【2020高考數(shù)學】 三角形中的最值問題專項復習

1、2020高考數(shù)學】三角形中的最值問題專項復習 /17 /17 /17【基礎知識】1與解三角形相關的結(jié)論在ABC中,AB在銳角三角形ABC中,A+B,sirA.,cosA在鈍角三角形ABC中，設C為鈍角，則A+B,sirA(_)2【基本策略】邊的角度：三邊變兩邊，借助基本不等式求最值；角的方向：正弦定理邊化角，三角化一角然后借助三角函數(shù)有界性求范圍；函數(shù)觀點：引入變量，明確變量的范圍，建立函數(shù)關系式，利用求導等方法求范圍；結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化：化簡結(jié)構(gòu)，把多元減少為二元或者一元，然后借助對應方法求解.【基本技能】解決與三角形相關的范圍問題的方法方法解讀典例指引利用基本不等式余弦定理與重要不等式a2+b2ab

2、,三角形兩個邊的和與基本不等式a+b2,三角J形面積公式與abS,通過這些結(jié)合點求解范圍問題注意等號成立的條件頭例導引1利用函數(shù)的值域通過建立參數(shù)與已知角或邊的關系把角或邊作為自變量參數(shù)作為函數(shù)值轉(zhuǎn)化為函數(shù)關系將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題這里要利用條件中的范圍限制以及三角形自身范圍限制典例導引2溫馨提醒解題時盡量把角的范圍縮小到最小限度ABC為銳角三角形則要求三個角均為銳角例(1)ABC的內(nèi)角A，B，c的對邊分別為a，b，c，且滿足a=2，acosB-CcbJcosA求角A的大?。磺驛BC周長的最大值.2.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且滿足（2a+b）cosC+ccos

3、B=0.（1）求角C的大??；（2）求sinAcosB的取值范圍.一、單選題1（2020黑龍江高三（理）設A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點，在VABC中，BC=6,ZBAC=6。，則三棱錐D-ABC體積的最大值為（）A12尹B18/3C24.3D54.32.。020山西高三（理）在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,AABC的面積為S，若sin(A+C)=2S-c2則tanC+2i爲_C）的最小值為（A空2B2C1D2錦23（2018河南高考模擬（理）已知銳!；ftAABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b若=a（a+Jsin2A則sin（B-A的取值范圍是（）A

4、I?邊丿B.邊C位邊丿D.0喳1丿（丿（丿（丿（丿4（2019安徽高三月考（理）阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山人時期的“數(shù)學三巨匠”，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內(nèi)到兩定點距離比值為定蔽九豐1）的動點的軌跡.已知在AABC中，角A，B,C所對的邊分別為，b，C，且sinA=2sinB，acosB+bcosA=2， /17 /17 /17則AABC面積的最大值為（）4c_35.。019長沙市明德中學高三開學考試（理已知ABC中,5D3內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a2=b2+c2-bc,a=3,則ABC的周長的最大值為（）C2uuuuruuruuuu

5、ruuruuur16。019山西太原五中高三月考)在AABC中，若3(CAAB+CBAB)二2|AB|2,則tanA+tanB的B6D9最小值為（）B2J5CJ67。019河南高三月考（理）在銳熾ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,AABC的面積為S，若2Ssin（A+C）=，則c的取值范圍為（）0C2（兀兀）b（6,2）/兀兀、（兀兀、c（&虧）D（$彳8（2019吉林高三月考（理）AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊為a,b,c,若b=23，且AABC的面積為S二-2+C2-b2），則a+c的最大值為（）A1B2C3D49（2019黑龍江鶴崗一中高三月考（理）銳角AABC的三個內(nèi)角A,

6、asinA則的取值范圍是（）B,C的對邊分別為a,b,c,若B=2A,Ac10。019重慶南開中學高三月考（理在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若3a+cCa=2acosB,則b的最小值為（）D3ABC2V211。019安徽高考模擬（文）已知銳角ABC的角A,B,c的對邊分別為a,b,c,且C=1,三角形abc的面積S二1,則a2+b2的取值范圍為（）ABC17+8丿12.（2019四川高三月考（文）已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c（ab）.sinA=csinC_bsinB,若c=2、：3，則ABC的周長的最大值為（）Ab（9,+）17,9DL-2丿CI9

7、，且B3+4J3c.6策：3d.3+13.（2019河南鶴壁高中高考模擬（文）在AABC中，角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,若ac=4,sinB+2sinCcosA=0，則AABC面積的最大值為（）TOC o 1-5 h za.1Bc.2d.4二、填空題14.。019河北高三月考（文已知在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=4,且2彳2bcos%b2二c2，則b+c的取值范圍為V2丿15.。019安徽高三期末理）在AABC中，已知2cos2_A二sinA,若a二2尹，則AABC周長的取值范圍為.。019重慶高三月考理）在AABC中，BC=4,sinC=2sin

