新高考數學二輪專題《立體幾何》第11講 非常規(guī)空間幾何體為載體（解析版）

1、第11講 非常規(guī)空間幾何體為載體一選擇題（共1小題） 1如圖，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，是圓周上不同于，的任意一點，則二面角的大小的正弦值為ABCD【解答】解：如圖，連接，過在平面上作于，連接，由三垂線定理，是二面角的平面角，所以在中，故選：二解答題（共19小題）2如圖，是圓的直徑，圓所在的平面，是圓上的點（）求證：平面平面；（）若，求二面角的大小【解答】（）證明：圓所在的平面，是圓的直徑，且是圓上的點，又，平面，而平面，平面平面；（）由（）知，平面，為二面角的平面角，在中，3如圖，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，是圓0上異于，的點，（1）求證：平面；（2）設，分別為，的中點，問：對于線

2、段上的任一點，是否都有平面？并說明理由【解答】（1）證明：因為圓所在的平面，平面，所以可得，因為是圓上的點，是圓的直徑，所以由直徑對的圓周角等于，可得再由，利用直線和平面垂直的判定定理可得平面；（2）對于線段上的任一點，都有平面證明如下：連接，則因為，分別為，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因為是的中位線，所以有，因為平面，平面，所以平面而和是平面內的兩條相交直線，故平面平面又平面，所以平面4如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，垂直于圓所在的平面，且，（）若為線段的中點，求證：平面；（）求三棱錐體積的最大值；（）若，點在線段上，求的最小值【解答】解：（）在中，因為，為的中點，所以，又

3、垂直于圓所在的平面，所以，因為，所以平面（）因為點在圓上，所以當時，到的距離最大，且最大值為1，又，所以面積的最大值為，又因為三棱錐的高，故三棱錐體積的最大值為：（）在中，所以，同理，所以，在三棱錐中，將側面繞旋轉至平面，使之與平面共面，如圖所示，當，共線時，取得最小值，又因為，所以垂直平分，即為中點從而亦即的最小值為：5如圖所示，是圓的直徑，點是圓上異于、的點，垂直于圓所在平面，且（1）為線段的中點，求證：平面；（2）當三棱錐的體積最大時，求異面直線與所成的角【解答】（1）證明：在中，為的中點，又垂直于圓所在的平面，平面；（2）解：點在圓上，當時，到的距離最大，此時的面積最大，則三棱錐的體積

4、最大，以為原點，分別以、所在直線為、軸建立空間直角坐標系，則，0，1，0，與的夾角為，則異面直線與所成的角為6如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，垂直于圓所在的平面，且為線段的中點，（）求證：平面平面；（）若點在線段上，且，求三棱錐體積的最大值【解答】（）證明：在中，因為，為的中點，所以，又垂直于圓所在的平面，所以；又，所以平面；又平面，所以平面平面；（）由，則，所以；又點在圓上，所以當時，到的距離最大，且最大值為6；又，所以面積的最大值為；又三棱錐的高為，所以三棱錐體積的最大值為；綜上知，三棱錐體積的最大值為7如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內部）以邊所在直線為旋轉軸旋轉得到的

5、，是弧的四等分點，且靠近 （1）設是上的一點，且，求的大??；（2）當，時，求二面角的余弦值的大小【解答】解：（1），平面，平面，（2）以為坐標原點，過點作，與交于點，分別以、所在的直線為，軸，建立空間直角坐標系，由題意得，0，0，1，0，1，設，是平面的一個法向量，則，取，得，設，是平面的一個法向量，則，取，得，二面角的余弦值為8如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內部）以邊所在直線為旋轉軸旋轉得到的， （1）設是上一點，且，若中點為，求證：平面平面；（2）若，為上的一點，且，求二面角的余弦值【解答】證明：（1）由矩形知，由，及，平面，面，由平面，知，由，知，由，知是等邊三角形，由為中

6、點，得，由平面，知，由，平面，得平面，由平面，得平面平面解：（2）二面角可以分割為二面角和二面角，二面角的平面角為，過作的垂線交于，過作的垂線交于，則二面角的平面角為，設，則，二面角的余弦值為9如圖，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點（）證明：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值【解答】證明：（）取的中點，連結，為的中點，在四邊形中，為中點，平面平面，平面，平面解：（）連結，過作于，連結，推導出四邊形為矩形，平面，又，平面，設，由，得，又平面，平面，即點到平面的距離為，到平面的距離應該和平行且相等，為，為中點，到平面的垂足也為垂足所在線段的中點，即中位線，到平面的距離為，在，由余

7、弦定理得，設直線與平面所成角為，則10如圖，在平行六面體中，平面，且，（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值【解答】解：在平面內，過作，平面，、平面，以為坐標原點，分別以、所在直線為、軸建立空間直角坐標系，0，1，2，0，（1）異面直線與所成角的余弦值為；（2）設平面的一個法向量為，由，得，取，得；取平面的一個法向量為二面角的余弦值為，則二面角的正弦值為11在如圖所示的圓臺中，是下底面圓的直徑，是上底面圓直徑，是圓臺的一條母線（1）已知，分別為，的中點，求證：面；（2）已知，求二面角的余弦值【解答】（1）證明：設的中點為，由三角形中位線定理可得，面面，則面；（2）解：連接，則

