表所示方式進(jìn)行，即1nb=ba，i=1,n。iijjj=1層丹a2:%B層總排序權(quán)值611-rns対燦J1民&2122bg./*1bnmUbnjQj-對層次總排序也需作一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。這是因?yàn)殡m然各層次均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗(yàn)，各成對比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性。但當(dāng)綜合考察時(shí)，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結(jié)果較嚴(yán)重的非一致性。設(shè)B層中與A相關(guān)的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗(yàn)，求得單排序j一致性指標(biāo)為CI(j),(j=1,m)，相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為RI(j)(

16、CI(j)、RI(j)已在層次單排序時(shí)求得)，則B層總排序隨機(jī)一致性比例為藝CI(j)a.CR=亠遲RI(j)ajj=1當(dāng)CR0.10時(shí)，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。2層次分析法的應(yīng)用在應(yīng)用層次分析法研究問題時(shí)，遇到的主要困難有兩個(gè)：G)如何根據(jù)實(shí)際情況抽象出較為貼切的層次結(jié)構(gòu)；(ii)如何將某些定性的量作比較接近實(shí)際定量化處理。層次分析法對人們的思維過程進(jìn)行了加工整理，提出了一套系統(tǒng)分析問題的方法，為科學(xué)管理和決策提供了較有說服力的依據(jù)。但層次分析法也有其局限性，主要表現(xiàn)在：G)它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗(yàn)，主觀因素的影響很大，它至多只能排除思維過程中的嚴(yán)重非一致

17、性，卻無法排除決策者個(gè)人可能存在的嚴(yán)重片面性。(ii)比較、判斷過程較為粗糙，不能用于精度要求較高的決策問題。AHP至多只能算是一種半定量(或定性與定量結(jié)合)的方法。AHP方法經(jīng)過幾十年的發(fā)展，許多學(xué)者針對AHP的缺點(diǎn)進(jìn)行了改進(jìn)和完善，形成了一些新理論和新方法，像群組決策、模糊決策和反饋系統(tǒng)理論近幾年成為該領(lǐng)域的一個(gè)新熱點(diǎn)。在應(yīng)用層次分析法時(shí)，建立層次結(jié)構(gòu)模型是十分關(guān)鍵的一步。現(xiàn)再分析一個(gè)實(shí)例，以便說明如何從實(shí)際問題中抽象出相應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)。例2挑選合適的工作。經(jīng)雙方懇談，已有三個(gè)單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型，如下圖所示。目標(biāo)層AABBBBBB123456工作

18、滿意程度B1111411/2B112411/22BI11/21531/23B1/41/41/511/31/34B111/33115B6222331（方案層）RCCC1123C11/41/21C4132C21/313RCCC123C11/41/51C411/22C5213_CCC3123C131/31C1/3172C31/713C11/351C3172C1/51/713BCCCBCCC51236123C1117C1179C2117C21/711C31/71/71C31/911層次總排序）如下表所示。準(zhǔn)則研究課題發(fā)展前途待遇同事情況地理位置單位名氣總排序權(quán)值準(zhǔn)則層權(quán)值0.15070.17920.1

19、8860.04720.14640.2879|=f方層工作10.13650.09740.24260.27900.46670.79860.3952單排序工作20.62500.33310.08790.64910.46670.10490.2996權(quán)值工作30.23850.56950.66940.07190.06670.09650.3052根據(jù)層次總排序權(quán)值，該生最滿意的工作為工作1。計(jì)算程序如下：clca=1,1,1,4,1,1/21,1,2,4,1,1/21,1/2,1,5,3,1/21/4,1/4,1/5,1,1/3,1/31,1,1/3,3,1,12,2,2,3,3,1;x,y=eig(a);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);ci1=(lamda-6)/5;cr1=ci1/1.24w1=x(:,1)/sum(x(:,1)b1=1,1/4,1/2;4,1,3;2,1/3,1;x,y=eig(b1);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);ci21=(lamda-3)/2;cr21=ci21/0.58w21=x(:,1)/sum(x(:,1)b2=11/41/5;411/2;521;x,y=eig(b2);eigenval