共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)

1、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)上海市奉賢中學(xué)余意教學(xué)目的：1、掌握共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，并能將復(fù)數(shù)的共軛加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算進(jìn)行推廣；2、能運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)運(yùn)算解決一些簡單的復(fù)數(shù)問題，提高數(shù)學(xué)符號變換的能力，培養(yǎng)學(xué)生類比推廣思想、從特殊到一般的方法和探究方法。3、力求激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生體驗探索研究的樂趣，努力創(chuàng)設(shè)以學(xué)生為中心的課堂研究氛圍。教學(xué)重點：共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)的探究。教學(xué)難點：共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。教學(xué)過程：復(fù)習(xí)共扼復(fù)數(shù)概念：共扼復(fù)數(shù)：實部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個數(shù)。復(fù)數(shù)的共扼復(fù)數(shù)用；表示。若z=a+bi，則z=abi（a,bUR）互為共扼的兩復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于軸對稱。研究復(fù)數(shù)的模、i；發(fā)現(xiàn)1:Iz丨=“a2b

2、2,z=*a2b2研究結(jié)論：丨z1=z（學(xué)生說出）發(fā)現(xiàn)2：z+z=2a,zz=2bi共扼復(fù)數(shù)之和為實數(shù)，共扼復(fù)數(shù)之差為純虛數(shù)？（后半句不正確?。┤鬮=0（z是實數(shù)），則zz=0,即z=z（逆命題成立嗎？）若a=0,則z+z=0,即z=z（如何深入研究？）研究結(jié)論：z=zzUR（學(xué)生證明）研究結(jié)論：z=zzHOz為純虛數(shù)（學(xué)生證明）j發(fā)現(xiàn)3：zz=a2+b2（聯(lián)想到丨z丨=a2b2）研究結(jié)論：丨zl2=Zz非常重要的一個結(jié)論：復(fù)數(shù)與實數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換注意：丨Z|2z2，特別地IZ1時，zz1讓學(xué)生各自找兩個復(fù)數(shù)，如Z=l+2i,z_=34i,計算：（1）z+z（2）z+z121212解：（1）z+z=

3、1+2i+34i=（12i）+（3+4i）=4+2i12（2）z+z=（1+2i）+（34i）=42i=4+2i12發(fā)現(xiàn)3：z+z=z+z是否巧合？能否證明？1212思考：能否推廣到減法、乘法、除法運(yùn)算？研究結(jié)論5：（1)z+z=z+z(z2)z=zz12121212z(4z二3)zz=zz)=zH021212z2z2思考：能否推廣到個復(fù)數(shù)的運(yùn)算?z+z+z=z+z+zzzz=zzz12n12n12212n特別地，若z=z=z=z，則zn=(zn12n練習(xí)（）zzR是復(fù)數(shù)zR的條件。（2）zR是zi為純虛數(shù)的條件。練習(xí)：設(shè)z,z為非零復(fù)數(shù)，Azzzz，則A是（）121212a虛數(shù)、實數(shù)、純虛數(shù)

4、、實數(shù)或虛數(shù)例題、若復(fù)數(shù)z滿足Iz1，請問z丄是實數(shù)嗎？若是，請證明。若不是，請說明理由。z作業(yè)：1、走進(jìn)新課程P738、9P7482已知z為虛數(shù)，且zH土i,若一一為實數(shù)，求IzI。1.Z2共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)教案說明一、教材分析數(shù)的概念是人類社會的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，數(shù)學(xué)理論的研究和發(fā)展也推動著數(shù)的概念的發(fā)展，數(shù)已經(jīng)成為現(xiàn)代社會生活和科學(xué)技術(shù)時刻離不開的科學(xué)語言和工具。那么把實數(shù)集擴(kuò)充為復(fù)數(shù)集，建立復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)，從而充分認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾和運(yùn)動對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用。本節(jié)課是學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，是對復(fù)數(shù)概念的進(jìn)一步深化，從而進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)符