8、平面，又，且是圓的直徑，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系方向為軸，方向為軸，方向為軸，如圖，由題意得：，2，0，過點作于點，故，1，故，設是平面的一個法向量，則，取，則，又平面的一個法向量，故，二面角的余弦值為12如圖，已知圓柱內有一個三棱錐，為圓柱的一條母線，為下底面圓的直徑，（）在圓柱的上底面圓內是否存在一點，使得平面？證明你的結論（）設點為棱的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值【解答】解：（）當點為上底面圓的圓心時，平面證明如下：如圖，取上底面圓的圓心為，連接，則，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以又，所以四邊形為平行四邊形，所以因為平面，平面，所以平面故點為上底面圓的圓心

9、時，平面（）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系于是可得，0，0，2，0，1，所以，設平面的一個法向量為，由，得令，則可取取平面的一個法向量為設平面與平面所成的銳二面角為，則，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為13如圖，已知圓柱內有一個三棱錐，為圓柱的一條母線，為下底面圓的直徑，（）在圓柱的上底面圓內是否存在一點，使得平面？證明你的結論（）設點為棱的中點，求四棱錐體積的最大值【解答】解：（）當點為上底面圓的圓心時，平面證明如下：如圖，取上底面圓的圓心為，連接，則，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以又，所以四邊形為平行四邊形，所以因為平面，平面，所以平面故點為上底面圓的圓心時，平面（）在底面圓

10、中，由得，當且僅當時等號成立，所以四棱錐體積的最大值為14如圖，在三棱臺中，分別為，的中點（）求證：平面；（）若平面，求平面與平面所成的角（銳角）的大小【解答】解：（）證明：根據已知條件，；，又，四邊形為平行四邊形；，平面，平面；平面；同樣，因為為中位線，；又；平面，；平面平面，平面；平面；（）連接，則；平面；平面，并且；，三直線兩兩垂直，分別以這三直線為，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設，則：，0，1，0，0，；連接，根據已知條件，為中點；又平面，平面；，；平面；向量為平面的法向量；設平面的法向量為，則：，取，則：；設平面和平面所成的銳二面角為，則：；平面與平面所成的角為15如圖，在四棱柱

11、中，側棱底面，且點和分別為和的中點（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）設為棱上的點，若直線和平面的夾角的正弦值為，求線段的長【解答】（1）證明：如圖，以為原點建立空間直角坐標系，依題意可得，0，1，0，0，1，0，又因為，分別為和的中點，得，可得，0，為平面的法向量，由此可得，又因為直線平面，所以平面（2）解：，0，設，為平面的法向量，則，即，不妨設，可得，1，設，為平面的法向量，又，1，則，得，不妨設，可得，因此有，即平面與平面的夾角的余弦值為（3）解：依題意，可設，其中，則，從而，又，0，為平面的法向量，由已知直線和平面的夾角的正弦值為，得，整理得，又因為，解得，所以

12、，線段的長為16如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，為的中點（）求證：；（）求二面角的余弦值；（）若直線與平面所成的角的正弦值為，求實數的值【解答】證明：（）為等邊三角形，為的中點，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，（）取的中點，連接，則，以為原點，分別以、為坐標軸建立空間直角坐標系，則，0，0，0，設平面的一個法向量，則，令，得，1，平面的一個法向量為，由二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為（），解得17如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，為的中點（）求證：（）求二面角的余弦值；（）若平面，求的值【解答】證明：（）為等邊三角形，為的中點，平面平面，平面，平面（）取的中點，連

13、接，是等腰梯形，由（）知平面，平面，建立如圖的空間坐標系，則，則，0，0，0，設平面的法向量為，則，即，令，則，即，平面的法向量為，則即二面角的余弦值為；（）若平面，則，即，解得18如圖，在四棱錐中，平面平面，（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）設，是否存在實數使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由【解答】（1）證明：平面平面，且平面平面，且，平面，平面，平面，又，且，平面（2）解：取中點為，連接，又，以為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖：則，0，1，0，則，1，0，設，為平面的法向量，則，取，得，設與平面的夾角為，則直線與平面所成角的正弦值為：（3）解：設，假設存

14、在實數使得平面，由（2）知，1，0，1，由，可得，平面，為平面的法向量，解得綜上，存在實數，使得平面19如圖，四邊形是平行四邊形，平面平面，為的中點（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求點到平面的距離【解答】證明：（1）取的中點，連接，在中，因為是的中點，所以且，（1分）因為，所以且，（2分）所以四邊形是平行四邊形，所以，（3分）又平面，平面，所以平面（4分）（2）在中，由余弦定理得，（5分）因為，所以（6分）因為平面平面，平面，平面平面，所以平面（7分）解：（3）解法1：由（1）平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，（8分）設點到平面的距離為，過作，交的延長線于，則平面，所以是三棱錐的高（9分）由余弦定理可得，所以，（10分），因為，（11分）即，解得所以點到平面的距離為（12分）解法2：因為，且，所以點到平面的距離等于點到平面的距離的，（8分）由（2）平面因為平面，所以平面平面過點作于點，又因為平面平面，故平面所以為點到平面的距離（9分）在中，由余弦定理可得所以，（10分）因此，（11分）所以點到平面的距離為（12分）20已知：平行四邊形中，平面平面，為等邊三