新高考數(shù)學(xué)二輪專題《數(shù)列》第10講 數(shù)列單調(diào)性問題（解析版）

1、第10講 數(shù)列單調(diào)性問題 一選擇題（共3小題）1已知數(shù)列與滿足，在數(shù)列中，設(shè)數(shù)列中的最小項是第項，則等于A30B28C26D24【解析】解：數(shù)列與滿足，在數(shù)列中，疊加可得，最小，故選：2在數(shù)列中，則此數(shù)列最大項的值是A103BCD108【解析】解：對應(yīng)的拋物線開口向下，對稱軸為，是整數(shù)，當(dāng)時，數(shù)列取得最大值，此時最大項的值為，故選：3設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是ABCD【解析】解：函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，解得：，即：，故選：二填空題（共4小題）4已知是遞增數(shù)列，且對于任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是【解析】解：對于任意的，恒成立，是遞增數(shù)列，又當(dāng)時，最小，

2、故答案為：5已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且對于任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是【解析】解：是遞增數(shù)列，且對于任意的，都有成立，數(shù)列是遞增數(shù)列，對于任意，化為：，恒成立數(shù)列單調(diào)遞減，恒成立故答案為：6已知數(shù)列滿足，對于任意的，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍，【解析】解：，兩式相減得：，對于任意的，都有恒成立，對于任意的，都有恒成立，對于任意的恒成立，當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是：，7數(shù)列滿足數(shù)列滿足，則中的最大項的值是【解析】解：由，得，取，求得；由，得，兩式作差得，即，又，數(shù)列構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，則，則，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，而當(dāng)時，中的最大項的值是故答案為：三解答題（共11小題）8已知

3、數(shù)列，前項和滿足，（）求的通項公式；（）若，求數(shù)列的前項和；（）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍【解析】解：（）由已知，且，當(dāng)時，也適合，當(dāng)時，且也適合，（），設(shè)，當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，且也適合綜上得（），使數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則，對都成立，則，當(dāng)或2時，9已知數(shù)列中，為非零常數(shù)），其前項和滿足：（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，且，求、的值；（3）是否存在實數(shù)、，使得對任意正整數(shù)，數(shù)列中滿足的最大項恰為第項？若存在，分別求出與的取值范圍；若不存在，請說明理由【解析】解：（1）由已知，得，則有，即，兩式相加得，即，故數(shù)列是等差數(shù)列又，（2）若，則，由，得，即，是質(zhì)數(shù)，解得，（3）由

4、，得若，則，不合題意，舍去；若，則不等式成立的最大正整數(shù)解為，即，對任意正整數(shù)都成立，解得，此時，解得故存在實數(shù)、滿足條件，與的取值范圍是，10設(shè)數(shù)列滿足：，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列中的最大項的值【解析】解：（1），當(dāng)時，則，當(dāng)時也成立，（2），由于，可得，2，3時，；當(dāng)時，數(shù)列中的最大項為，可得11已知是定義在實數(shù)集上的不恒為0的函數(shù)，對任意實數(shù)，有，當(dāng)時，有（）求的值，并證明恒正；（）判斷在實數(shù)集上單調(diào)性；（）設(shè)為數(shù)列的前項和，為正整數(shù)）令，問數(shù)列中是否存在最大項？若存在，求出最大項的值；若不存在，試說明理由【解析】解：（）由，令，則，當(dāng)時，有，（2分）當(dāng)時，由于所以，綜上

5、可知，恒正；（4分）（）設(shè)，則，又由（1）可知所以故在實數(shù)集上是減函數(shù)；（8分）（）由題意，數(shù)列為以首項，公比為的等比數(shù)列，（12分）由此可知，隨著的增大而增大，再根據(jù)（2）可得隨著的增大而減小，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，從而存在最大項，其為（14分）12已知數(shù)列滿足：，2，3，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，2，求數(shù)列的最大項的值；（3）對第（2）問中的數(shù)列，如果對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍【解析】（1）證明：由題可知：，可得（3分）；即：，又（5分），所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列（4分）（2）解：由（1）可得，故，設(shè)數(shù)列的第項最大，則有，故數(shù)列的最大項是（8分）（3）解：由（2

6、）可知有最大值是，所以，對任意，都有，對任意，都有，即成立，（11分），解得或?qū)崝?shù)的取值范圍是，（12分）13已知無窮數(shù)列滿足：，對任意正整數(shù)，記對任意，2，3，對任意，（）寫出，；（）當(dāng)時，求證：數(shù)列是遞增數(shù)列，且存在正整數(shù)，使得；（）求集合【解析】（）解：根據(jù)題意可得，；（）證明：當(dāng)時，對任意，都有，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，因為，所以，令，則，所以，所以存在正整數(shù)，使得；解：由題意得，對任意，都有且由（）可得，當(dāng)時，存在正整數(shù)，使得，所以，所以若，則，又因為，所以若，則，所以若，則，即下面證明當(dāng)時，對任意，都有下證對任意，假設(shè)存在正整數(shù)，使得令集合，則非空集合存在最小數(shù)因為，所以因為，所

7、以所以，與矛盾所以對任意，所以當(dāng)時，當(dāng)時，下證對任意，假設(shè)存在正整數(shù)，使得令集合，則非空集合存在最小數(shù)因為，所以，所以因為，所以，且，所以，與矛盾所以當(dāng)時，所以當(dāng)時，對任意，都有所以，即因為，且，所以14設(shè)數(shù)列的前項和為，（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)數(shù)列的前項和滿足若，求證：；若數(shù)列為遞增數(shù)列，求的范圍【解析】（）解：，當(dāng)時，兩式作差得，當(dāng)時，則，數(shù)列是等比數(shù)列，；（）證明，若，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上，；解：，當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，函數(shù)在時取得最小值為12，又，數(shù)列為遞增數(shù)列時，的范圍為15若數(shù)列的每一項都不等于零，且對于任意的，都有為常數(shù)），則稱數(shù)列為“類等比數(shù)列”已知數(shù)列滿足：，對于任意的，

8、都有（1）求證：數(shù)列是“類等比數(shù)列”；（2）求通項公式；（3）若是單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍【解析】解：（1）證明：因為，所以，所以，所以數(shù)列是“類等比數(shù)列”（2）由已知得，故結(jié)合（1）可知，該數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成以，為首項，且公比皆為2的等比數(shù)例故，（3）若是單調(diào)遞增數(shù)列，則滿足，即，即，解得16已知數(shù)列的前項和為（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）試討論數(shù)列的單調(diào)性（遞增數(shù)列或遞減數(shù)列或常數(shù)列）【解析】解：（1）由已知，得，（3分）又，（2分）所以，數(shù)列為公差為的等差數(shù)列（1分）（2）由，得當(dāng)時，數(shù)列為遞增數(shù)列；（2分）當(dāng)時，數(shù)列為常數(shù)列；（2分）當(dāng)時，數(shù)列為遞減數(shù)列（2分）17已知函數(shù)，（1）求證：對任意，；（2）試判斷數(shù)列是否是遞增數(shù)列，或是遞減數(shù)列？【解析】（1）證明：由題意，可知，則，則，對任意，都有恒成立，故命題得證（2）由題意，可知，則，即，數(shù)列是遞增數(shù)列18已知數(shù)列滿足：，為數(shù)列的前項和（1）若是遞增數(shù)列，且，成等差數(shù)列，求的值；（2）若，且是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（3）在（2）的條件下，令，求數(shù)列的前