5、號變換的能力，為實系數(shù)一元二次方程的解學(xué)習(xí)設(shè)下伏筆。二、學(xué)生分析實數(shù)在學(xué)生的腦海中根深蒂固，所以建構(gòu)復(fù)數(shù)內(nèi)有關(guān)概念及其運(yùn)算時，經(jīng)常會受到實數(shù)內(nèi)經(jīng)驗的干擾，比如絕對值對復(fù)數(shù)模的負(fù)遷移；由Iz|2z2引起的負(fù)遷移等。所以本人在教學(xué)中重視學(xué)生以往經(jīng)驗對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用，了解學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)及其建立的背景，在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念和運(yùn)算后，繼續(xù)探究共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)。讓學(xué)生充分認(rèn)識在實數(shù)內(nèi)成立的法則、公式、及其它一些性質(zhì)，不一定在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)成立，并進(jìn)一步深化復(fù)數(shù)集中實數(shù)、純虛數(shù)的概念。由于4班的學(xué)生思維敏捷，有獨創(chuàng)性、鉆研性，所以課堂上可以推行競爭學(xué)習(xí)的方式，既可提高學(xué)生探索的能力，也可培養(yǎng)學(xué)生求真的學(xué)習(xí)態(tài)度

6、。三、目標(biāo)分析高中數(shù)學(xué)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)對本節(jié)課的教學(xué)要求達(dá)到“應(yīng)用”的層次，即能綜合地、靈活地、創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和技能來解決有關(guān)問題。根據(jù)上述這些分析，教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計分成以下三方面：1、掌握共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，并能將復(fù)數(shù)的共軛加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算進(jìn)行推廣；2、能運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)運(yùn)算解決一些簡單的復(fù)數(shù)問題，提高數(shù)學(xué)符號變換的能力，培養(yǎng)學(xué)生類比推廣思想，從特殊到一般的方法和探究方法。3、力求激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生體驗探索研究的樂趣，努力創(chuàng)設(shè)以學(xué)生為中心的課堂研究氛圍。實際上，互為共軛的兩個復(fù)數(shù)的性質(zhì)是通過復(fù)數(shù)運(yùn)算得到的結(jié)論，所以本節(jié)課的重點是探究共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)。由于復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的實部、虛部是

7、實數(shù)，而在復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)中，復(fù)數(shù)實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題最基本也是最重要的思想方法，但學(xué)生不容易順利地及時轉(zhuǎn)換概念，更不容易靈活運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，所以共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用便成了本堂課的難點。四、過程分析改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，推進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，主要取決于學(xué)生主體意識的形成和對學(xué)生主體參與能力的培養(yǎng)。在這堂課的設(shè)計中，從課題的引入到問題的研究都以此為目標(biāo)：1、課題引入：通過共軛復(fù)數(shù)的對稱性，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)對稱美，并且在探究共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)的過程中感受數(shù)學(xué)的簡單美，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。2、課堂中研究結(jié)論2、3實質(zhì)上是兩個特殊復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，從而進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，并且深化了實數(shù)、純虛數(shù)的概念，這是

8、本章學(xué)習(xí)的重點之一；研究1，4是與復(fù)數(shù)的模相關(guān)的性質(zhì)，復(fù)數(shù)的模是本章學(xué)習(xí)的重點也是難點，重要性在于它既是復(fù)數(shù)的幾何特征之一，也在于是復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的途徑之一。通過性質(zhì)探究的過程，可對實數(shù)與復(fù)數(shù)進(jìn)行比較學(xué)習(xí)，讓學(xué)生知道Iz|2z2在實數(shù)集成立，而在復(fù)數(shù)集是不成立的。問題5是共軛復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，利用從一般到特殊的方法進(jìn)行探究，并進(jìn)行類比推廣，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的符號變換能力，提高學(xué)生的探究能力。五、方法分析本節(jié)課，采用“探究發(fā)現(xiàn)式”教學(xué)模式為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了探究知識的情景，從而充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極性，使學(xué)生有自主發(fā)現(xiàn)知識、創(chuàng)造性地解決問題的時間、空間。六、評價分析通過探究共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)的過程，提高

