單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)

1、單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)任學(xué)晶13010135機(jī)電學(xué)院【摘要】通過學(xué)習(xí)，我們知道在實(shí)際生產(chǎn)生活中自由振動(dòng)多是隨時(shí)間不斷衰減，直到最后振動(dòng)停止，這是由于受到阻尼即振動(dòng)過程中的阻力的作用所導(dǎo)致的。了解并避免受迫振動(dòng)是工程中的首要問題，本文將通過運(yùn)用振動(dòng)微分方程來解釋無阻尼受迫的合成，得出激振力頻率與振幅之間的關(guān)系，對(duì)共振曲線進(jìn)行分析，進(jìn)而了解共振現(xiàn)象。【關(guān)鍵詞】阻尼；受迫振動(dòng)；共振；引言工程中的自由振動(dòng)，都會(huì)由于阻尼的存在而逐漸衰減，最后完全停止。但實(shí)際上又存在有大量的持續(xù)振動(dòng)，這是由于外界有能量輸入以補(bǔ)充阻尼的消耗,一般都承受外加的激振力。在外加激振力作用下的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)。例如，交流電通

2、過電磁鐵產(chǎn)生交變的電磁力引起振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)，如圖1所示；彈性梁上的電動(dòng)機(jī)由于轉(zhuǎn)子偏心，在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)引起的振動(dòng)，如圖2所示，等等。圖1圖21.1簡(jiǎn)諧激振力工程中常見的激振力多是周期變化的。一般回轉(zhuǎn)機(jī)械、往復(fù)式機(jī)械、交流電磁鐵等多會(huì)引起周期激振力。簡(jiǎn)諧激振力是一種典型的周期變化的激振力，簡(jiǎn)諧力F隨時(shí)間變化的關(guān)系可以寫成F=Hsin(wt+p)(1)其中H稱為激振力的力幅；即激振力的最大值；w是激振力的角頻率；9是激振力的初相角，它們都是定值。1.1振動(dòng)微分方程如圖1所示的振動(dòng)系統(tǒng)，其中物塊的質(zhì)量為m。物塊所受的力有恢復(fù)力F和激振力,e如圖3所示。取物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸鉛直向下，則恢復(fù)力F在

3、坐標(biāo)軸的投e影為F=一kxe其中k為彈簧剛度系度。設(shè)F為簡(jiǎn)諧激振力，在F坐標(biāo)軸上的投影可以寫成式程為(1)的形式。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方m=-kx+Hsin(=0m2k0若0mm0，則由式（5）知,m值越大，振幅b越大，即振幅b隨m單調(diào)上升,當(dāng)m接近m0時(shí)，b將趨于無窮大。若汽，習(xí)慣上把b都取其絕對(duì)值，并視受迫振動(dòng)叮與激振力相反。這時(shí)，隨m增大，b減小。當(dāng)m趨于無窮大時(shí)，b趨于零。2.2共振曲線有上述則可得振幅b與激振力頻率m的關(guān)系，得到的曲線即為共振曲線。如圖4所示。圖4共振現(xiàn)象在上述分析中當(dāng)巴時(shí)此時(shí)這種現(xiàn)象稱為共振。如圖5所示。圖5事實(shí)上當(dāng)巴，式?jīng)]有意義微分方程的特解為:x=Btcos（wt+p

4、）（8）20將此式代入（3）中，得：B=-JL2w0故共振時(shí)受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為tcos(wt+9)0(9)它的幅值為7hb=t2w0由此可見，當(dāng)二時(shí)，系統(tǒng)共振，受迫振動(dòng)的振幅隨時(shí)間無限的增大。0例題如圖6所示為一長(zhǎng)為l無重剛桿OA，其一端O鉸支，另一端A水平懸掛在剛度系數(shù)為k的彈簧上，桿的中點(diǎn)裝有一質(zhì)量為m的小球。若在店A加一激振力F=Fosint，其1一一中W=20，為系統(tǒng)的固有頻率。忽略阻尼，求系統(tǒng)的受迫振動(dòng)規(guī)律。解：設(shè)任一瞬時(shí)剛桿的擺角為，根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程可以建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為：(1丫2丿=-kl2p+Flsin0kl24kW2=0/l、cmm()2則上述微分方程可以寫為e+rn2甲=hsinto則其特解為he=2一20sint將2o代入上式，可得h.e=sin3t=2