8、B,則當AABC的面積取得最大值時，BC邊上的高為.。019江西高三月考理）設AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊長a,b,c成等比數(shù)列，1cos（AC）cosB=延長BC至D，若BD=2，則AACD面積的最大值為2（2019廣東高考模擬（文）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b,c,zABC=120,ZABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為。019遼寧沈陽二中高三月考（理）已知AABC為銳角三角形，滿足r（小心rii,（）uuru（uuuruusinBsinC=Qi2B+sirCsiAtanA，aABC外接圓的圓心為O，半徑為1,則OAAB+ACn的取值范圍是 /1

9、7 /172020高考數(shù)學】三角形中的最值問題專項復習例ABC的內(nèi)角a，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a=2，acosB=（2c-b）cosA(1)求角A的大??；求ABC周長的最大值.【答案】解.(1)由已知，得acosBbcosA=2ccosAacosBnbcosA2ccosA由正弦定理，得sinAcosBnsinBcos/=2sinCcosAinAcosPsinBcosA2sinCcosA即sin(A+B)=2sinCcosAsin(A+B)=2sinCcosA因為sin(A+B)=sin(兀一C)=sinC，sin(A+B)=sin(n一C)=sinC所以sinC=2sinCcos

10、AsinC=2sinCcosA1因為sinC豐0sinCz0,所以cosA=三因為0As，所以3A(2)由余弦定理a2=b2+C2-2bccos,a2=b+C2-2bccosA得bc+4=b2+C2，即(b+c)2=3bc+4因為bc(b+c2，I丿所以(b+c)23(b+c)2+44即b+c4(當且僅當b=c=2b=c=2時等號成立).所以a+b+c6.故ABC周長a+b+c的最大值為6.2.在aABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(2a+b)cosC+ccosB=0.求角C的大??；求sinAcosB的取值范圍.【答案】解(1)因為(2a+QcosC+ccosB=0，所以2a

11、cosC=-(bcosC+ccosB),由正弦定理得2sinAcosC=(sinBcosC+sinCcosB)=-sin(B+C)=-sinATOC o 1-5 h z12兀因為在AABC中sinA0，所以cosC=-2，所以C=令（2）由（1）知A+B=1，所以B=已0內(nèi)0人,sinA弓為（3丿所以sinAcosB=sinAcos（=（1（3-A丿|=sin緯產(chǎn)cosA+=1sin2A+2_ecos2A=1sinl2A兀4才42因為0A兀，所以兀V2A兀V兀，此時呂V1sinf2A兀3夕夕423則01si彳2A兀、2(習J3J3，所以sinAcosB的取值范圍為斤073、可22J【針對訓練】

12、、單選題1（2020黑龍江高三（理）設A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點，在VABC中,BC=6,zbaC=6CP，則三棱錐D-ABC體積的最大值為（B18y3D54肩【答案】B解析】vabC中,bC=6zbaC二603則蠢=爲二苗=2rr=bc.bc36,S=2bcsinA-生31當a=b=c=6時等號成立，此時V二3Sh=183，故選：b2。020山西高三(理)在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，AABC的面積為S，若2S1sin(A+C)=0，則+2tanB的最小值為()B2C1答案】A2S2S【解析】因為sin(A+C)=鳥_C2，即sinB=鳥_c?ac

13、sinB所以sinB=.，因為sinB主0c2所以b2=C2+ac，由余弦定理b=a2+c_2accosB可得a2ccosB=c再由正弦定理得sinA-2sinCcosB=sinC因為sinA一2sinCcosB=sin(B+C)一2sinCcosB=sin(B一C)所以sin(BC)=sinC，所以BC=C或BC+C=兀得B=2C或B=兀（舍去）.因為AABC是銳角三角形,0vCv兀兀兀，得右vCv才，即tanCg,1)20v2C$0v兀一3Cv兀21所以tanC+2tanB一C)=tanC+2ranC當且僅當tanC二，取等號.故選:a3（2018河南高考模擬（理）已知銳角AABC中，角A

14、，B，C所對的邊分別a，b若=a（a+,sin2A則sinG；A）的取值范圍是（）【答案】c【解析】因為b2=a（a+c），所以b2=a2+ac由余弦定理得：b2=a2+C2-2accosB，所以a2+C2-2accosB=a2+ac所以a+2acosB=c，由正弦定理得sinA+2sinAcos3=sinC，因為C=兀（A+B）所以sinA+2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB即sinA=sin（B一A），因為三角形是銳角三角形，所以ag（0,$），所以0vB一Av?所以A=BA或A+B一af，所以B=2A或B=兀（不合題意），因為三角形是銳角三角形，所以

15、0vAv2，0v2Av?,0v兀所以纟A豐則爲葉=sh磚幻，故選c.4（2019安徽高三月考（理）阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山人時期的“數(shù)學三巨匠”，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內(nèi)到兩定點距離比值為定值鳳鼻1）的動點的軌跡.已知在AABC中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c且sinA=2sinB，acosB+bcosA=2,則AABC面積的最大值為（）答案】C【解析】依題意，sinA=2sinB，得BC=2ACacOsB+bcOsA=土Q+蘭匸=c=2即AB=2，以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸由BC=2AC，則c的軌跡為阿波羅尼斯圓，