9、學(xué)生辨析概念的能力，以嚴(yán)格地論證來說明學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是需要求真的態(tài)度和科學(xué)的方法。本節(jié)課設(shè)想是采用“探究發(fā)現(xiàn)式”的教學(xué)模式來授課，可是結(jié)論1、結(jié)論2已經(jīng)在前兩節(jié)課的學(xué)案上出現(xiàn)了，對于學(xué)生來說共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)不陌生，我預(yù)測課堂上學(xué)生探究共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)的積極性不高，所以我上課時采用師生共同研究的方式來解決前四個結(jié)論，練習(xí)1是學(xué)生自己獨立完成。可是在講解中，激情不夠高，搞得聲音輕，問的“問題”也沒切中要害，漸漸地，學(xué)生發(fā)言的主動性降低。幸運(yùn)的是，學(xué)生做完練習(xí)2后，我請祝賀同學(xué)回答解法時，他回答“沒計算，是看出來的”，就這句話，全體學(xué)生哄堂大笑，學(xué)習(xí)氛圍又調(diào)動起來了，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性高漲，我也更加興奮了但是，此

10、題的另外兩種方法是本人講授的，如果本人引導(dǎo)后，給學(xué)生充足的時間，讓學(xué)生去想、去發(fā)現(xiàn)Az:Zz可以整體代換，只需求A或者求z:，那么就相當(dāng)成功，可是本人“包辦”121212了，擔(dān)心例題沒時間講。明顯地，時間安排不夠合理，課前準(zhǔn)備不夠充分，課堂應(yīng)變能力還要提高點評（宋林榮：中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，區(qū)名教師）總體上說，余意上的這堂共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)課條理清晰，板書規(guī)范，表達(dá)流暢，具有較好的教學(xué)基本功。這節(jié)課主要體現(xiàn)了兩個“關(guān)注”和兩個“突出”的特點。（1）關(guān)注三位目標(biāo)。從制定的教學(xué)目標(biāo)看，有知識與技能、過程與方法以及情感態(tài)度、價值觀。制定目標(biāo)恰當(dāng)。在課堂教學(xué)過程中，力求體現(xiàn)制定的目標(biāo)，因而有較好的達(dá)成度。（2

11、）關(guān)注學(xué)習(xí)過程。比較強(qiáng)調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)行為和習(xí)慣，鼓勵學(xué)生，激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。課堂上，采用提問、練習(xí)和板書等形式，引導(dǎo)學(xué)生積極參與，努力讓學(xué)生去嘗試，及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)中的錯誤，不斷修正錯誤。（3）突出教學(xué)理念。從這節(jié)課的設(shè)計意圖看，把學(xué)習(xí)五條共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，設(shè)計成對這五條性質(zhì)的探究，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，然后及時引導(dǎo)學(xué)生去證明。不但使學(xué)生學(xué)到共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，更重要的是逐步學(xué)會探究的方法，形成探究的意識。（4）突出數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想的形成，不是幾節(jié)課能夠解決的，而是滲透在平時的教學(xué)之中。余意老師的這節(jié)課做的比較好。雖然沒有大講數(shù)學(xué)思想，但在課堂上滲透了數(shù)學(xué)思想。如歸納思想代換思想類比推廣思想等。滲透數(shù)學(xué)思想比較自然，順理成章。幾點建議：（1）既然這節(jié)課讓學(xué)生探究，在行進(jìn)過程中，就得放開些。讓學(xué)生更多的暴露些錯誤。學(xué)生的錯誤是“壞事”，但也是“好事”。學(xué)生的錯誤還不是真正的錯誤，學(xué)習(xí)是需要有一個過程，探究的過程需要有一定的時間保證