16、其方程為（x-51643）2+y2=-9/x?0，邊AB咼的最大值為3，:（STOC o 1-5 h z建立直角坐標系，則A（1,0）,BQ,0），設C（x,y）,x04 HYPERLINK l bookmark94 o Current Document ）_-3、=.故選:C5。019長沙市明德中學高三開學考試（理）已知AABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2=b2+c2-bc，a=，貝【JABC的周長的最大值為（）B6cJ3D9【答案】D【解析】由題b+c2a2=bc，即a2=b+C2bc=(b+c)2-3bc,(b+c)24，.9=(b+c)2-3bc,Qbc(b+c)2

17、-等.CVABC(max)廠b+c)2“丿3(b+c)21(b+c)2，即(b+c)236,則b+c2：5，當且僅當tanB=時，等號成立，故選b7。019河南高三月考（理）在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,bc，AABC的面積為S，若2Ssin(A+C)=壇范圍為()A.(0,2)（兀兀）B（&2丿63D【答案】D2S2S【解析】因為sin(A+C)=b，即sinB=bcb2C2acsinB所以sinB=，因為sinB主0P-C2所以b2=C2+ac.由余弦定理b2=a2+C22accosB，可得a一2ccosB=c再由正弦定理得sinA2sinCcosB=sinC.因為sinA

18、2sinCcosB=sin(B+C)2sinCcosB=sin(BC)所以sin（BC）=sinC所以B一C=C或B一C+C=兀，得B=2C或B=兀（舍去）.因為ABC是銳角三角形，所以=2accosB，又S二-2+C2-tfe)1.乏acsinB=-(丿二b(a+c)23所以2斗322=a2+C2-2accosB=(a+c)2-ac.(a+c)2-4=(4+c)2accosB，因此tanB=-詁3，故3即4（a+c）2（212（a+0乙16,即a+c4,當且僅當a=c時，等號成立，故a+c的最大值為4.故選：D9（2019黑龍江鶴崗一中高月考（理）銳角BC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,

19、b,c,若B=2A,asinA則b的取值范圍是（）A答案】D.sinB=sin2A=2sinAcosA由正弦定理得b=2acosA.b=，2cosA.AABC是銳角三角形，【解析】B=2AasinAsinA1LtanAosA空0B=2A?,解得6A；,.譚tan怎1，/0C十3A2D1人1/anA22故選D丿io.Ooi9重慶南開中學高三月考（理在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a，b,c,若c_a=2acosB，則3器一的最小值為（）D3答案】【解析】因為ca=2acosB，由余弦定理可得：c_a=2a*+善_匕b2整理得:c=d_a，所以3a+c2a+_a_2ab當且僅當方一=a，

20、即b=時，取等號故選：c11。019安徽高考模擬（文）已知銳角ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=1,三角形abc的面積S=1,則a2+b的取值范圍為（）ABC2丿Ab.（9,+g）c.pg，9D答案】D解析】在二角形adc中，AD=：AC?CD2=b_4在二角形BDC中，BD=/BC2_CD2=QAD+BD=AB=1,；a24+jbF4=182+b=824+b4+8=(口2_4)2+(b24)2+8=(-4)2+(12_4)2+8=2即Q嚴4e（0,1）設t氣a24e（0,1）/.82+b2=2t22t+9結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到:a2+d匸17,9故選d.亡丿，且12.（201

21、9四川高三月考（文）已知ABC的內(nèi)角ABC所對的邊分別為ab,C（a-b）.sinA=csinCEnB,若c=2啟，則ABC的周長的最大值為（b.3+4.：3D.3+6尹【答案】Ca2+b2C212ab=2因為【解析】由正弦定理得(8b)8=c2P,a2+bC2=ab,所以cosC=0C7t,所以C-3由正弦定理求得snA=sinB=sinC=4所以a+b+c=4sinA+4sinB+2護=4sinA+4sin修A+2/=4嚴in(A+補由于2nA故當A=$時周長取得最大值為43+2*3=6/.故選：C.13.（2019河南鶴壁高中高考模擬（文）在AABC中角ABC所對應的邊分別為8,bj若8

22、c=4sinB+2sinCcosA=0則AABC面積的最大值為（）A.1BJ3c2D.4【答案】A【解析】由正弦定理得：b+2ccosA=0由余弦定理得:b+2c.即2b2=a2C2aa2-C2cosB=a2+辛-b=32+C2；22ac2ac32+3c24ac當且僅當C2二,b二,a2=時取等號,.sinB1211則S乞acsinB乞x4x乞=1，所以AABC面積的最大值i.故選A.二、填空題14.。019河北高三月考（文已知在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=4,且2al（2-bcos沖+b2二c2，則b+c的取值范圍為12丿【答案】(42+8)a【解析】Qa=4，且2a(2-bcosB)+b=C2a22abcosB+b2=c2，即a2+b-Q=2abcosB又Q由余弦定理可得a2+b-C2=2abcosC.可得2abcosB=2abcosC,即COSB=COSC.B=C,b=c,又A為銳角，.cosAw(0,1)Qa=4,.b+c4設b=C=X,由余弦定理知a2=b2+C2-2bccosA.16=2x2-2